Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung

Aus ZUM Projektwiki
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In diesem Teil geht es um Zinsen und Zinseszins. Die Zinsformel hilft dir die einmalige Zinsen ohne weitere Schwierigkeiten zu berechnen. Der Zinseszins tritt auf, wenn du dein Geld mehrere Jahre auf deinem Konto lässt und jedes Jahr aufs Neue Zinsen bekommst und diese Zinsen auch auf deinem Konto lässt. Dann erhältst du nämlich auf das Geld, dass du durch die Zinsen bekommst wieder neue Zinsen - den Zinseszins.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Viel Erfolg!


Einführung

Das wirst du heute lernen:

  • Was Zinsen, Zinseszins, Zinssatz und Kapital sind.
  • Was die Zinsformel ist und wieso sie so lautet.
  • Wie du die Zinsformel im Alltag benutzen kannst.
  • Wie du die Zinsformel in Sachaufgaben anwenden kannst.

Das solltest du schon können

Damit du da alles hier möglichst schnell lernen kannst, erklären wir einige Dinge weniger ausführlich. Die setzen wir dann voraus.

  • Bruchrechnung: Du solltest grob wissen, wie man mit Brüchen rechnet.
  • Prozentrechnung: Du solltest wissen, wie du den Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz berechnen kannst.
  • Potenzrechnung: Du solltest wissen, was Potenzen in der Mathematik sind.
  • Termumformungen: Du solltest Terme mithilfe von Termumformungen nach einer Unbekannten auflösen können.


Prozentrechnung

Zinsen zu berechnen ist eigentlich nur Prozentrechnung - mit etwas anderem Namen. Die Formel aus der Prozentrechnung kennst du ja schon:

.

Dabei ist der Prozentwert, der Grundwert und der Prozentsatz. Möchtest du zum Beispiel wissen, was Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 3\text{ }%} von g Mehl sind, rechnest du das mit genau dieser Formel aus:


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Zinsrechnung Alltagsbeispiele



Hier wirst du anhand von zwei Beispielen lernen, wo Zinsen im Alltag zu finden sind.

Du bist im Alltag bestimmt schon einmal Zinsen begegnet. Heutzutage hat jeder ein Konto und/oder ein Sparbuch. Das Geld, dass du dort einzahlst, wird verzinst. D.h. du erhälst Geld dafür, dass das Geld bei deiner Bank ist. Diese Zinsen sind natürlich nicht sehr hoch. Die Zinsformel wirst du später noch genauer kennen lernen.

Alltagsbeispiel Nr. 1: Sparbuch
Hendrik wurden insgesamt 200 € zum Geburtstag geschenkt. Hendrik bringt das Geld auf seine Bank und zahlt es in sein Konto ein. Das Geld auf seinem Konto wird mit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 2\text{ }%}
 verzinst.

Damit erhält Hendrik 4 € Zinsen für seine 200 €.


Außerdem, wenn du oder jemand in deinem Umfeld etwas Größeres kaufen möchte, spielen auch hier Zinsen eine große Rolle. Beim Kauf eines Hauses, einer Wohnung, einem Auto, einem Motorrad, einem Computer, einer Solaranlage und und und wird in der Regel ein Kredit benötigt, denn nur die wenigsten haben beispielsweise 100.000 € irgendwo rumliegen. Zinsen von Krediten musst du der Bank zusätzlich bezahlen. Sie sind sozusagen der Preis für den Kredit.

Alltagsbeispiel Nr. 2: Kredit
Deine Mutter möchte einen Neuwagen kaufen und entscheidet sich für ein Auto. Dieses kostet 15.000 €. Deine Mutter hat aber gerade nur 7.000 € zur Verfügung. Deshalb geht sie zu ihrer Bank, um einen Kredit aufzunehmen. Die Bank bietet ihr einen Kredit von 10.000 € mit einem Zinssatz von Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 5\text{ }%}
. Deine Mutter bezahlt das Auto mit 5.000 € aus ihrer eigenen Tasche und den Rest mit dem Kredit. Der Kredit soll über 5 Jahre abbezahlt werden. Wie viel wird deine Mutter jeden Monat an die Bank überweisen müssen?





Die Zinsen müssen zusätzlich zu den 10.000 € an die Bank zurückgezahlt werden, also insgesamt 10.500 €. Um jetzt herauszufinden, wie viel deine Mutter pro Monat zahlen muss, teilen wir die 10.500 € durch die Anzahl der Monatsraten. Der Kredit soll über 5 Jahre abbezahlt werden und jedes Jahr hat 12 Monate.



Um den Kredit für das Auto innerhalb von 5 Jahren zurück zu zahlen, muss deine Mutter jeden Monat 175 € der Bank überweisen.

