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| Das wirst du heute lernen: | | Das wirst du heute lernen: |
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| *Was Zinsen, Zinseszinz, Zinssatz und Kapital sind. | | *Was Zinsen, Zinseszins, Zinssatz und Kapital sind. |
| *Was die Zinsformel ist und wieso sie so lautet. | | *Was die Zinsformel ist und wieso sie so lautet. |
| *Wie du die Zinsformel im Alltag benutzen kannst. | | *Wie du die Zinsformel im Alltag benutzen kannst. |
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| *Bruchrechnung: Du solltest grob wissen, wie man mit Brüchen rechnet. | | *Bruchrechnung: Du solltest grob wissen, wie man mit Brüchen rechnet. |
| *Prozentrechnung: Du solltest wissen, wie du den Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz berechnen kannst. | | *Prozentrechnung: Du solltest wissen, wie du den Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz berechnen kannst. |
| | *Potenzrechnung: Du solltest wissen, was Potenzen in der Mathematik sind. |
| *Termumformungen: Du solltest Terme mithilfe von Termumformungen nach einer Unbekannten auflösen können. | | *Termumformungen: Du solltest Terme mithilfe von Termumformungen nach einer Unbekannten auflösen können. |
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| <math id="Prozentformel">W = G \cdot \frac{p}{100}</math>. | | <math id="Prozentformel">W = G \cdot \frac{p}{100}</math>. |
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| Dabei ist <math>W</math> der Prozentwert, <math>G</math> der Grundwert und <math>p</math> der Prozentsatz. Möchtest du zum Beispiel wissen, was <math>3%</math> von <math>250</math> g Mehl sind, rechnest du das mit genau dieser Formel aus: | | Dabei ist <math>W</math> der Prozentwert, <math>G</math> der Grundwert und <math>p</math> der Prozentsatz. Möchtest du zum Beispiel wissen, was <math>3\text{ }%</math> von <math>250</math> g Mehl sind, rechnest du das mit genau dieser Formel aus: |
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| {{Box | Alltagsbeispiel Nr. 2: Kredit | Deine Mutter möchte einen Neuwagen kaufen und entscheidet sich für ein Auto. Dieses kostet 15.000 €. Deine Mutter hat aber gerade nur 7.000 € zur Verfügung. Deshalb geht sie zu ihrer Bank, um einen Kredit aufzunehmen. Die Bank bietet ihr einen Kredit von 10.000 € mit einem Zinssatz von <math>5\text{ }%</math>. Deine Mutter bezahlt den Opel mit 5.000 € aus ihrer eigenen Tasche und den Rest mit dem Kredit. Der Kredit soll über 5 Jahre abbezahlt werden. Wie viel wird deine Mutter jeden Monat an die Bank überweisen müssen? | | {{Box | Alltagsbeispiel Nr. 2: Kredit | Deine Mutter möchte einen Neuwagen kaufen und entscheidet sich für ein Auto. Dieses kostet 15.000 €. Deine Mutter hat aber gerade nur 7.000 € zur Verfügung. Deshalb geht sie zu ihrer Bank, um einen Kredit aufzunehmen. Die Bank bietet ihr einen Kredit von 10.000 € mit einem Zinssatz von <math>5\text{ }%</math>. Deine Mutter bezahlt das Auto mit 5.000 € aus ihrer eigenen Tasche und den Rest mit dem Kredit. Der Kredit soll über 5 Jahre abbezahlt werden. Wie viel wird deine Mutter jeden Monat an die Bank überweisen müssen? |
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| Probieren wir die Zinsformel doch mal zusammen anhand eines Beispiels aus: | | Probieren wir die Zinsformel doch mal zusammen anhand eines Beispiels aus: |
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| {{Box|Katharinas Geburtstag|Katharina hat zum Geburtstag ein Sparkonto bekommen. Dort bekommt sie in einem Jahr <math>1%</math> Zinsen gezahlt. Sie zahlt direkt all ihr Geburtstagsgeld von <math>100</math> € auf das Sparkonto. Wie viel Geld hat sie an ihrem nächsten Geburtstag auf diesem Konto?|Hervorhebung1}} | | {{Box|Katharinas Geburtstag|Katharina hat zum Geburtstag ein Sparkonto bekommen. Dort bekommt sie in einem Jahr <math>1\text{ }%</math> Zinsen gezahlt. Sie zahlt direkt all ihr Geburtstagsgeld von <math>100\text{ €}</math> auf das Sparkonto. Wie viel Geld hat sie an ihrem nächsten Geburtstag auf diesem Konto?|Hervorhebung1}} |
