Ein Zoo ist bekanntermaßen in den Sommerferien am besten besucht. Die Besucherzahlen (in 100 Personen) eines bestimmten Zoos können durch die Funktion
für
näherungsweise beschrieben werden. Dabei gibt die Uhrzeit in Stunden an.
Abb. 5.1: Besucherzahl eines Zoos
Rechne die folgenden Aufgaben im Heft und vergleiche mit den angegebenen Lösungsvorschlägen.
a) Zu welcher Uhrzeit befinden sich am meisten Besucher in dem Zoo? Und wie viele sind es?
Bilde die erste und die zweite Ableitung.
Die Ableitungen lauten:
und
Die Nullstellen der Ableitung entsprechen den Maximalstellen der Normalfunktion. Setzt man die Ableitung gleich 0, also
, dann erhält man
und
. Da der Zoo erst um 10:00 Uhr (also
) öffnet, ist
die einzige Lösung. Kontrolliert man den Wert mit der hinreichenden Bedingung, so erhält man
, also ist
die Maximalstelle.
Setzt man die Maximalstelle in die Funktion ein erhält man:
. Da die Besucherzahlen in 100 Personen angegeben werden, ergibt sich die Lösung, wenn man 11,3 mit 100 multipliziert.
Die Antwort: Mit 1130 Besuchern sind um 16:00 Uhr die meisten Menschen im Zoo.
b) Begründe den so gewählten Definitionsbereich.
Die Wahl des Definitionsbereich hängt stark mit dem Sachzusammenhang zusammen.
Die Werte der Funktion
, die kleiner als 0 sind, ergeben im Sachzusammenhang keinen Sinn. Es gibt keine negative Anzahl an Besuchern in einem Zoo. Das wichtigste Argument ist an dieser Stelle jedoch die Uhrzeit: Grundsätzlich ist es nur sinnvoll, wenn
gilt, da ein Tag nur 24 Stunden hat. Da der Zoo aber nur ab 10:00 Uhr und bis 19:30 Uhr geöffnet hat, fallen alle weiteren Werte von
weg, wenn nicht gilt:
.
c) Wann ist die Besucherzahl am geringsten?
Bei dieser Aufgabe ist es wichtig, sich den Definitionsbereich noch einmal genauer anzugucken. Du darfst auch mit der Abbildung 5.1 deine Begründung unterstützen.
Warum ist es falsch, an dieser Stelle nach der Minimalstelle zu suchen?
Die Besucherzahl ist um 19:30 Uhr am geringsten. Das ist der einzige Nullpunkt im Definitionsbereich. Die Minimalstelle liegt, wie man in der Abbildung deutlich erkennen kann unterhalb der x-Achse und eine negative Besucherzahl ist nicht möglich. Außerdem liegt diese Stelle nicht mehr im Definitionsbereich.
d) Zu welcher Uhrzeit ist der Andrang in den Zoo am größten?
Mit der Frage nach dem größten Andrang ist der größte Zuwachs an Besuchern gemeint.
Der größte Zuwachs an Besuchern entspricht dem Maximum der ersten Ableitung.
Indem die zweite Ableitung gleich 0 gesetzt wird, kann man die Wendestelle ausrechnen. Daraus ergibt sich t = 12. Da die dritte Ableitung konstant
ist, wird auch das hinreichende Kriterium erfüllt. Also sind die meisten Menschen um 12:00 Uhr auf den Weg in den Zoo.
e) Im Winter können die Besucherzahlen für diesen Zoo durch die Funktion beschrieben werden. Im folgenden ist der Graph der Funktion gezeichnet:
Abb. 5.2: Besuchszahlen im Winter
Wie lauten die Öffnungszeiten im Winter? Argumentiere im Sachzusammenhang und mit der zweiten Ableitung.
Warum kann nicht der gleiche Definitionsbereich wie für die Funktion
benutzt werden?
Ist die zweite Ableitung
negativ , so hat der Graph der Funktion
eine Rechtskrümmung. Ist die zweite Ableitung größer 0, so besitzt der Graph der Funktion
eine Linkskrümmung.
Wenn ein Graph zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen rechtsgekrümmt ist, so liegt er im positiven Bereich. Ist er zwischen zwei Nullstellen linksgekrümmt, so ist er in diesem Bereich negativ.
Die Öffnungszeiten sind die Nullstellen der Funktion
. Für die Gleichung
gibt es drei Lösungen:
,
und
. Die zweite Ableitung
ist kleiner als 0 für
. Also ist die Funktion
zwischen diesen Nullstellen positiv.
Da nur positive Werte für Besucherzahlen Sinn ergeben, muss der Zoo für
, also zwischen 10:00 Uhr und 17:00 Uhr, geöffnet sein.