Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten: Unterschied zwischen den Versionen

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__NOTOC__
<center><table border="0" width="750px" cellpadding=5 cellspacing=15>
{{Box|1=Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten|2=
<tr><td  width="300px" valign="top">
 
Der folgende Lernpfad hilft dir, dein Wissen über den Differenzial- und den Differenzenquotienten aufzufrischen.  
Der folgende Lernpfad hilft dir, dein Wissen über den '''Differenzial- und den Differenzenquotienten''' aufzufrischen.
:* Das erste Kapitel bietet dir die Möglichkeit, die charakteristischen Merkmale des Differenzial- und des Differenzenquotienten in Form von Förderaufgaben zu wiederholen. '''Aufgabe 1''' führt die wichtigsten Begriffe auf und in '''Aufgabe 2''' wird der graphische Zusammenhang thematisiert.
 
:* Im zweiten Kapitel gehen wir einen Schritt weiter. In '''Aufgabe 3, 4 und 5''' könnt ihr an verschiedenen Sachverhalten den Umgang mit dem Differenzen- und dem Differenzialquotienten üben.
* Das erste Kapitel bietet dir die Möglichkeit, die charakteristischen Merkmale des Differenzial- und des Differenzenquotienten in Form von Förderaufgaben zu wiederholen. '''Aufgabe 1''' führt die wichtigsten Begriffe auf und in '''Aufgabe 2''' wird der graphische Zusammenhang thematisiert.
:* Zum Schluss findet ihr in Kapitel 3 unter '''Aufgabe 6''' eine Forderaufgabe, die einige Rechenaufgaben beinhaltet. Auch hier liegt nochmal ein anderer Sachzusammenhang vor. <br />
 
* Im zweiten Kapitel gehen wir einen Schritt weiter. In '''Aufgabe 3, 4 und 5''' könnt ihr an verschiedenen Sachverhalten den Umgang mit dem Differenzen- und dem Differenzialquotienten üben.
 
* Zum Schluss findet ihr in Kapitel 3 unter '''Aufgabe 6''' eine Forderaufgabe, die einige Rechenaufgaben beinhaltet. Auch hier liegt nochmal ein anderer Sachzusammenhang vor.
 
Viel Spaß beim Bearbeiten der Aufgaben und viel Erfolg! :)
Viel Spaß beim Bearbeiten der Aufgaben und viel Erfolg! :)
</td></tr></table></center>
|3=Lernpfad}}
</div>
 
==Umgang mit den Begriffen Differenzen- und Differenzialquotient (Förderaufgaben)==


__TOC__
{{Box|1=1. Unterschied zwischen Differenzen- und Differenzialquotient|2=
 
{{LearningApp|app=pxuwjv3w518|width=100%|height=400px}}


==Umgang mit den Begriffen Differenzen- und Differenzialquotient (Förderaufgaben)==


{{Aufgaben|1 Unterschied zwischen Differenzen- und Differenzialquotient|<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pxuwjv3w518" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Lösung versteckt|1=Mit dem Differenzenquotienten berechnet man die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Abschnitt, mit dem Differenzialquotienten die Steigung zu einem gewissen Zeitpunkt|2=Tipp|3=Tipp schließen}}


<popup Name="Tipp">Mit dem Differenzenquotienten berechnet man die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Abschnitt, mit dem Differenzialquotienten die Steigung zu einem gewissen Zeitpunkt</popup>
{{Lösung versteckt|1=
<popup Name="Lösung">
{{{!}} class="wikitable"
{| class="wikitable"
{{!}}-
|-
! Differenzenquotient !! Differenzialquotient
! Differenzenquotient !! Differenzialquotient
|-
{{!}}-
| die Steigung zwischen zwei Punkten A und B || die Steigung im Punkt P
{{!}} die Steigung zwischen zwei Punkten A und B {{!}}{{!}} die Steigung im Punkt P
|-
{{!}}-
| die durchschnittliche Steigung  || die Ableitung an der Stelle <math>x_0</math>
{{!}} die durchschnittliche Steigung  {{!}}{{!}} die Ableitung an der Stelle <math>x_0</math>
|-
{{!}}-
| die Sekante || die Tangente
{{!}} die Sekante {{!}}{{!}} die Tangente
|-
{{!}}-
| durchschnittliche Änderungsrate || momentane Änderungsrate
{{!}} durchschnittliche Änderungsrate {{!}}{{!}} momentane Änderungsrate
|-
{{!}}-
| <math>\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math> || <math>f'(x_0)</math>
{{!}} <math>\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math> {{!}}{{!}} <math>f'(x_0)</math>
|}</popup>
{{!}}}
}}
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung ausblenden}}
|3=Üben}}




{{Aufgaben|2 Quiz zur Grenzwertbildung|
{{Box|1=2. Quiz zur Grenzwertbildung|2=
Im Folgenden seht ihr einen Graphen. Darin dargestellt ist eine Funktion, auf der die Punkte P und A markiert sind. Die blaue Gerade stellt die Tangente an die Funktion im Punkt P dar. Die gelbe Gerade ist die Sekante durch die Punkte P und Q.
Im Folgenden seht ihr einen Graphen. Darin dargestellt ist eine Funktion, auf der die Punkte P und A markiert sind. Die blaue Gerade stellt die Tangente an die Funktion im Punkt P dar. Die gelbe Gerade ist die Sekante durch die Punkte P und Q.