Zinsformel

In der Zinsrechnung berechnen wir nun ebenfalls den Prozentwert von einem bestimmten Geldbetrag. Statt Prozentsatz sagen wir also Zinssatz und anstelle von Grundwert sprechen wir nun von Kapital. Zuletzt sind die Zinsen dann der Prozentwert. Statt mit aufwändigen Worten zu rechnen, kürzen wir diese Begriffe nun (wie in der Mathematik üblich) mit einem Buchstaben ab:

Dabei sind die Zinsen, das Kapital und der Zinssatz. Als Formel ergibt sich somit:

Formel um Zinsen zu berechnen
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Beispielaufgabe zur Zinsformel mit Lösung

Probieren wir die Zinsformel doch mal zusammen anhand eines Beispiels aus:


Katharinas Geburtstag
Katharina hat zum Geburtstag ein Sparkonto bekommen. Dort bekommt sie in einem Jahr Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 1\text{ }%} Zinsen gezahlt. Sie zahlt direkt all ihr Geburtstagsgeld von auf das Sparkonto. Wie viel Geld hat sie an ihrem nächsten Geburtstag auf diesem Konto?

berechnen geht sogar noch schneller

In der Beispielaufgabe haben wir am Ende das Kapital noch mit den Zinsen verrechnet. Das können wir auch direkt in einer einzelnen Rechnung machen:


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Zinsformel

In eurem Buch wird als (Zinsfaktor) abgekürzt. Es ist allerdings euch überlassen, ob ihr das lieber ausschreiben möchtet oder eben abkürzen wollt.

Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit € und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle p=1\text{ }%} aus der Beispielaufgabe "Katharinas Geburtstag" aus.

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Damit können wir mit dieser Formel also das berechnen der Zinsen, sowie das addieren der Zinsen zu dem bestehenden Kapital überspringen. Wie in der Lösung kommen wir also auch auf .

Aufgaben

Aufgabe 1: Rechnen mit Zinsen
Katharina hat nun  auf ihrem Konto. Sie bekommt zwei Angebote von Banken. Bank A bietet ihr Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 2\text{ }%}
 Zinsen in einem Jahr, Bank B bietet ihr Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 1\text{ }%}
 Zinsen in einem halben Jahr.

a) Wieviel Geld hat Katharina bei Bank A nach einem Jahr auf dem Konto?

b) Wieviel Geld hätte Katharina nach einem halben Jahr bei Bank B auf dem Konto?

c) Nach einem halben Jahr hat Katharina nun auf ihrem Konto. Wieviel Geld hat sie ein weiteres halbes Jahr später?

d) Was fällt dir im Vergleich der beiden Angebote auf?


Aufgabe 2: Vergleich Zinsen mit proportionalem Wachstum
Sipan besitzt ein Sparschwein. Er legt jedes Jahr immer 5 € in dieses Sparschwein. Seine Schwester Esma legt ihr Geld bei einer Bank an, bei welcher sie Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 2\text{ }% }
 Zinsen im Jahr bekommt.

a) Beide starten mit Erspartem. Berechne wieviel Geld sie jeweils nach zwei Jahren auf ihrem Konto beziehungsweise Sparschwein haben.

b) Fallen dir Vorteile der beiden Sparmethoden von Sipan und Esma ein?


Aufgabe 3: Zinsen nur bei Geld?
Manchmal beobachtet man in der Natur Vorgänge, die man nicht mit Linearem Wachstum erklären kann. Wasserlinsen sind kleine Pflanzen, welche an der Wasseroberfläche treiben. Enten und Glaskarpfen fressen diese gerne. Sie können sich an nur einem Tag verdoppeln.

a) Stell dir vor, dass unbemerkt zwei Wasserlinsen in ein Aquarium kommen. Wieviele Wasserlinsen sind dann am nächsten Tag in dem Aquarium? Wieviele sind es nächste Woche?

b) Wie könntest du verdoppeln als Zinssatz darstellen? Probiere deine Ideen mit der Zinsformel aus!


Zinseszins

Beispiel

Clara hat von ihrem Opa Euro zum 10. Geburtstag bekommen und legt diese für auf ihrem Sparbuch an bis sie 18 Jahre alt ist. Sie bekommt jedes Jahr Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 5\text{ }%} Zinsen. Clara hebt das Geld, das sie von den Zinsen bekommt nicht ab, sondern lässt es auf dem Konto und zahlt auch kein weiteres Geld ein.

Die Entwicklung von Claras Kontostand
Jahr Startkapital Zinsen Endkapital Rechnung




Aufgabe 1: Vergleich Zins und Zinseszins

Hier ist ein Diagramm von der Entwicklung von Claras Kontostand aus dem Beispiel für Jahre dargestellt.

Claras Kontostand

a) Ordne den Graphen die verschiedenen Entwicklungen zu.

Entwicklung mit Zinsen ohne Zinseszins

roter Graph

grüner Graph

Entwicklung mit ZinseszinsEntwicklung ohne Zinsenblauer Graph

b) Was fällt dir bei der Betrachtung der verschiedenen Verläufe der Graphen auf? Was bedeuten diese Auffäligkeiten für Claras Kontostand?



