Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Die Ableitung im Sachkontext

Die Ableitung im Sachkontext

Auf dieser Seite findest du Aufgaben, die dein Verständnis zum Sachkontext von Ableitungen vertiefen sollen.

Du wiederholst, Ergebnisse im Sachzusammenhang zu interpretieren, Signalwörter in den Aufgabenstellungen zu erkennen und diese mit den entsprechenden rechnerischen Vorgehensweisen zu verknüpfen. Außerdem vertiefst du an verschiedenen Beispielen den Zusammenhang zwischen der Funktion und den einzelnen Ableitungen. Dies tust du vor allem mit Bezug auf die Einheiten der Funktionswerte.

• Die Aufgaben 1-3 dienen als Einstieg und sind leichter zu lösen.

• In den Aufgaben 4-5 kannst du schwierigere Probleme lösen. Falls du dich schon sehr sicher fühlst, kannst du dich an die letzte Aufgabe begeben.

Durchschnittliche Änderungsrate im Sachzusammenhang

1. Dieselpreise

Die Abbildung 1.1 zeigt die Entwicklung des Dieselpreises in Deutschland im Zeitraum vom 12.10.2018 (Tag 0) bis zum 18.10.2018 (Tag 6).

Abb. 1.1: Dieselpreisentwicklung

a) Berechne den durchschnittlichen Preisanstieg im Zeitraum vom 13.10.2018 bis zum 16.10.2018.
Hier kannst du deine Lösung eintragen und überprüfen, ob sie richtig ist.

Gesucht ist der durchschnittliche Preisanstieg in einem bestimmten Zeitraum, das bedeutet, dass die durchschnittliche Änderungsrate für diesen Zeitraum gesucht ist.

Zur Erinnerung:
Die durchschnittliche Änderungsrate auf einem Intervall $[a,b]$ ist die durchschnittliche Steigung zwischen den beiden Punkten $(a / f(a))$ und $(b/f(b))$, die auf dem Graph einer Funktion $f(x)$ liegen. Berechnet wir diese durchschnittliche Steigung wie folgt:

$m= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

$\frac{\text{Preis an Tag 4} - \text{Preis an Tag 1}}{4-1}= \frac{1,36 -1,36 }{4-1}= \frac{0}{3}= 0$

Der Dieselpreis ist im Zeitraum vom 13.10.2018 bis zum 16.10.2018 durchschnittlich um 0 €/Tag gestiegen.

b) Beurteile die Aussagekraft des in Teil a) ermittelten Durchschnittswertes und notiere dein Ergebnis im Heft.

Angenommen man hat am 13.10.2018 an der Tanksäule gesehen, dass der Dieselpreis bei 1,36 € liegt. Darüberhinaus weiß man, dass die durchschnittliche Änderungsrate für den Zeitraum vom 13.10.2018 bis zum 16.10.2018 bei 0 €/Tag liegt. Welchen Dieselpreise würde man für den 14.10.2018 vermuten?

Betrachtet man den durchschnittlichen Preisanstieg im Bereich vom 13.10.2018 bis zum 16.10.2018, so entsteht der Eindruck, dass sich der Dieselpreis in diesem kompletten Zeitraum nicht geändert hat. Es wäre somit egal gewesen, wann man in diesem Zeitraum tankt. Betrachtet man allerdings die Abbildung 1.1, so wird deutlich, dass dies nicht der Fall ist.

Wiederholung wichtiger Signalwörter

2. Zuordnen

Der Graph der Funktion $f(t)$ beschreibt die Flugbahn eines Balls. $f(t)$ gibt die Höhe in Metern in Abhängigkeit von der Zeit $t$ an. Dabei beschreibt $t$ die Zeit in Sekunden.
Fülle den folgenden Lückentext aus:

Die Geschwindigkeit des Balls in einem Punkt s ist gerade die Steigung in diesem Punkt.

Wenn $f(t)$ die Höhe des Balls in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt, dann beschreibt die erste Ableitung $f'(t)$ die Geschwindigkeit des Balls in $\frac{m}{sek}$. Was gibt dann die zweite Ableitung der Funktion an?

Wenn die Funktion an der Stelle s die stärkste Steigung hat, dann bedeutet dies für die 1. Ableitung, dass sie an der Stelle s einen Hochpunkt hat. Was bedeutet das für die 2.Ableitung ?

