Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik/Berechnung von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert: Unterschied zwischen den Versionen

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<u></u><div style="padding:50px;background: #008B00;border:0px groove;">
<div style="margin:0; margin-right:250px; margin-left:250px; border:5px solid #FFFFFF; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;">
<big><span style="color:#C00000">&nbsp;
In deinem Leben begegnen dir täglich viele Werte und Zahlen, manche von ihnen auch in Form von Prozenten.
In deinem Leben begegnen dir täglich viele Werte und Zahlen, manche von ihnen auch in Form von Prozenten.
<br /><br />
<br />
→  Aber was bedeutet das, wenn gefragt ist, wie viel 15% von 100 ergeben?<br />
→  Aber was bedeutet das, wenn gefragt ist, wie viel 15% von 100 ergeben?<br />
→   Oder wie viel Prozent 25 von 50 sind?  
→   Oder wie viel Prozent 25 von 50 sind?  
<br />
<br />
Und wie kann man solche Aufgaben lösen?
<br /><br />


Wie genau du nun Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert berechnen kannst erkläre ich dir jetzt.<br />
Wie genau du nun Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert berechnen kannst, erkläre ich dir jetzt.<br />
<br />
<br />
 
{{Box|'''Grundgleichung der Prozentrechnung:'''|Zunächst musst du dir die folgende '''Grundgleichung der Prozentrechnung''' gut einprägen:<br />
Zunächst musst du dir die folgende '''Grundgleichung der Prozentrechnung''' gut einprägen:
"Der Prozentsatz vom Grundwert ist der Prozentwert."|Merksatz}}
 
   <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>
   <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>
   
   
Damit du verstehst, was damit gemeint ist, erkläre ich jetzt die Begriffe an einem Beispiel.
<br />
<br />


Im Jahrgangsstufentest für Mathematik der 5. Klasse bekamen 6 der 20 Schüler die Note 1:  
'''Begriffserklärung:'''
<br /><br />
<br /><br />


Der <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> ist der Ausgangswert.
<br />


<span style="color: #76EE00">'''6'''</span> von <span style="color: #00B2EE">'''20 Schüern'''</span>, sind ( <math>\frac{6}{20} = \frac{30}{100}= ) </math> <span style="color: #FF4040">'''30%'''</span>
Der <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> ist ein Anteil des Grundwertes, ausgedrückt in Prozent.
<br />


<br /><br />
Der <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ist ein Teil vom Grundwert, ausgedrückt in einem Zahlenwert.
 
<br />
→ Also sind in diesem Fall die 6 Schüler der <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>,
<br />
<br />
<br />
<br />


→ die 20 Schüler der <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>,
{{Box|Beispiel|Damit dir das Thema zugänglicher wird, erkläre ich die Begriffe noch einmal an einem Beispiel.
<br />
<br />


→ und die 30% der <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>.
Im Jahrgangsstufentest für Mathematik der 5. Klasse bekamen 6 der 20 Schüler die Note 1:  
|Arbeitsmethode}}
<br />
<br />
<br /><br />


<span style="color: #FF4040">'''6'''</span> von <span style="color: #00B2EE">'''20 Schüern'''</span>, sind ( <math>\frac{6}{20} = \frac{30}{100}= ) </math> <span style="color: #76EE00">'''30%'''</span>


<br /><br />


Übe hier, ob du die Begriffe verstanden hast!
→ Also sind in diesem Fall die <span style="color: #FF4040">6</span> Schüler der <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>
<br />
<br />


<popup name= Aufgabe>
→ die <span style="color: #00B2EE">20</span> Schüler der <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>,
<br />


<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pjxkz4izc18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
→ und die <span style="color: #76EE00">30%</span> der <span style="color:#76EE00">'''Prozentsatz'''</span>.
<br />
<br />


</popup>
In der Grundgleichung würde die Rechnung so aussehen:<br />
<span style="color: #76EE00">'''0,3'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''20'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''6'''</span>
<br />
<br />
<br />


