Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Die Ableitung im Sachkontext: Unterschied zwischen den Versionen
Aus ZUM Projektwiki
Main>Hanna WWU3 |
Main>Valentin WWU3 Keine Bearbeitungszusammenfassung |
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<popup name="Tipp 2">Die Ableitungen lauten: <math>b ' (t) = - 0,15 t^2 + 3,6 t - 19,2</math> und <math>b '' (t) = - 0,3 t + 3,6 </math></popup> | <popup name="Tipp 2">Die Ableitungen lauten: <math>b ' (t) = - 0,15 t^2 + 3,6 t - 19,2</math> und <math>b '' (t) = - 0,3 t + 3,6 </math></popup> | ||
<popup name="Lösung">Die Nullstellen der Ableitung entsprechen den Maximalstellen der Normalfunktion. Setzt man die Ableitung gleich 0, also <math>0 = b'(t) = - 0,15 t^2 + 3,6 t - 19,2</math> , dann erhält man <math>t_1 = 8</math> und <math>t_2 = 16 </math>. Da der Zoo erst um 10:00 Uhr (also <math>t = 10</math>) öffnet, ist <math>t_2</math> die einzige Lösung. Kontrolliert man den Wert mit der hinreichenden Bedingung, so erhält man <math>b''(t_2)= - 1,2 < 0 </math>, also ist <math>t_2</math> die Maximalstelle. <br/> | <popup name="Lösung">Die Nullstellen der Ableitung entsprechen den Maximalstellen der Normalfunktion. Setzt man die Ableitung gleich 0, also <math>0 = b'(t) = - 0,15 t^2 + 3,6 t - 19,2</math>, dann erhält man <math>t_1 = 8</math> und <math>t_2 = 16 </math>. Da der Zoo erst um 10:00 Uhr (also <math>t = 10</math>) öffnet, ist <math>t_2</math> die einzige Lösung. Kontrolliert man den Wert mit der hinreichenden Bedingung, so erhält man <math>b''(t_2)= - 1,2 < 0 </math>, also ist <math>t_2</math> die Maximalstelle. <br/> Setzt man die Maximalstelle in die Funktion ein erhält man: <math>b(16) = 11,3</math>. Da die Besucherzahlen in 100 Personen angegeben werden, ergibt sich die Lösung, wenn man 11,3 mit 100 multipliziert. <br/> <br/>'''Die Antwort: Mit 1130 Besuchern sind um 16:00 Uhr die meisten Menschen im Zoo.</popup> | ||
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<popup name="Tipp 3">Wenn ein Graph zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen rechtsgekrümmt ist, so liegt er im positiven Bereich. Ist er zwischen zwei Nullstellen linksgekrümmt, so ist er in diesem Bereich negativ. </popup> | <popup name="Tipp 3">Wenn ein Graph zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen rechtsgekrümmt ist, so liegt er im positiven Bereich. Ist er zwischen zwei Nullstellen linksgekrümmt, so ist er in diesem Bereich negativ. </popup> | ||
<popup name="Lösung"> Die Öffnungszeiten sind die Nullstellen der Funktion <math>g</math>. Für die Gleichung <math> g(t) = 0,0625 t^3 - 3,25 t ^2 + 52,8125 t - 265,625 = 0 </math> gibt es drei Lösungen: <math> t_1 = 10</math>, <math> t_2 = 17</math> und <math> t_3 = 25</math>. Die zweite Ableitung <math> g '' (t) = 0,375 t - 6,5 </math> ist kleiner als 0 für <math> 10 \leq t \leq 17</math>. Also ist die Funktion <math> g </math> zwischen diesen Nullstellen positiv. </ | <popup name="Lösung"> Die Öffnungszeiten sind die Nullstellen der Funktion <math>g</math>. Für die Gleichung <math> g(t) = 0,0625 t^3 - 