Was beschreibt die Funktion f(t)? Wie sieht der Graph ungefähr aus? Welche Steigung ist in diesem Punkt s vorzufinden? Was bedeutet dies für den Wert f'(s)?

Wie hoch ist der Ball, wenn er auf der Erdoberfläche auftrifft?

Zu welchem Zeitpunkt wurde der Ball abgworfen?

Um die durchschnittliche Geschwindigkeit zu bestimmen, betrachte ich die Änderung der Höhe für den Anfangs- und Endwert des Bereiches.

1. Wenn die Geschwindigkeit des Balls zu einem Zeitpunkt s gesucht ist, bedeutet dies, dass ich die momentane Änderungsrate der Funktion $f(t)$ an der Stelle $s$ bestimmen muss. Dazu berechne ich $f '(s)$.

2. Möchte ich allerdings die Beschleunigung des Balls zu einem Zeitpunkt $s$ betrachten, so suche ich die momentane Änderungsrate der Ableitung der Funktion $f(t)$ an der Stelle $s$. Dazu berechne ich $f ''(s)$ .

3. Wird nach der stärksten Steigung der Funktion $f(t)$ gefragt, so muss ich die Wendestelle bestimmen. Dafür muss $f ''(s)=0$ und $f '''(s) \neq 0$ gelten.

4. Soll ich die maximale Höhe des Balls angeben, so muss ich den Hochpunkt bestimmen. Dafür muss $f '(s)= 0$ und $f ''(s) < 0$ gelten.

5. Wann der Ball wieder auf der Erdoberfläche aufkommt, gibt die Nullstelle an. Dazu berechne ich $f(s)=0$ .

6. Außerdem gibt der y-Achsenabschnitt an, aus welcher Höhe der Ball abgeworfen wurde. Hierzu berechne ich $f(0)$ .

7. Suche ich die durchschnittliche Geschwindigkeit in einem Bereich m bis n, so suche ich für diesen Bereich die durchschnittliche Änderungsrate, dies ist gerade der Wert des Differentenquotienten.

Funktionswerte und Ergebnisse im Sachzusammenhang deuten

3. Silvesterkracher

Abb. 3.1: Höhe einer Feuerwerksrakete

Die Höhe einer gezündeten Feuerwerksrakete kann in den ersten fünf Sekunden nach dem Start annähernd durch die Funktion $h(t)=7t^2$ beschrieben werden (siehe Abbildung 3.1). Dabei wird die Zeit t nach dem Start in Sekunden und die Höhe h(t) in Metern angegeben.

a) Bestimme die folgenden Werte und trage sie unten in die Lücken ein.

1. $h(2)$

2. $h(4)-h(1)$

3. $\frac{h(4)-h(1)}{4-1}$

4. $h'(3)$

5. $\frac{h(t)-h(4,5)}{t-4,5}$ für t → 4,5

6. $h'(4,5)$

Setze die angegebenen Werte für t in die entsprechende Funktion ein.

Die Ableitung der Funktion ist gegeben durch h'(t)=14t.

Überlege, was dieser Ausdruck ist und ob du diesen anders schreiben kannst.

Hier ist der Differenzialquotient gegeben. Dies ist der Grenzwert des Differenzenquotienten und entspricht der Ableitung der Funktion an der Stelle t=4,5. Also ist hier nach h'(4,5) gefragt.

b) Interpretiere alle Ergebnisse aus a) im Sachzusammenhang. Schreibe deine Überlegungen in dein Heft.

1. Die Rakete hat nach zwei Sekunden eine Höhe von 28 Metern.
2. Zwischen der ersten und der vierten Sekunde überwindet die Rakete eine Höhe von 105 Metern.
3. Zwischen der ersten und der vierten Sekunde beträgt die durchschnittliche Geschwindigkeit der Rakete $35\frac{m}{s}$.
4. Drei Sekunden nach dem Start ist die momentane Geschwindigkeit der Rakete $42\frac{m}{s}$.
5. 4,5 Sekunden nach dem Start der Rakete beträgt die Geschwindigkeit der Rakete $63\frac{m}{s}$.
6. siehe 5.

c) Wie groß ist die Beschleunigung des Feuerwerkskörpers drei Sekunden nach dem Start?

