Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik/Berechnung von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert

In deinem Leben begegnen dir täglich viele Werte und Zahlen, manche von ihnen auch in Form von Prozenten.
→ Aber was bedeutet das, wenn gefragt ist, wie viel 15% von 100 ergeben?
→ Oder wie viel Prozent 25 von 50 sind?

Wie genau du nun Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert berechnen kannst, erkläre ich dir jetzt.

Grundgleichung der Prozentrechnung:

Zunächst musst du dir die folgende Grundgleichung der Prozentrechnung gut einprägen:

"Der Prozentsatz vom Grundwert ist der Prozentwert."

  Prozentsatz • Grundwert = Prozentwert

Begriffserklärung:

Der Grundwert ist der Ausgangswert.

Der Prozentsatz ist ein Anteil des Grundwertes, ausgedrückt in Prozent.

Der Prozentwert ist ein Teil vom Grundwert, ausgedrückt in einem Zahlenwert.

Beispiel

Damit dir das Thema zugänglicher wird, erkläre ich die Begriffe noch einmal an einem Beispiel.

Im Jahrgangsstufentest für Mathematik der 5. Klasse bekamen 6 der 20 Schüler die Note 1:

6 von 20 Schüern, sind ( $\frac{6}{20} = \frac{30}{100}= )$ 30%

→ Also sind in diesem Fall die 6 Schüler der Prozentwert

→ die 20 Schüler der Grundwert,

→ und die 30% der Prozentsatz.

In der Grundgleichung würde die Rechnung so aussehen:
0,3 • 20 = 6

Übe hier, ob du die Begriffe verstanden hast!

Aufgabe 1

Bei der Berechnung von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert geht es um das Ausrechnen von Teilen des Ganzen, des Ganzen selbst, bzw. des Teiles, welcher in Prozent angegeben werden soll.
Das Ganze, heißt Grundwert. Er ist der Wert, von dem man ausgeht.
Die Zahl, die in Prozent angegeben ist, heißt Prozentsatz.
Wenn man ihn mit dem Grundwert multipliziert, erhält man den Prozentwert, der dann einen Teil des Ganzen, des Grundwertes, darstellt.

Aufgabe 2

Merke

Wenn in der Aufgabe aber nicht nach dem Prozentwert gefragt ist, sondern nach dem Grundwert, verwendet man die Gleichung:

Grundwert = Prozentwert ÷ Prozentsatz

Herleitung Grundwert

Für einen Urlaub müssen 20% des Preises, das sind 160€, angezahlt werden.
Wie teuer ist der Urlaub insgesamt?

Sicherlich ist dir aufgefallen, dass es sich bei den "20% des Preises" um den Prozentsatz handelt.
Folglich muss also der Prozentwert durch den Prozentsatz geteilt werden, um den Grundwert zu erhalten.

Da man die 160€ durch 20 teilt und anschließend mit 100 wieder multipliziert, könnte man genauso durch 0,2 teilen. (20% = 0,2)

Daraus ergibt sich dann die Gleichung:

Grundwert = Prozentwert ÷ Prozentsatz

Grundwert = 160€ ÷ 0,2 = 160€ ÷ $\frac{2}{10}$ = 160€ · $\frac{10}{2}$ = 160€ · 5 = 800€

Merke

Wenn der Prozentsatz gesucht ist, brauchst du zur Berechnung die Gleichung:

Prozentsatz =  Prozentwert ÷ Grundwert

Herleitung Prozentsatz

Der Familienurlaub kostet 800€, wobei 160€ direkt angezahlt werden müssen.
Wie viel Prozent des Urlaubsgeldes muss also gleich überwiesen werden?
Die Gleichung für den Prozentsatz leitet sich ähnlich her:
Man teilt den Grundwert, der ja das Ganze, also 100% repräsentiert, durch 100, um auf 1% zu kommen.
Anschließend wird wieder mit 20 multipliziert, da man von 8€ auf den Prozentwert 160€ kommen will.
Daraus ergibt sich $\frac{1}{100}$ • 20 = $\frac{20}{100}$ = 20%.

Folglich lautet die Gleichung zur Berechnung des Prozentsatzes:

Prozentsatz = Prozentwert ÷ Grundwert

Prozentsatz = 160€ ÷ 800€ = $\frac{160}{800}$ = $\frac{2}{10}$ = 20%


Jetzt bist du bereit, dich an ein paar Anwendungsaufgaben zu versuchen. Viel Spaß dabei!

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Aufgabe 5

Aufgabe 6

Rechenvorteile

Inhaltsverzeichnis