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Guckt euch genau an, was durch eure Verschiebungen passiert und beantwortet danach die Quizfragen unter der Graphik (die Glühbirne oben links in der Ecke könnte hilfreich sein).
Guckt euch genau an, was durch eure Verschiebungen passiert und beantwortet danach die Quizfragen unter der Graphik (die Glühbirne oben links in der Ecke könnte hilfreich sein).


<iframe scrolling="no" title="Grenzwertbildung" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/rha8xavv/width/1615/height/864/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1200px" height="764px" style="border:0px;"> </iframe>
<ggb_applet id="rha8xavv" width="100%" height="600" />


<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p5gbpwc1518" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{LearningApp|app=p5gbpwc1518|width=100%|height=400px}}
}}
 
|3=Üben}}


==Differenzen- und Differenzialquotient im Sachkontext==
==Differenzen- und Differenzialquotient im Sachkontext==


{{Aufgaben|3 Immer diese Erkältungen...|<iframe scrolling="no" title="Medikament" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/zg2gws6n/width/700/height/668/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="700px" height="668px" style="border:0px;"> </iframe>
{{Box|1=3. Immer diese Erkältungen...|2=
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ptue6gna518" style="border:0px;width:50%;height:633px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
<ggb_applet id="zg2gws6n" width="100%" height="500" />
 
{{LearningApp|app=ptue6gna518|width=100%|height=400px}}


Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:  
Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:  
<popup name="Tipp">
{{Lösung versteckt|1=
Nutze Aufgabe 1, um dir die beiden Begriffe Differenzen- und Differenzialquotient deutlich zu machen.
Nutze Aufgabe 1, um dir die beiden Begriffe Differenzen- und Differenzialquotient deutlich zu machen.
</popup>
|2=Tipp 1|3=Tipp schließen}}


<popup name="Tipp">
{{Lösung versteckt|1=
Ein kleines Beispiel, wie du die Einheit der durchschnittlichen Änderung mit Hilfe des Differenzenquotienten bestimmen kannst: Sei <math> f(t) </math> eine Funktion mit <math> t </math> = Zeit in Stunden und  <math> f(t) </math> = Strecke in km . Der Differenzenquotient lautet ja ganz allgemein <math> \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0} </math>. Da <math> f(t) </math> nach der Aufgabenstellung die Einheit km hat, steht im Zähler des Differenzenquotienten auch die Einheit km. Da <math> t </math> die Einheit Stunden hat, steht im Nenner dementsprechend die Einheit Stunden. Es ergibt sich also für die durchschnittliche Änderung der Strecke die Einheit <math> \frac{km}{h} </math>
Ein kleines Beispiel, wie du die Einheit der durchschnittlichen Änderung mit Hilfe des Differenzenquotienten bestimmen kannst: Sei <math> f(t) </math> eine Funktion mit <math> t </math> = Zeit in Stunden und  <math> f(t) </math> = Strecke in km . Der Differenzenquotient lautet ja ganz allgemein <math> \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0} </math>. Da <math> f(t) </math> nach der Aufgabenstellung die Einheit km hat, steht im Zähler des Differenzenquotienten auch die Einheit km. Da <math> t </math> die Einheit Stunden hat, steht im Nenner dementsprechend die Einheit Stunden. Es ergibt sich also für die durchschnittliche Änderung der Strecke die Einheit <math> \frac{km}{h} </math>
</popup>
|2=Tipp 2|3=Tipp schließen}}


Hier findest du die Lösungen:
Hier findest du die Lösungen:


<popup name="Lösung">
{{Lösung versteckt|1=
zu den ersten beiden Lücken: In einem Graphen ist die y-Achse immer in Abhängigkeit von der x-Achse.
zu den ersten beiden Lücken: In einem Graphen ist die y-Achse immer in Abhängigkeit von der x-Achse.