Aufgabe 2: Rechnen mit und ohne Zinseszins

Maja hat inzwischen gespart. Sie ist 13 Jahre alt und möchte dieses Geld für ihren Führerschein anlegen. Sie bekommt von der Bank Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 6\text{ }%} Zinsen pro Jahr. Ein Führerschein kostet ungefähr .

a) Hat Maja mit 17 Jahren genügend Geld auf ihrem Konto, um den Führerschein zu bezahlen?

b) Wieviel Geld hätte Maja mit 17 Jahren, wenn sie statt Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 6\text{ }%} nur Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 4\text { }%} Zinsen bekommen würde?

c) Wie lange müsste Maja warten, bis sie ihren Führerschein bei Zinsen bezahlen könnte?

d) Maja überlegt, ob sie das Geld, das sie jedes Jahr an Zinsen bekommt immer abheben soll und in ihre Spardose werfen soll. Was würdest du ihr raten?

Erweiterte Zinsformel

Erweiterte Zinsformel für den Zinseszins

Die Zinsformel kann auch für die Berechnung des Zinseszins genutzt werden: € werden mit einem Zinssatz  % vier Jahre lang gespart. bezeichnet das Kapital nach einem Jahr, nach zwei Jahren und so weiter. Damit ist das Kapital nach Jahren.


Aufgabe 3: Anwendung der erweiterten Zinsformel

Schauen wir uns nochmal die Situation von Maja aus der letzten Aufgabe an.

a) Angenommen Maja bekommt weiterhin Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 6\text{ }%} Zinsen, aber macht doch kein Führerschein und spart das Geld einfach weiterhin. Wieviel Geld hätte sie dann nach Jahren gespart?

b) Ein realistischer Zinssatz beträgt zurzeit eher Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 0{,}3\text{ }%} Zinsen. Könnte Maja jemals mit ihrem Erspartem bei so einem Zinssatz ihren Führerschein bezahlen? Wieviel Geld hätte sie mit , oder Jahren?


Aufgabe 4: Coronabonus

Detlef arbeitet als Krankenpfleger. Daher hat er einen Corona-Bonus von erhalten. Seine Frau ist Professorin, deshalb sind sie als Familie finanziell gut abgesichert. Er möchte deswegen des Corona-Bonuses sparen.

a) Seine Bankberaterin bei der SparBank sagt ihm: "Bei uns bekommen Sie so viel Zinsen, dass Sie nach vier Jahren schon ungefähr 136 Euro mehr haben." Wie hoch liegt der Zinssatz bei der SparBank?

b) Detlef entscheidet sich dafür sein Geld bei der SparBank anzulegen. Er erhält durch den zweiten Lockdown eine weitere Bonuszahlung, sodass er nach vier Jahren schon ungefähr hätte. Wie groß ist diese Bonuszahlung?

c) Detlef ruft danach noch bei der GrünBank an. Die Bankberaterin der GrünBank unterbreitet ihm folgendes Angebot: "Bei uns können Sie zwischen zwei Angeboten auswählen. Wir können ihnen einerseits das kurzsparer Angebot, bei dem Sie jedes halbe Jahr zwei Prozent Zinsen erhalten, anbieten. Sie können alternativ das langsparer Angebot annehmen, bei dem Sie nach 5 Jahren Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 22\text{ }%} Zinsen erhalten, wenn ihr Geld die vollen fünf Jahre auf ihrem Konto verweilt." Zu welchem Angebot würdest du Detlef raten, um seine anzulegen? Zur Auswahl stehen das von der Sparbank, das kurzsparer Angebot und das langsparer Angebot der GrünBank?

d) Die Pflegekräfte leisten sowohl in der Pandemie, als auch in Zeiten ohne Pandemie Herausragendes und werden schlecht bezahlt. Deswegen gibt es zusätzlich zu den Bonuszahlungen eine längst überfällige Lohnerhöhung. Da Detlef nur eine halbe Stelle hat, weil er sich um die Tochter kümmert, bekommt er zusätzlich im Monat. Diese spart er zusätzlich zu den . Wieviel Geld hat er jetzt insgesamt nach drei Jahren auf seinem Konto, wenn er bei der SparBank spart?

Appendix für den Fall das auffällt, dass ein Kapitel für eine einzige Seite zu viel ist

Diese Seite dient zur Übersicht zu allen Seiten des Lernpfads Zinsrechnung.

Um mit dem Lernpfad zu starten, beginne mit der Einführung.


Einführung: Das müsst ihr können:

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Alltagsbeispiele: Hier begegnen euch Zinsen im Alltag:

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Zinsformel: Hier wird euch die Formel erklärt:

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Zinseszins: Jetzt wird es spannend:

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Projekt von Ole W., David B. und Alexander A.