| Lösung: | | {{Lösung versteckt|1= '''Gegeben:''' <math>K = 100</math> €, <math>p=1\text{ }%</math>. |
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| '''Gegeben:''' <math>K = 100</math> €, <math>p = 1%</math>. | |
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| '''Gesucht:''' Kapital nach einem Jahr. | | '''Gesucht:''' Kapital nach einem Jahr. |
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| '''Rechnung:''' Um das Kapital nach einem Jahr zu bestimmen, berechnen wir zunächst die Zinsen:<math id="Zinsformel Bsp1">Z = 100\text{ €} \cdot \frac{1}{100} = 1\text{ €}</math>. Nach einem Jahr hat sie demnach das Kapital von ihrem Geburtstag plus die Zinsen, <math>100\text{ €} + 1\text{ €} = 101\text{ €}</math>, auf dem Konto. | | '''Rechnung:''' Um das Kapital nach einem Jahr zu bestimmen, berechnen wir zunächst die Zinsen: <math id="Zinsformel Bsp1">Z = 100\text{ €} \cdot \frac{1}{100} = 1\text{ €}</math>. Nach einem Jahr hat sie demnach das Kapital von ihrem Geburtstag plus die Zinsen, <math>100\text{ €} + 1\text{ €} = 101\text{ €}</math>, auf dem Konto. |
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| '''Antwort:''' Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag <math>101</math> € auf dem Konto. | | '''Antwort:''' Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag <math>101\text{ €}</math> auf dem Konto.|3=Einklappen}} |
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| ====<math>K</math> berechnen geht sogar noch schneller==== | | ====<math>K</math> berechnen geht sogar noch schneller==== |
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| <math id="Zinsformel fortsetzung6">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = 101\text{ € } | \text{ Da wir eine allgemein Formel suchen geben wir den 101 € auch noch einen Namen: }K_t.</math>. | | <math id="Zinsformel fortsetzung6">K\cdot(1 + 1 \cdot \frac{p}{100}) = 101\text{ € } | \text{ Da wir eine allgemein Formel suchen geben wir den 101 € auch noch einen Namen: }K_t.</math>. |
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| {{Box | Zinsformel | <math id="Zinsformel fortsetzung7">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = K_t</math> | Merksatz}} | | {{Box | Zinsformel | <math id="Zinsformel fortsetzung7">K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = K_t</math> | Merksatz}} |
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| In eurem Buch wird <math id="Nicht euer Ernst">1+\frac{p}{100}</math> als <math>q</math> abgekürzt. Es ist allerdings euch überlassen, ob ihr das lieber ausschreiben möchtet oder eben abkürzen wollt. | | In eurem Buch wird <math id="Nicht euer Ernst">1+\frac{p}{100}</math> als <math>q</math> (Zinsfaktor) abgekürzt. Es ist allerdings euch überlassen, ob ihr das lieber ausschreiben möchtet oder eben abkürzen wollt. |
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| Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit <math>K = 100</math> € und <math>p=1%</math> aus der Beispielaufgabe "Katharinas Geburtstag" aus. | | Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit <math>K = 100</math> € und <math>p=1\text{ }%</math> aus der Beispielaufgabe "Katharinas Geburtstag" aus. |
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| <math id="Zinsformel Beispiel">100\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 101</math>. | | <math id="Zinsformel Beispiel">100\text{ €}\cdot(1 +\frac{1}{100}) = 101\text{ €}</math>. |