Die Funktion $h(t)$ gibt die Höhe des Feuerwerkskörpers in Metern an und ist abhängig von der Zeit t in Sekunden. Die Geschwindigkeit der Rakete in $\frac{m}{s}$ wird durch die erste Ableitung $h'(t)$ angegeben. Um eine Funktion zu erhalten, die die Beschleunigung in $\frac{m}{s^2}$ angibt, musst du die zweite Ableitung $h''(t)$ bilden. Da nach der Beschleunigung drei Sekunden nach dem Start gefragt ist, muss man $h''(3)$ berechnen.

Es gilt: $h'(t)=14t$, $h''(t)=14$. Nun setzt man ein und erhält $h''(3)=14$. Die Beschleunigung beträgt also $14\frac{m}{s^2}$

d) Erkläre, warum die oben angegebene Funktion h(t) nur in den ersten fünf Sekunden nach dem Start geeignet ist, um den Sachverhalt zu beschreiben. Schreibe die Erklärung in dein Heft.

Überlege, wie der Graph der Funktion für Werte von t>5 verläuft und was dies für den Feuerwerkskörper bedeuten würde.

Die Rakete kann nicht unendlich hoch fliegen und bereits nach 5 Sekunden ist eine Höhe von 175 Metern erreicht (denn h(5)=175). Nach der Explosion des Feuerwerkskörpers fällt er wieder runter und verliert somit an Höhe, die Steigung der Funktion müsste demnach irgendwann wieder negativ werden, was für h(t) aber für keine positiven Werte von t eintrifft.

Einheiten der Ableitungsfunktion

4. Aussagen der Ableitungsfunktion und Änderung der Einheiten

a) Eine Funktion f(t) beschreibt die zurückgelegte Strecke eines Fahrradfahrers in Metern in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden. Vervollständige die folgenden Aussagen.

Wenn man die Ableitung bildet, verändert sich die Einheit der Funktionswerte!
Dies kann man sich anhand des Differentialquotienten $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ für h → 0 klar machen, der schließlich der Ableitung an der Stelle $x_o$, also $f'(x_0)$ entspricht. Aus dem Differentialquotienten kann man die Einheit herleiten: Im Zähler stehen Werte der Ausgangsfunktion f und im Nenner steht h, also ein Wert der x-Achse. Man dividiert also die Einheit der Funktionswerte durch die Einheit der x-Achse.
Bei a) ist die Einheit der Funktionswerte der Funktion f(t) Meter. Die Werte der x-Achse sind in der Einheit Sekunden gegeben. Man erhält hier also für die Funktionswerte der Ableitungsfunktion die Einheit m/s. Dies steht für eine Geschwindigkeit.

Gehe in anderen Beispielen genauso vor.

b) In einem Wald werden nach einer Rodung neue Bäume gepflanzt. Der Förster misst die durchschnittliche Höhe der Bäume in Metern monatlich aus, notiert seine Messwerte und modelliert den Sachverhalt in einer Funktion f(x). Vervollständige die folgenden Aussagen.

c) Zum Herbst wird das Wasser im städtischen Freibad aus dem Becken abgelassen. Eine Funktion f'(x) ist die Ableitungsfunktion von f(x) und beschreibt die Abflussrate in Kubikmetern pro Stunde, wobei x die Zeit in Stunden angibt. Vervollständige die folgende Aussage.

Versuche hier andersherum zu denken und überlege, wie du die Einheit und somit den Sachverhalt der ursprünglichen Funktionswerte ermitteln kannst, wenn du diese Informationen zu der Ableitungsfunktion gegeben hast.

Funktionsuntersuchung

5. Ein Tag im Zoo

Ein Zoo ist bekanntermaßen in den Sommerferien am besten besucht. Die Besucherzahlen (in 100 Personen) eines bestimmten Zoos können durch die Funktion
$b(t) = - 0,05 t^3 + 1,8 t^2 - 19,2 t + 62,5$ für $10 < t \leq 19,5$
näherungsweise beschrieben werden. Dabei gibt $t$ die Uhrzeit in Stunden an.

Abb. 5.1: Besucherzahl eines Zoos

Rechne die folgenden Aufgaben im Heft und vergleiche mit den angegebenen Lösungsvorschlägen.

a) Zu welcher Uhrzeit befinden sich am meisten Besucher in dem Zoo? Und wie viele sind es?

Bilde die erste und die zweite Ableitung.