Zeile 79: Zeile 89:


12. und 13. Lücke: Die momentane Änderungsrate in einem Punkt entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Aus der Skizze kann man entnehmen, dass die Tangentensteigung in den ersten zwei Stunden durchgehend positiv ist.  
12. und 13. Lücke: Die momentane Änderungsrate in einem Punkt entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Aus der Skizze kann man entnehmen, dass die Tangentensteigung in den ersten zwei Stunden durchgehend positiv ist.  
</popup>}}
}}
|3=Üben}}




{{Aufgaben|4 Besucherzahl im Bundestag|Nachdem im Politikunterricht das deutsche politische System behandelt wurde, soll nun ein Ausflug zum Deutschen Bundestag geplant werden. Doch bevor der Kursausflug startet, sollen die Besucherzahlen zwischen 10.00 Uhr und 18.00 Uhr analysiert werden.
{{Box|1=4. Besucherzahl im Bundestag|2=
Nachdem im Politikunterricht das deutsche politische System behandelt wurde, soll nun ein Ausflug zum Deutschen Bundestag geplant werden. Doch bevor der Kursausflug startet, sollen die Besucherzahlen zwischen 10.00 Uhr und 18.00 Uhr analysiert werden.


Die nachfolgende Tabelle stellt die Besucherzahlen zwischen 10.00 Uhr und 18.00 Uhr dar:
Die nachfolgende Tabelle stellt die Besucherzahlen zwischen 10.00 Uhr und 18.00 Uhr dar:
}}
{| class="wikitable"
|-
| '''Uhrzeit''' || 10.00 || 11.00 || 12.00 || 13.00 || 14.00 || 15.00 || 16.00 || 17.00 || 18.00
|-
| '''Besucherzahl'''|| 375 || 270 || 400 || 475 || 512 || 520 || 520 || 350 || 320
|}


{{Aufgaben|a)|
{{{!}} class="wikitable"
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pdmukikav18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{!}}-
{{!}} '''Uhrzeit''' {{!}}{{!}} 10.00 {{!}}{{!}} 11.00 {{!}}{{!}} 12.00 {{!}}{{!}} 13.00 {{!}}{{!}} 14.00 {{!}}{{!}} 15.00 {{!}}{{!}} 16.00 {{!}}{{!}} 17.00 {{!}}{{!}} 18.00
{{!}}-
{{!}} '''Besucherzahl'''{{!}}{{!}} 375 {{!}}{{!}} 270 {{!}}{{!}} 400 {{!}}{{!}} 475 {{!}}{{!}} 512 {{!}}{{!}} 520 {{!}}{{!}} 520 {{!}}{{!}} 350 {{!}}{{!}} 320
{{!}}}
 
'''a)'''
 
{{LearningApp|app=pdmukikav18|width=100%|height=400px}}




Zeile 100: Zeile 113:
Deine nächste Aufgabe ist, mithilfe des Graphen ungefähr zu bestimmen in welchen Zeitintervallen die Besucherzahlen zu- sowie abnehmen. Notiere die Lösung auf einem Zettel.
Deine nächste Aufgabe ist, mithilfe des Graphen ungefähr zu bestimmen in welchen Zeitintervallen die Besucherzahlen zu- sowie abnehmen. Notiere die Lösung auf einem Zettel.


<iframe scrolling="no" title="Bundestag" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wedb4yse/width/1366/height/587/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1100px" height="580px" style="border:0px;"> </iframe>
<ggb_applet id="wedb4yse" width="100%" height="500" />


Brauchst du einen Tipp? Dann klicke hier:  
Brauchst du einen Tipp? Dann klicke hier:
<popup name="Tipp 1">
 
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir zunächst, was Intervalle sind. Im Anschluss bilde die einzelnen Intervalle.
Überlege dir zunächst, was Intervalle sind. Im Anschluss bilde die einzelnen Intervalle.
</popup>
|2=Tipp 1|3=Tipp schließen}}
<popup name="Tipp 2">
 
{{Lösung versteckt|1=
Hier ein Beispiel, wie du berechnen kannst, ob etwas zu- oder abnimmt:
Hier ein Beispiel, wie du berechnen kannst, ob etwas zu- oder abnimmt:
Zwischen 13.00 Uhr und 15.00 Uhr gilt (520-475):2= 22,5, also eine Zunahme der Besucherzahl zwischen den beiden Uhrzeiten.
Zwischen 13.00 Uhr und 15.00 Uhr gilt (520-475):2= 22,5, also eine Zunahme der Besucherzahl zwischen den beiden Uhrzeiten.|2=Tipp 2|3=Tipp schließen}}
</popup>


Vergleiche deine Lösung hier:  
Vergleiche deine Lösung hier:  
<popup name="Lösung">
{{Lösung versteckt|1=
Von 10 bis 12 Uhr nimmt die Besucherzahl zu.  
Von 10 bis 12 Uhr nimmt die Besucherzahl zu.  
Dann steigt die Anzahl der Besucher bis 15.00 Uhr, dies lässt sich gut erkennen, da sich die Besucherzahl um jede weitere Stunde erhöht.  
Dann steigt die Anzahl der Besucher bis 15.00 Uhr, dies lässt sich gut erkennen, da sich die Besucherzahl um jede weitere Stunde erhöht.  
Von 15.00 bis 16.00 bleibt die Anzahl der Besucher konstant, um 15.00 und 16.00 sind nach der Tabelle jeweils 520 Besucher im Bundestag.  
Von 15.00 bis 16.00 bleibt die Anzahl der Besucher konstant, um 15.00 und 16.00 sind nach der Tabelle jeweils 520 Besucher im Bundestag.  
Ab 16.00 fällt erneut die Anzahl der Besucher.  
Ab 16.00 fällt erneut die Anzahl der Besucher.  
 