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| Damit können wir mit dieser Formel also das berechnen der Zinsen, sowie das addieren der Zinsen zu dem bestehenden Kapital überspringen. Wie in der Lösung kommen wir also auch auf <math>101</math> € kommen. | | Damit können wir mit dieser Formel also das berechnen der Zinsen, sowie das addieren der Zinsen zu dem bestehenden Kapital überspringen. Wie in der Lösung kommen wir also auch auf <math>101\text{ €}</math>. |
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| ====Aufgaben==== | | ====Aufgaben==== |
| {{Box | Aufgabe 1: Rechnen mit Zinsen | Katharina hat nun <math>100 </math> € auf ihrem Konto. Sie bekommt zwei Angebote von Banken. Bank A bietet ihr 2% Zinsen in einem Jahr, Bank B bietet ihr 1% Zinsen in einem halben Jahr. | | {{Box | Aufgabe 1: Rechnen mit Zinsen | Katharina hat nun <math>100\text{ €} </math> auf ihrem Konto. Sie bekommt zwei Angebote von Banken. Bank A bietet ihr <math>2\text{ }%</math> Zinsen in einem Jahr, Bank B bietet ihr <math>1\text{ }%</math> Zinsen in einem halben Jahr. |
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| '''a)''' Wieviel Geld hat Katharina bei Bank A nach einem Jahr auf dem Konto? | | '''a)''' Wieviel Geld hat Katharina bei Bank A nach einem Jahr auf dem Konto? |
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| {{Lösung versteckt|1= Überleg dir zuerst, was <math>K</math> und <math>p</math> ist. |2=Kleiner Tipp zu Aufgabe 1 a). |3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Überleg dir zuerst, was <math>K</math> und <math>p</math> ist. |2=Kleiner Tipp zu Aufgabe 1 a). |3=Einklappen}} |
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| {{Lösung versteckt|1= Es ist <math>K = 100 </math> € und <math>p = 2</math>. | | {{Lösung versteckt|1= Es ist <math>K = 100\text{ €} </math> und <math>p = 2</math>. |
| |2=Großer Tipp zu Aufgabe 1 a). |3=Einklappen}} | | |2=Großer Tipp zu Aufgabe 1 a). |3=Einklappen}} |
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| {{Lösung versteckt|1= Benutze die Formel von oben: | | {{Lösung versteckt|1= Benutze die Formel von oben: |
| <math>K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = K_t</math>. Eingesetzt ergibt sich | | <math>K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = K_t</math>. Eingesetzt ergibt sich |
| <math>100\cdot(1 + 1\cdot \frac{2}{100}) = 102</math> €. Damit befinden sich also <math>102</math> € nach einem Jahr auf ihrem Konto.|2=Lösung zu Aufgabe 1 a).|3=Einklappen}} | | <math>100\text{ €}\cdot(1 + 1\cdot \frac{2}{100}) = 102\text{ €}</math>. Damit befinden sich also <math>102\text{ €}</math> nach einem Jahr auf ihrem Konto.|2=Lösung zu Aufgabe 1 a).|3=Einklappen}} |
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| '''b)''' Wieviel Geld hätte Katharina nach einem halben Jahr bei Bank B auf dem Konto? | | '''b)''' Wieviel Geld hätte Katharina nach einem halben Jahr bei Bank B auf dem Konto? |
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| {{Lösung versteckt|1= Rechne mit <math>K = 100 </math> € und <math>p = 1</math>.|2=Großer Tipp zu Aufgabe 1 b.)|3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Rechne mit <math>K = 100 </math> € und <math>p = 1</math>.|2=Großer Tipp zu Aufgabe 1 b.)|3=Einklappen}} |
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| {{Lösung versteckt|1= Rechne wie in Aufgabe 1 a). <math>100\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 101</math> €. Damit hat sie ein Kapital von <math>101</math> € auf ihrem Konto.|2=Lösung zu Aufgabe 1 b).|3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Rechne wie in Aufgabe 1 a). <math>100\text{ €}\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 101\text{ €}</math>. Damit hat sie ein Kapital von <math>101\text{ €}</math> auf ihrem Konto.|2=Lösung zu Aufgabe 1 b).|3=Einklappen}} |