3,25 t ^2 + 52,8125 t - 265,625 = 0 </math> gibt es drei Lösungen: <math> t_1 = 10</math>, <math> t_2 = 17</math> und <math> t_3 = 25</math>. Die zweite Ableitung <math> g '' (t) = 0,375 t - 6,5 </math> ist kleiner als 0 für <math> 10 \leq t \leq 17</math>. Also ist die Funktion <math> g </math> zwischen diesen Nullstellen positiv. <br/> Da nur positive Werte für Besucherzahlen Sinn ergeben, muss der Zoo für <math> 10 \leq t \leq 17</math>, also zwischen 10:00 Uhr und 17:00 Uhr, geöffnet sein.</popup> | ||
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'''a)''' Wie viele Kilometer hat Peters Familie in den ersten 2 Stunden näherungsweise zurückgelegt? | '''a)''' Wie viele Kilometer hat Peters Familie in den ersten 2 Stunden näherungsweise zurückgelegt? | ||
"Näherungsweise" bedeutet | "Näherungsweise" bedeutet: An dieser Stelle musst du nur die Phasen konstanter Geschwindigkeit in Betracht ziehen. Schreibe die Lösung in dein Heft.<br /> | ||
<popup name="Tipp">Wenn man die Beschleunigs- und Bremsphasen beiseite lässt, erhählt man fünf einzelne Abschnitte, die man berechnen kann. (Zeit*Geschwindigkeit=Strecke)</popup> | <popup name="Tipp">Wenn man die Beschleunigs- und Bremsphasen beiseite lässt, erhählt man fünf einzelne Abschnitte, die man berechnen kann. (Zeit*Geschwindigkeit=Strecke)</popup> | ||
<popup name="Lösung"> Strecke AB (6 Minuten): <math>0,1 h * 30 km/h = 3 km</math> <br/> Strecke CD (20 Minuten): <math>0,333 h * 50 km/h = 16,666 km</math> <br/> Strecke EF (30 Minuten): <math>0,5 h * 100 km/h = 50 km</math> <br/> Strecke GH (15 Minuten): <math>0,25 h * 50 km/h = 12,5 km</math> <br/> Strecke IJ (35 Minuten): <math>0,583 h * 100 km/h = 58,33 km</math> <br/> '''Insgesamt also:''' <math>3 km + 16,66 km + 50 km + 12,5 km + 58,33 km = 140,5</math> </popup> | <popup name="Lösung"> Strecke AB (6 Minuten): <math>0,1 h * 30 km/h = 3 km</math> <br/> Strecke CD (20 Minuten): <math>0,333 h * 50 km/h = 16,666 km</math> <br/> Strecke EF (30 Minuten): <math>0,5 h * 100 km/h = 50 km</math> <br/> Strecke GH (15 Minuten): <math>0,25 h * 50 km/h = 12,5 km</math> <br/> Strecke IJ (35 Minuten): <math>0,583 h * 100 km/h = 58,33 km</math> <br/> '''Insgesamt also:''' <math>3 km + 16,66 km + 50 km + 12,5 km + 58,33 km = 140,5</math> </popup> | ||
Version vom 2. Dezember 2018, 16:56 Uhr
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Auf dieser Seite findest du Aufgaben, die dein Verständnis zum Sachkontext von Ableitungen vertiefen sollen. Du wiederholst, Ergebnisse im Sachzusammenhang zu interpretieren, Signalwörter in den Aufgabenstellungen zu erkennen und diese mit den entsprechenden rechnerischen Vorgehensweisen zu verknüpfen. Außerdem vertiefst du an verschiedenen Beispielen den Zusammenhang zwischen der Funktion und den einzelnen Ableitungen. Dies tust du vor allem mit Bezug auf die Einheiten der Funktionswerte. |
Durchschnittliche Änderungsrate im Sachzusammenhang
Wiederholung wichtiger Signalwörter
Funktionswerte und Ergebnisse im Sachzusammenhang deuten
Einheiten der Ableitungsfunktion
Funktionsuntersuchung