}}
</popup>


'''c)'''
'''c)'''
Zeile 126: Zeile 139:


Brauchst du einen Tipp? Dann klicke hier:  
Brauchst du einen Tipp? Dann klicke hier:  
<popup name="Tipp 1">
{{Lösung versteckt|1=
Beachte die Uhrzeiten und werde kreativ beim Erklären, weshalb der Graph zu bestimmten Uhrzeiten ab- oder zunimmt.
Beachte die Uhrzeiten und werde kreativ beim Erklären, weshalb der Graph zu bestimmten Uhrzeiten ab- oder zunimmt.
</popup>
|2=Tipp 1|3=Tipp schließen}}
<popup name="Tipp 2">
 
{{Lösung versteckt|1=
Besonders könnte beispielsweise sein, wenn zu einem bestimmten Zeitpunkt viele Menschen den Bundestag besuchen wollen. Überlege dir zum Beispiel, welche Programme für die Besucher zu dieser Uhrzeit dort angeboten werden können.
Besonders könnte beispielsweise sein, wenn zu einem bestimmten Zeitpunkt viele Menschen den Bundestag besuchen wollen. Überlege dir zum Beispiel, welche Programme für die Besucher zu dieser Uhrzeit dort angeboten werden können.
</popup>
|2=Tipp 2|3=Tipp schließen}}


Vergleiche deine Lösung hier:  
Vergleiche deine Lösung hier:  
<popup name="Lösung">
{{Lösung versteckt|1=
Lösungsvorschlag:
Lösungsvorschlag:
Auffällig ist unter anderem, dass viele Besucher bereits um 10.00 Uhr oder zwischen Mittag und Nachmittag den Deutschen Bundestag besichtigen.
Auffällig ist unter anderem, dass viele Besucher bereits um 10.00 Uhr oder zwischen Mittag und Nachmittag den Deutschen Bundestag besichtigen.
Zeile 142: Zeile 156:
Über die weniger stark besuchten Uhrzeiten lässt sich spekulieren.
Über die weniger stark besuchten Uhrzeiten lässt sich spekulieren.
An dieser Stelle sei angemerkt, dass dies nur ein Lösungsvorschlag ist. Solange logisch argumentiert wurde, ist jede Vermutung richtig.
An dieser Stelle sei angemerkt, dass dies nur ein Lösungsvorschlag ist. Solange logisch argumentiert wurde, ist jede Vermutung richtig.
</popup>
}}
}}
|3=Üben}}






{{Aufgaben|5 Studenten und Geschwindigkeit|
{{Box|1=5. Studenten und Geschwindigkeit|2=
Schaue dir die Graphen an und beantworte mithilfe des Differenzen- und Differentialquotienten die anschließenden Fragen. Führe die dazu nötigen Rechnungen in deinem Heft durch. Falls du Schwierigkeiten hast, schaue dir den Tipp am Ende der Aufgabe an.
Schaue dir die Graphen an und beantworte mithilfe des Differenzen- und Differentialquotienten die anschließenden Fragen. Führe die dazu nötigen Rechnungen in deinem Heft durch. Falls du Schwierigkeiten hast, schaue dir den Tipp am Ende der Aufgabe an.


Zeile 155: Zeile 167:
'''a)'''
'''a)'''


<ggb_applet id="tmrgtbff" width="100%" height="500" />


<iframe scrolling="no" title="Auto A+B" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/tmrgtbff/width/600/height/600/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="600px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>
{{LearningApp|app=pn8wdanjk18|width=100%|height=400px}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pn8wdanjk18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>




'''b)'''
'''b)'''


<ggb_applet id="guwwus3e" width="100%" height="500" />
{{LearningApp|app=pakoxqpwn18|width=100%|height=400px}}
{{Lösung versteckt|1=Die ersten Fragen von 5a und 5b kannst du jeweils durch Annäherung des Differentialquotienten beantworten. Die jeweils letzten Fragen werden durch den Differenzenquotienten berechnet.|2=Tipp|3=Tipp schließen}}