Natürlich muss der gesuchte Wert nicht immer der Prozentwert sein, denn es kann genauso gut sein dass in der Aufgabenstellung nach dem Grundwert oder dem Prozentsatz gefragt ist.
Übe hier, ob du die Begriffe verstanden hast!
Dazu musst du die Grundgleichung einfach nach der gesuchten Größe umstellen.<br />
 
Falls du nicht weißt, wie das geht, gibt es hier eine Erklärung dazu:
 
<popup name= Schilderung>
<br />
<br />
Zunächst gibt es drei Arten die Gleichung zu schreiben:
<br /><br />


{{Box|1=Aufgabe 1|2=
<div class="lueckentext-quiz">


Die erste kennst du ja bereits, das ist die Grundgleichung:
Bei der '''Berechnung''' von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert geht es um das Ausrechnen von '''Teilen des Ganzen''', des Ganzen selbst, bzw. des Teiles, welcher in Prozent angegeben werden soll.<br />
<br />
Das Ganze, heißt '''Grundwert'''. Er ist der Wert, von dem man ausgeht.<br />
Die Zahl, die in Prozent angegeben ist, heißt '''Prozentsatz'''. <br />
Wenn man ihn mit dem Grundwert '''multipliziert''', erhält man den '''Prozentwert''', der dann einen Teil des Ganzen, des Grundwertes, darstellt.


→  <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>
</div>
<br />
|3=Üben}}


Wenn nun aber der nicht mehr nach dem Prozentwert gefragt ist, sondern nach dem Grundwert, musst du die Gleichung durch den Prozentsatz teilen, damit der Grundwert alleine auf einer Seite steht.<br />
{{Box|Aufgabe 2|{{LearningApp|app=pjxkz4izc18|width=100%|height=500px}}|Üben}}
Das sieht dann so aus: <br /><br />


→ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> | ÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>
<br /><br />
=> <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''Prozentwert'''</span>
÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>


<br />
{{Box|Merke|Wenn in der Aufgabe aber nicht nach dem Prozentwert gefragt ist, sondern nach dem '''Grundwert''', verwendet man die Gleichung:|Merksatz}}
<span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>
<br />
<br />


Wenn nach dem Prozentwert gesucht ist, funktioniert das Umstellen nach dem selben Prinzip wie oben, nur dass du die Gleichung nun durch den Grundwert teilen musst, damit der Prozentsatz alleine steht:
<br /><br />


→ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> | ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>
[[Datei:Dreisatz Grundwert.png|450px|rechts|Herleitung der Formel zur Berechnung des Prozentsatzes über die Grundgleichung der Prozentrechnung / Dreisatz]]
{{Box|1=Herleitung Grundwert|2=Für einen Urlaub müssen 20% des Preises, das sind 160€, angezahlt werden. <br />
Wie teuer ist der Urlaub insgesamt?
<br />
<br />


=> <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>
Sicherlich ist dir aufgefallen, dass es sich bei den "20% des Preises" um den Prozentsatz handelt.
<br />
<br />
Folglich muss also der Prozentwert durch den Prozentsatz geteilt werden, um den Grundwert zu erhalten.
<br />
<br />


Da man die 160€ durch 20 teilt und anschließend mit 100 wieder multipliziert, könnte man genauso durch 0,2 teilen. (20% = 0,2)
<br />
Daraus ergibt sich dann die Gleichung:
|3=Lösung}}


Jetzt bist du bereit, dich an ein paar Anwendungsaufgaben zu versuchen. Viel Spaß dabei !
<span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>
</popup>
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<popup name= Aufgaben>
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<br />
 
<span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''160€'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''0,2'''</span> = 160€ ÷ <math>\frac{2}{10}</math> = 160€ &middot; <math>\frac{10}{2}</math> = 160€ &middot; 5 = <span style="color: #00B2EE">'''800€'''</span>
1a) <br />
<br />
Eine Zahl wird um 60% verkleinert und man erhält 2400.<br />
<br />
Welche Zahl war es?
<br />
{{Box|Merke|Wenn der '''Prozentsatz '''gesucht ist, brauchst du zur Berechnung die Gleichung:|Merksatz}}
<span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>
<br />
<br />