Die Ableitungen lauten: $b ' (t) = - 0,15 t^2 + 3,6 t - 19,2$ und $b '' (t) = - 0,3 t + 3,6$

Die Nullstellen der Ableitung entsprechen den Maximalstellen der Normalfunktion. Setzt man die Ableitung gleich 0, also $0 = b'(t) = - 0,15 t^2 + 3,6 t - 19,2$, dann erhält man $t_1 = 8$ und $t_2 = 16$. Da der Zoo erst um 10:00 Uhr (also $t = 10$) öffnet, ist $t_2$ die einzige Lösung. Kontrolliert man den Wert mit der hinreichenden Bedingung, so erhält man $b''(t_2)= - 1,2 < 0$, also ist $t_2$ die Maximalstelle.
Setzt man die Maximalstelle in die Funktion ein erhält man: $b(16) = 11,3$. Da die Besucherzahlen in 100 Personen angegeben werden, ergibt sich die Lösung, wenn man 11,3 mit 100 multipliziert.

Die Antwort: Mit 1130 Besuchern sind um 16:00 Uhr die meisten Menschen im Zoo.

b) Begründe den so gewählten Definitionsbereich.

Die Wahl des Definitionsbereich hängt stark mit dem Sachzusammenhang zusammen.

Die Werte der Funktion $f$, die kleiner als 0 sind, ergeben im Sachzusammenhang keinen Sinn. Es gibt keine negative Anzahl an Besuchern in einem Zoo. Das wichtigste Argument ist an dieser Stelle jedoch die Uhrzeit: Grundsätzlich ist es nur sinnvoll, wenn $0 \leq t < 24$ gilt, da ein Tag nur 24 Stunden hat. Da der Zoo aber nur ab 10:00 Uhr und bis 19:30 Uhr geöffnet hat, fallen alle weiteren Werte von $f$ weg, wenn nicht gilt: $10 < t \leq 19,5$.

c) Wann ist die Besucherzahl am geringsten?

Bei dieser Aufgabe ist es wichtig, sich den Definitionsbereich noch einmal genauer anzugucken. Du darfst auch mit der Abbildung 5.1 deine Begründung unterstützen.

Warum ist es falsch, an dieser Stelle nach der Minimalstelle zu suchen?

Die Besucherzahl ist um 19:30 Uhr am geringsten. Das ist der einzige Nullpunkt im Definitionsbereich. Die Minimalstelle liegt, wie man in der Abbildung deutlich erkennen kann unterhalb der x-Achse und eine negative Besucherzahl ist nicht möglich. Außerdem liegt diese Stelle nicht mehr im Definitionsbereich.

d) Zu welcher Uhrzeit ist der Andrang in den Zoo am größten?

Mit der Frage nach dem größten Andrang ist der größte Zuwachs an Besuchern gemeint.

Der größte Zuwachs an Besuchern entspricht dem Maximum der ersten Ableitung.

Indem die zweite Ableitung gleich 0 gesetzt wird, kann man die Wendestelle ausrechnen. Daraus ergibt sich t = 12. Da die dritte Ableitung konstant $b ' (t) = - 0,3$ ist, wird auch das hinreichende Kriterium erfüllt. Also sind die meisten Menschen um 12:00 Uhr auf den Weg in den Zoo.

e) Im Winter können die Besucherzahlen für diesen Zoo durch die Funktion $g(t) = 0,0625 t^3 - 3,25 t ^2 + 52,8125 t - 265,625$ beschrieben werden. Im folgenden ist der Graph der Funktion gezeichnet:

Abb. 5.2: Besuchszahlen im Winter

Wie lauten die Öffnungszeiten im Winter? Argumentiere im Sachzusammenhang und mit der zweiten Ableitung.

Warum kann nicht der gleiche Definitionsbereich wie für die Funktion $f$ benutzt werden?

Ist die zweite Ableitung $g''$ negativ , so hat der Graph der Funktion $g$ eine Rechtskrümmung. Ist die zweite Ableitung größer 0, so besitzt der Graph der Funktion $g$ eine Linkskrümmung.

Wenn ein Graph zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen rechtsgekrümmt ist, so liegt er im positiven Bereich. Ist er zwischen zwei Nullstellen linksgekrümmt, so ist er in diesem Bereich negativ.