<iframe scrolling="no" title="Studenten" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/guwwus3e/width/600/height/600/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="600px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>
|3=Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pakoxqpwn18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup name="Tipp">Die ersten Fragen von 5a und 5b kannst du jeweils durch Annäherung des Differentialquotienten beantworten. Die jeweils letzten Fragen werden durch den Differenzenquotienten berechnet.</popup>}}


==Rechenbeispiel (Forderaufgabe)==
==Rechenbeispiel (Forderaufgabe)==


{{Aufgaben|6: Preis- und Nachfrageberechnung mithilfe von Differenzen- und Differenzialquotient|Passend zum Winter wollen sich die Leute mit Schals eindecken. Die Menge <math>M</math> der Schals, die zum Preis <math>p</math> verkauft werden kann, lässt sich durch folgende Beziehung beschreiben:  
{{Box|1=6. Preis- und Nachfrageberechnung mithilfe von Differenzen- und Differenzialquotient|2=
Passend zum Winter wollen sich die Leute mit Schals eindecken. Die Menge <math>M</math> der Schals, die zum Preis <math>p</math> verkauft werden kann, lässt sich durch folgende Beziehung beschreiben:  
<math>M(p)=-250p^2+156250</math>. Je größere Werte die Funktion <math>M(p)</math> annimmt, desto höher ist also die Nachfrage der Konsumenten nach Schals.
<math>M(p)=-250p^2+156250</math>. Je größere Werte die Funktion <math>M(p)</math> annimmt, desto höher ist also die Nachfrage der Konsumenten nach Schals.


Zeile 175: Zeile 191:
Bestimme, wie stark die Nachfrage sinkt, wenn der Preis von 10€ auf 12€ bzw. von 15€ auf 20€ erhöht wird. Wie hoch ist in beiden Fällen die durchschnittliche Abnahme je € Preissteigerung? Rechne die Lösung dazu zuerst in deinem Heft aus. Danach kannst du sie in die Felder unten eintragen und überprüfen, ob die Lösung stimmt.
Bestimme, wie stark die Nachfrage sinkt, wenn der Preis von 10€ auf 12€ bzw. von 15€ auf 20€ erhöht wird. Wie hoch ist in beiden Fällen die durchschnittliche Abnahme je € Preissteigerung? Rechne die Lösung dazu zuerst in deinem Heft aus. Danach kannst du sie in die Felder unten eintragen und überprüfen, ob die Lösung stimmt.


<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p9qpp6cyj18" style="border:0px;width:100%;height:400px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{LearningApp|app=p9qpp6cyj18|width=100%|height=400px}}


<popup Name="Tipp 1">Die Formel für den Differenzenquotienten lautet: <math>\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>. Aber Achtung: Sie wird nicht für jede Rechnung benötigt.</popup>
<popup Name="Tipp 2">Überlege dir genau, was du mit dem Differenzenquotienten ausgerechnet hast und erinnere dich an die Beschreibung "durchschnittliche Änderungsrate".</popup>


<popup Name="Lösung zu a)">Um den Nachfragerückgang zu berechnen bildet man die Differenz der Nachfragen bei verschiedenen Preisen. Man rechnet für die ersten beiden Lücken beispielhaft: <math>M(12)-M(10)=-250 \cdot 12^2+156250-(-250*10^2+156250)=-11000</math>. Das Ergebnis -11000 bedeutet, dass die Nachfrage um 11000 Stück zurückgegangen ist. Für den Rückgang je € benötigt man den Differenzenquotienten. Den Zähler habt ihr bereits berechnet, daher ist das vorherige Ergebnis nur noch durch <math>x-x_0</math> zu teilen (im Beispiel (12-10)). Somit ergibt sich für die Lücken:
{{Lösung versteckt|1=Die Formel für den Differenzenquotienten lautet: <math>\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>. Aber Achtung: Sie wird nicht für jede Rechnung benötigt.|2=Tipp 1|3=Tipp schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir genau, was du mit dem Differenzenquotienten ausgerechnet hast und erinnere dich an die Beschreibung "durchschnittliche Änderungsrate".|2=Tipp 2|3=Tipp schließen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Um den Nachfragerückgang zu berechnen bildet man die Differenz der Nachfragen bei verschiedenen Preisen. Man rechnet für die ersten beiden Lücken beispielhaft: <math>M(12)-M(10)=-250 \cdot 12^2+156250-(-250*10^2+156250)=-11000</math>. Das Ergebnis -11000 bedeutet, dass die Nachfrage um 11000 Stück zurückgegangen ist. Für den Rückgang je € benötigt man den Differenzenquotienten. Den Zähler habt ihr bereits berechnet, daher ist das vorherige Ergebnis nur noch durch <math>x-x_0</math> zu teilen (im Beispiel (12-10)). Somit ergibt sich für die Lücken:


1. Lücke: 11000
1. Lücke: 11000
Zeile 188: Zeile 205:
3. Lücke: 5500
3. Lücke: 5500


4. Lücke: 8750</popup>
4. Lücke: 8750
|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}}


'''b)'''
'''b)'''
Mit welchem Nachfragerückgang muss man bei einem Preis von 8€ (15€, 20€) rechnen? Bei welchem Preis werden die Schals unverkäuflich? Rechne auch hier zuerst in deinem Heft. Danach kannst du die Lösung in die Felder unten eintragen und überprüfen, ob sie stimmt.
Mit welchem Nachfragerückgang muss man bei einem Preis von 8€ (15€, 20€) rechnen? Bei welchem Preis werden die Schals unverkäuflich? Rechne auch hier zuerst in deinem Heft. Danach kannst du die Lösung in die Felder unten eintragen und überprüfen, ob sie stimmt.


<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=php6jpipa18" style="border:0px;width:100%;height:400px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{LearningApp|app=php6jpipa18|width=100%|height=400px}}


<popup Name="Tipp 1">Hier muss mit der momentanen Änderungsrate, also der Ableitung, gearbeitet werden.</popup>
{{Lösung versteckt|1=Hier muss mit der momentanen Änderungsrate, also der Ableitung, gearbeitet werden.|2=Tipp 1|3=Tipp schließen}}
<popup Name="Tipp 2">Die Ableitung ist gegeben durch: <math>M'(p)=-500p</math></popup>
{{Lösung versteckt|1=Die Ableitung ist gegeben durch: <math>M'(p)=-500p</math>|2=Tipp 2|3=Tipp schließen}}
<popup Name="Tipp 3">Überlege dir, was es heißt, dass die Ware unverkäuflich ist. Welchen Wert muss die Funktion für M(p) annehmen?</popup>
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was es heißt, dass die Ware unverkäuflich ist. Welchen Wert muss die Funktion für M(p) annehmen?|2=Tipp 3|3=Tipp schließen}}


<popup Name="Lösung zu b)">1. Lücke: 4000
{{Lösung versteckt|1=
1. Lücke: 4000


2. Lücke: 7500
2. Lücke: 7500
Zeile 207: Zeile 226:
Die Ware ist unverkäuflich, wenn <math>M(p)=0</math> gilt. Die Gleichung muss dann nach <math>p</math> aufgelöst werden. Damit:  
Die Ware ist unverkäuflich, wenn <math>M(p)=0</math> gilt. Die Gleichung muss dann nach <math>p</math> aufgelöst werden. Damit:  


4. Lücke: 25</popup>
4. Lücke: 25|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}}
}}
|3=Üben}}
 
{{Navigation verstecken|
'''Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:'''
*Suche dir aus den in den folgenden Abschnitten genannten Themen eines (oder mehrere) aus. Zu jedem Thema gibt es neben Förder- auch Forderaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.
 
 
'''Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:'''
*bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zu: [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate|Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate]]
*bei den Aufgaben 4 - 7, gehe zu: [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten|Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten]]
*bei den Aufgaben 8 - 11, gehe zu: [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt|Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt]]
*bei den Aufgaben 12 - 14, gehe zu: [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Graphisches Ableiten|Graphisches Ableiten]]
*bei den Aufgaben 15 - 17, gehe zu: [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Die Ableitung im Sachkontext|Die Ableitung im Sachkontext]]
 
<small><<< zurück zu [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen|Trainingsfeld Ableitungen]]</small>
|Wie geht es weiter?|schließen}}
 
 


[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule|!]]
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Aktuelle Version vom 23. März 2021, 16:26 Uhr


Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten

Der folgende Lernpfad hilft dir, dein Wissen über den Differenzial- und den Differenzenquotienten aufzufrischen.

  • Das erste Kapitel bietet dir die Möglichkeit, die charakteristischen Merkmale des Differenzial- und des Differenzenquotienten in Form von Förderaufgaben zu wiederholen. Aufgabe 1 führt die wichtigsten Begriffe auf und in Aufgabe 2 wird der graphische Zusammenhang thematisiert.
  • Im zweiten Kapitel gehen wir einen Schritt weiter. In Aufgabe 3, 4 und 5 könnt ihr an verschiedenen Sachverhalten den Umgang mit dem Differenzen- und dem Differenzialquotienten üben.
  • Zum Schluss findet ihr in Kapitel 3 unter Aufgabe 6 eine Forderaufgabe, die einige Rechenaufgaben beinhaltet. Auch hier liegt nochmal ein anderer Sachzusammenhang vor.
Viel Spaß beim Bearbeiten der Aufgaben und viel Erfolg! :)

Umgang mit den Begriffen Differenzen- und Differenzialquotient (Förderaufgaben)