1b)<br />
[[Datei:Dreisatz Prozentsatz.png|450px|rechts|Herleitung der Formel zur Berechnung des Prozentsatzes über die Grundgleichung der Prozentrechnung / Dreisatz]]
Eine Zahl wird um 20% verkleinert. Die erhaltene Zahl wird wiederum um 20% verkleinert und die darauf erhaltene Zahl noch einmal um 20%.<br />
{{Box|1=Herleitung Prozentsatz|2=Der Familienurlaub kostet 800€, wobei 160€ direkt angezahlt werden müssen. <br />
Daraufhin erhält man die Zahl 2400. Wie groß war die Ausgangszahl vor der ersten Verkleinerung ?
Wie viel Prozent des Urlaubsgeldes muss also gleich überwiesen werden?
Vergleiche dein Ergebnis  mit dem aus der Teilaufgabe a).<br />
<br />
Was fällt dabei auf?<br /><br />
Die Gleichung für den Prozentsatz leitet sich ähnlich her:
 
<br />
2)
Man teilt den Grundwert, der ja das Ganze, also 100% repräsentiert, durch 100, um auf 1% zu kommen.<br />
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvo0sfn9518" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
Anschließend wird wieder mit 20 multipliziert, da man von 8€ auf den Prozentwert 160€ kommen will.
 
<br />
Daraus ergibt sich <math>\frac{1}{100} </math> • 20 =  <math>\frac{20}{100} </math> = 20%.
<br />
Folglich lautet die Gleichung zur Berechnung des Prozentsatzes:
|3=Lösung}}
<br />


<span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>
<br />
<br />
<span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''160€'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''800€'''</span> = <math>\frac{160}{800} </math> = <math>\frac{2}{10} </math> = <span style="color: #76EE00">'''20%'''</span>
<br />
<br />
<br />
Jetzt bist du bereit, dich an ein paar Anwendungsaufgaben zu versuchen. Viel Spaß dabei!
<br />


{{Box|Aufgabe 1|{{LearningApp|app=pvo0sfn9518|width=100%|height=500px}}|Üben}}


{{Box|Aufgabe 2|{{LearningApp|app=pam9rza8318|width=100%|height=500px}}|Üben}}


{{Box|Aufgabe 3|{{LearningApp|app=p6x7i8yxn18|width=100%|height=500px}}|Üben}}


{{Box|Aufgabe 4|{{LearningApp|app=po15gtre218|width=100%|height=700px}}|Üben}}


{{Box|Aufgabe 5|{{LearningApp|app=pwynjbxjn18|width=100%|height=500px}}|Üben}}


</popup>
{{Box|Aufgabe 6|{{LearningApp|app=pfrcqi6vj18|width=100%|height=500px}}|Üben}}
<br />


{{Vorlage:Lesepfad Ende
|Link zurück=[[Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik/Rechenvorteile|zu den Rechenvorteilen]]                 
|Link vor=[[Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik/Erweitern und Kürzen|zum Erweitern und Kürzen]]
|Text Copyright=
}}




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<popup name= Ergebnisse>
{{Fortsetzung|weiter=Inhaltsverzeichnis|weiterlink=Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik|vorher=Rechenvorteile|vorherlink=Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik/Rechenvorteile}}
1a) 0,6 • 2400 = 1440
 
<br />
1b) (0,2 + 0,2 + 0,2)• 2400 = 0,6 • 2400 = 1440<br />
→ Beide Ergebnisse sind gleich !
<br />


</popup>
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Julius-Echter-Gymnasium Mathematik]]

Aktuelle Version vom 24. Februar 2020, 17:30 Uhr

In deinem Leben begegnen dir täglich viele Werte und Zahlen, manche von ihnen auch in Form von Prozenten.
→ Aber was bedeutet das, wenn gefragt ist, wie viel 15% von 100 ergeben?
→ Oder wie viel Prozent 25 von 50 sind?

Wie genau du nun Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert berechnen kannst, erkläre ich dir jetzt.

Grundgleichung der Prozentrechnung:

Zunächst musst du dir die folgende Grundgleichung der Prozentrechnung gut einprägen:

"Der Prozentsatz vom Grundwert ist der Prozentwert."
  Prozentsatz • Grundwert = Prozentwert


Begriffserklärung:

Der Grundwert ist der Ausgangswert.