Die Öffnungszeiten sind die Nullstellen der Funktion $g$. Für die Gleichung $g(t) = 0,0625 t^3 - 3,25 t ^2 + 52,8125 t - 265,625 = 0$ gibt es drei Lösungen: $t_1 = 10$, $t_2 = 17$ und $t_3 = 25$. Die zweite Ableitung $g '' (t) = 0,375 t - 6,5$ ist kleiner als 0 für $10 \leq t \leq 17$. Also ist die Funktion $g$ zwischen diesen Nullstellen positiv.
Da nur positive Werte für Besucherzahlen Sinn ergeben, muss der Zoo für $10 \leq t \leq 17$, also zwischen 10:00 Uhr und 17:00 Uhr, geöffnet sein.

Forderaufgabe: Ausblick auf die Integralrechnung

6. Die Autofahrt

Familie Müller fährt zusammen in den Urlaub. Der Sohn Peter möchte gerne wissen, wie weit sie insgesamt gefahren sind. Dazu hat er die Geschwindigkeit des Autos zu bestimmten Zeitpunkten auf der Anzeige im Auto abgelesen und sich notiert. Die Geschwindigkeit stellt Peter vereinfacht mit einem Graphen, wie in Abbildung 6.1, dar.

Abb. 6.1: Geschwindigkeitsprofil einer Urlaubsfahrt

a) Wie viele Kilometer hat Peters Familie in den ersten 2 Stunden näherungsweise zurückgelegt?

"Näherungsweise" bedeutet: An dieser Stelle musst du nur die Phasen konstanter Geschwindigkeit in Betracht ziehen. Schreibe die Lösung in dein Heft.

Wenn man die Beschleunigs- und Bremsphasen beiseite lässt, erhählt man fünf einzelne Abschnitte, die man berechnen kann mit der Formel: $Zeit \cdot Geschwindigkeit = Strecke$

Strecke AB (6 Minuten): $0,1 h \cdot 30 km/h = 3 km$
Strecke CD (20 Minuten): $0,333 h \cdot 50 km/h = 16,666 km$
Strecke EF (30 Minuten): $0,5 h \cdot 100 km/h = 50 km$
Strecke GH (15 Minuten): $0,25 h \cdot 50 km/h = 12,5 km$
Strecke IJ (35 Minuten): $0,583 h \cdot 100 km/h = 58,33 km$
Insgesamt also: $3 km + 16,66 km + 50 km + 12,5 km + 58,33 km = 140,5 km$

b) Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, die Peters Familie in den ersten zwei Stunden gefahren ist.

Die durchschnittliche Geschwindigkeit ergibt sich durch die gefahrene Strecke dividiert durch die Zeitspanne (2h). Aus Aufgabenteil a) kennen wir die gefahrene Strecke näherungsweise:

Also: 140,5 km / 2 h = 70,25 km/h

c) Wir nehmen an, der abgebildete Graph beschreibt die Ableitung einer Funktion. Was gibt dann die Funktion an und wovon ist sie abhängig?

Schreibe die Lösung in dein Heft.

Betrachte die Aufgabe a) und ihre Ergebnisse noch einmal.

Wenn die Ableitung die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit angibt, dann gibt die Funktion die Strecke in Abhängigkeit von der Zeit an.

d) Wir nehmen wieder an, der abgebildete Graph stellt die Ableitung einer Funktion dar. Skizziere diese Funktion in dein Heft.

Wir wissen aus Aufgabenteil a), dass die Familie in bestimmten Zeitabständen gewisse Wege zurückgelegt hat und insgesamt nach 2 Stunden 140,5 km gefahren ist.

Eine Skizze hat über das Streckenprofil der Autofahr hat diesen Verlauf in den ersten zwei Stunden:

Abb. 6.2: Skizze über die gefahrene Strecke von Peters Familie.

Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:

• Suche dir aus den in den folgenden Abschnitten genannten Themen eines (oder mehrere) aus. Zu jedem Thema gibt es neben Förder- auch Forderaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:

• bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zu: Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate
• bei den Aufgaben 4 - 7, gehe zu: Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten
• bei den Aufgaben 8 - 11, gehe zu: Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt
• bei den Aufgaben 12 - 14, gehe zu: Graphisches Ableiten
• bei den Aufgaben 15 - 17, gehe zu: Die Ableitung im Sachkontext

<<< zurück zu Trainingsfeld Ableitungen