1. Unterschied zwischen Differenzen- und Differenzialquotient


Mit dem Differenzenquotienten berechnet man die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Abschnitt, mit dem Differenzialquotienten die Steigung zu einem gewissen Zeitpunkt
Differenzenquotient Differenzialquotient
die Steigung zwischen zwei Punkten A und B die Steigung im Punkt P
die durchschnittliche Steigung die Ableitung an der Stelle
die Sekante die Tangente
durchschnittliche Änderungsrate momentane Änderungsrate


2. Quiz zur Grenzwertbildung

Im Folgenden seht ihr einen Graphen. Darin dargestellt ist eine Funktion, auf der die Punkte P und A markiert sind. Die blaue Gerade stellt die Tangente an die Funktion im Punkt P dar. Die gelbe Gerade ist die Sekante durch die Punkte P und Q.

Ihr könnt sowohl die Punkte auf dem Graph verschieben als auch durch die Schieberegler den Abstand h zwischen den Punkten P und A verändern.

Guckt euch genau an, was durch eure Verschiebungen passiert und beantwortet danach die Quizfragen unter der Graphik (die Glühbirne oben links in der Ecke könnte hilfreich sein).

GeoGebra


Differenzen- und Differenzialquotient im Sachkontext

3. Immer diese Erkältungen...
GeoGebra



Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:

Nutze Aufgabe 1, um dir die beiden Begriffe Differenzen- und Differenzialquotient deutlich zu machen.
Ein kleines Beispiel, wie du die Einheit der durchschnittlichen Änderung mit Hilfe des Differenzenquotienten bestimmen kannst: Sei eine Funktion mit = Zeit in Stunden und = Strecke in km . Der Differenzenquotient lautet ja ganz allgemein . Da nach der Aufgabenstellung die Einheit km hat, steht im Zähler des Differenzenquotienten auch die Einheit km. Da die Einheit Stunden hat, steht im Nenner dementsprechend die Einheit Stunden. Es ergibt sich also für die durchschnittliche Änderung der Strecke die Einheit

Hier findest du die Lösungen:

zu den ersten beiden Lücken: In einem Graphen ist die y-Achse immer in Abhängigkeit von der x-Achse.

3. und 4. Lücke: Der Differenzenquotient beschreibt die durchschnittliche Änderung in einem bestimmten Intervall.

5. Lücke: Man berechnet mit dem Differenzenquotienten .

6. und 7. Lücke : Der berechnete Differenzenquotient entspricht der Steigung der Sekante im entsprechenden Intervall .

8. Lücke: Im Schnitt nimmt die Medikamentenkonzentration in den ersten zwei Stunden mit einer Geschwindigkeit von pro Stunde zu.

9. und 10. Lücke: Momentane Änderungsraten bestimmst du mit dem Differenzailquotienten (Ableitung).

11. Lücke: Die momentane Änderungsrate hat die gleiche Einheit wie die durchschnittliche Änderungsrate ( pro Stunde ).

12. und 13. Lücke: Die momentane Änderungsrate in einem Punkt entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Aus der Skizze kann man entnehmen, dass die Tangentensteigung in den ersten zwei Stunden durchgehend positiv ist.


4. Besucherzahl im Bundestag

Nachdem im Politikunterricht das deutsche politische System behandelt wurde, soll nun ein Ausflug zum Deutschen Bundestag geplant werden. Doch bevor der Kursausflug startet, sollen die Besucherzahlen zwischen 10.00 Uhr und 18.00 Uhr analysiert werden.

Die nachfolgende Tabelle stellt die Besucherzahlen zwischen 10.00 Uhr und 18.00 Uhr dar:

Uhrzeit 10.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00
Besucherzahl 375 270 400 475 512 520 520 350 320

a)



b) Deine nächste Aufgabe ist, mithilfe des Graphen ungefähr zu bestimmen in welchen Zeitintervallen die Besucherzahlen zu- sowie abnehmen. Notiere die Lösung auf einem Zettel.

GeoGebra

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Überlege dir zunächst, was Intervalle sind. Im Anschluss bilde die einzelnen Intervalle.

Hier ein Beispiel, wie du berechnen kannst, ob etwas zu- oder abnimmt:

Zwischen 13.00 Uhr und 15.00 Uhr gilt (520-475):2= 22,5, also eine Zunahme der Besucherzahl zwischen den beiden Uhrzeiten.

Vergleiche deine Lösung hier:

Von 10 bis 12 Uhr nimmt die Besucherzahl zu. Dann steigt die Anzahl der Besucher bis 15.00 Uhr, dies lässt sich gut erkennen, da sich die Besucherzahl um jede weitere Stunde erhöht. Von 15.00 bis 16.00 bleibt die Anzahl der Besucher konstant, um 15.00 und 16.00 sind nach der Tabelle jeweils 520 Besucher im Bundestag.