Der Prozentsatz ist ein Anteil des Grundwertes, ausgedrückt in Prozent.

Der Prozentwert ist ein Teil vom Grundwert, ausgedrückt in einem Zahlenwert.




Beispiel

Damit dir das Thema zugänglicher wird, erkläre ich die Begriffe noch einmal an einem Beispiel.

Im Jahrgangsstufentest für Mathematik der 5. Klasse bekamen 6 der 20 Schüler die Note 1:


6 von 20 Schüern, sind ( Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{6}{20} = \frac{30}{100}= ) } 30%



→ Also sind in diesem Fall die 6 Schüler der Prozentwert

→ die 20 Schüler der Grundwert,

→ und die 30% der Prozentsatz.

In der Grundgleichung würde die Rechnung so aussehen:
0,3 • 20 = 6

Übe hier, ob du die Begriffe verstanden hast!


Aufgabe 1

Bei der Berechnung von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert geht es um das Ausrechnen von Teilen des Ganzen, des Ganzen selbst, bzw. des Teiles, welcher in Prozent angegeben werden soll.
Das Ganze, heißt Grundwert. Er ist der Wert, von dem man ausgeht.
Die Zahl, die in Prozent angegeben ist, heißt Prozentsatz.
Wenn man ihn mit dem Grundwert multipliziert, erhält man den Prozentwert, der dann einen Teil des Ganzen, des Grundwertes, darstellt.


Aufgabe 2



Merke
Wenn in der Aufgabe aber nicht nach dem Prozentwert gefragt ist, sondern nach dem Grundwert, verwendet man die Gleichung:
Grundwert = Prozentwert ÷ Prozentsatz



Herleitung der Formel zur Berechnung des Prozentsatzes über die Grundgleichung der Prozentrechnung / Dreisatz
Herleitung Grundwert

Für einen Urlaub müssen 20% des Preises, das sind 160€, angezahlt werden.
Wie teuer ist der Urlaub insgesamt?

Sicherlich ist dir aufgefallen, dass es sich bei den "20% des Preises" um den Prozentsatz handelt.
Folglich muss also der Prozentwert durch den Prozentsatz geteilt werden, um den Grundwert zu erhalten.

Da man die 160€ durch 20 teilt und anschließend mit 100 wieder multipliziert, könnte man genauso durch 0,2 teilen. (20% = 0,2)

Daraus ergibt sich dann die Gleichung:

Grundwert = Prozentwert ÷ Prozentsatz

Grundwert = 160€ ÷ 0,2 = 160€ ÷ Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{2}{10}} = 160€ · Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{10}{2}} = 160€ · 5 = 800€


Merke
Wenn der Prozentsatz gesucht ist, brauchst du zur Berechnung die Gleichung:
Prozentsatz =  Prozentwert ÷ Grundwert



Herleitung der Formel zur Berechnung des Prozentsatzes über die Grundgleichung der Prozentrechnung / Dreisatz
Herleitung Prozentsatz

Der Familienurlaub kostet 800€, wobei 160€ direkt angezahlt werden müssen.
Wie viel Prozent des Urlaubsgeldes muss also gleich überwiesen werden?
Die Gleichung für den Prozentsatz leitet sich ähnlich her:
Man teilt den Grundwert, der ja das Ganze, also 100% repräsentiert, durch 100, um auf 1% zu kommen.
Anschließend wird wieder mit 20 multipliziert, da man von 8€ auf den Prozentwert 160€ kommen will.
Daraus ergibt sich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{100} } • 20 = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{20}{100} } = 20%.

Folglich lautet die Gleichung zur Berechnung des Prozentsatzes:


Prozentsatz = Prozentwert ÷ Grundwert

Prozentsatz = 160€ ÷ 800€ = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{160}{800} } = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{2}{10} } = 20%


Jetzt bist du bereit, dich an ein paar Anwendungsaufgaben zu versuchen. Viel Spaß dabei!


Aufgabe 1


Aufgabe 2


Aufgabe 3


Aufgabe 4


Aufgabe 5


Aufgabe 6



Rechenvorteile
Inhaltsverzeichnis
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