Ab 16.00 fällt erneut die Anzahl der Besucher.

c)

Schau dir die Tabelle und den Graphen noch einmal anschauen und achte dabei auf Besonderheiten. Was fällt dir besonders auf? Weiter stell Vermutungen auf, was mögliche Gründe für stärker und schwächer besuchte Uhrzeiten sind.

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Beachte die Uhrzeiten und werde kreativ beim Erklären, weshalb der Graph zu bestimmten Uhrzeiten ab- oder zunimmt.
Besonders könnte beispielsweise sein, wenn zu einem bestimmten Zeitpunkt viele Menschen den Bundestag besuchen wollen. Überlege dir zum Beispiel, welche Programme für die Besucher zu dieser Uhrzeit dort angeboten werden können.

Vergleiche deine Lösung hier:

Lösungsvorschlag: Auffällig ist unter anderem, dass viele Besucher bereits um 10.00 Uhr oder zwischen Mittag und Nachmittag den Deutschen Bundestag besichtigen.

Gründe dafür könnten sein, dass zu diesen Uhrzeiten Sonderführungen angeboten werden. Ebenfalls könnte ein Grund sein, dass zu diesen Zeiten der Deutsche Bundestag tagt und dieses ein besonderes Erlebnis für die Besucher sein könnte.

Über die weniger stark besuchten Uhrzeiten lässt sich spekulieren.

An dieser Stelle sei angemerkt, dass dies nur ein Lösungsvorschlag ist. Solange logisch argumentiert wurde, ist jede Vermutung richtig.



5. Studenten und Geschwindigkeit

Schaue dir die Graphen an und beantworte mithilfe des Differenzen- und Differentialquotienten die anschließenden Fragen. Führe die dazu nötigen Rechnungen in deinem Heft durch. Falls du Schwierigkeiten hast, schaue dir den Tipp am Ende der Aufgabe an.


a)

GeoGebra



b)

GeoGebra



Die ersten Fragen von 5a und 5b kannst du jeweils durch Annäherung des Differentialquotienten beantworten. Die jeweils letzten Fragen werden durch den Differenzenquotienten berechnet.

Rechenbeispiel (Forderaufgabe)

6. Preis- und Nachfrageberechnung mithilfe von Differenzen- und Differenzialquotient

Passend zum Winter wollen sich die Leute mit Schals eindecken. Die Menge der Schals, die zum Preis verkauft werden kann, lässt sich durch folgende Beziehung beschreiben: . Je größere Werte die Funktion annimmt, desto höher ist also die Nachfrage der Konsumenten nach Schals.

a) Bestimme, wie stark die Nachfrage sinkt, wenn der Preis von 10€ auf 12€ bzw. von 15€ auf 20€ erhöht wird. Wie hoch ist in beiden Fällen die durchschnittliche Abnahme je € Preissteigerung? Rechne die Lösung dazu zuerst in deinem Heft aus. Danach kannst du sie in die Felder unten eintragen und überprüfen, ob die Lösung stimmt.



Die Formel für den Differenzenquotienten lautet: . Aber Achtung: Sie wird nicht für jede Rechnung benötigt.
Überlege dir genau, was du mit dem Differenzenquotienten ausgerechnet hast und erinnere dich an die Beschreibung "durchschnittliche Änderungsrate".

Um den Nachfragerückgang zu berechnen bildet man die Differenz der Nachfragen bei verschiedenen Preisen. Man rechnet für die ersten beiden Lücken beispielhaft: . Das Ergebnis -11000 bedeutet, dass die Nachfrage um 11000 Stück zurückgegangen ist. Für den Rückgang je € benötigt man den Differenzenquotienten. Den Zähler habt ihr bereits berechnet, daher ist das vorherige Ergebnis nur noch durch zu teilen (im Beispiel (12-10)). Somit ergibt sich für die Lücken:

1. Lücke: 11000

2. Lücke: 43750

3. Lücke: 5500

4. Lücke: 8750

b) Mit welchem Nachfragerückgang muss man bei einem Preis von 8€ (15€, 20€) rechnen? Bei welchem Preis werden die Schals unverkäuflich? Rechne auch hier zuerst in deinem Heft. Danach kannst du die Lösung in die Felder unten eintragen und überprüfen, ob sie stimmt.



Hier muss mit der momentanen Änderungsrate, also der Ableitung, gearbeitet werden.
Die Ableitung ist gegeben durch:
Überlege dir, was es heißt, dass die Ware unverkäuflich ist. Welchen Wert muss die Funktion für M(p) annehmen?

1. Lücke: 4000

2. Lücke: 7500

3. Lücke: 10000

Die Ware ist unverkäuflich, wenn gilt. Die Gleichung muss dann nach aufgelöst werden. Damit:

4. Lücke: 25