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| '''c)''' Nach einem halben Jahr hat Katharina nun <math>101</math> € auf ihrem Konto. Wieviel Geld hat sie ein weiteres halbes Jahr später? | | '''c)''' Nach einem halben Jahr hat Katharina nun <math>101\text{ €}</math> auf ihrem Konto. Wieviel Geld hat sie ein weiteres halbes Jahr später? |
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| {{Lösung versteckt|1= Verfahre genauso wie in b).|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 1 c). |3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Verfahre genauso wie in b).|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 1 c). |3=Einklappen}} |
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| {{Lösung versteckt|1= Bedenke, dass sich im Unterschied zu b) nun <math>K</math> verändert hat.|2=großer Tipp zu Aufgabe 1 c).|3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Bedenke, dass sich im Unterschied zu b) nun <math>K</math> verändert hat.|2=großer Tipp zu Aufgabe 1 c).|3=Einklappen}} |
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| {{Lösung versteckt|1= Rechne wie in Aufgabe 1 a). <math>101\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 102{,}01</math> €. Sie hat also <math>102{,}01</math> € auf ihrem Konto.|2=Lösung zu Aufgabe 1 c).|3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Rechne wie in Aufgabe 1 a). <math>101\text{ €}\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 102{,}01\text{ €}</math>. Sie hat also <math>102{,}01\text{ €}</math> auf ihrem Konto.|2=Lösung zu Aufgabe 1 c).|3=Einklappen}} |
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| '''d)''' Was fällt dir im Vergleich der beiden Angebote auf? | | '''d)''' Was fällt dir im Vergleich der beiden Angebote auf? |
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| | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} |
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| {{Box | Aufgabe 2: Vergleich Zinsen mit proportionalem Wachstum | Sipan besitzt ein Sparschwein. Er legt jedes Jahr immer 5 € in dieses Sparschwein. Seine Schwester Esma legt ihr Geld bei einer Bank an, bei welcher sie 2% Zinsen im Jahr bekommt. | | {{Box | Aufgabe 2: Vergleich Zinsen mit proportionalem Wachstum | Sipan besitzt ein Sparschwein. Er legt jedes Jahr immer 5 € in dieses Sparschwein. Seine Schwester Esma legt ihr Geld bei einer Bank an, bei welcher sie <math>2\text{ }% </math> Zinsen im Jahr bekommt. |
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| '''a)''' Beide starten mit <math>250</math> € Erspartem. Berechne wieviel Geld sie jeweils nach zwei Jahren auf ihrem Konto beziehungsweise Sparschwein haben. | | '''a)''' Beide starten mit <math>250\text{ €}</math> Erspartem. Berechne wieviel Geld sie jeweils nach zwei Jahren auf ihrem Konto beziehungsweise Sparschwein haben. |
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| {{Lösung versteckt|1= Gehe Schrittweise vor. Berechne bei beiden zuerst das Geld nach einem Jahr und dann nach zwei Jahren.|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 a). |3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Gehe Schrittweise vor. Berechne bei beiden zuerst das Geld nach einem Jahr und dann nach zwei Jahren.|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 a). |3=Einklappen}} |
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| {{Lösung versteckt|1= Sipan wird in zwei Jahren <math>10</math> € zu seinem Ersparten legen. Er besitzt dann also <math>260</math> €. Esma bekommt im ersten Jahr <math id="Zinsformel">250 \text{ €}\cdot \frac{2}{100}=5\text{ €}</math> Zinsen und im zweiten Jahr <math id="Zinsformel">255 \text{ €}\cdot \frac{2}{100}=5{,}10\text{ €}</math> Zinsen. Also hat sie nach zwei Jahren <math>250\text{ €}+5\text{ €}+5{,}10\text{ €}=260,10</math> € auf ihrem Konto.|2=Lösung zu Aufgabe 2 a).|3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Sipan wird in zwei Jahren <math>10\text{ €}</math> zu seinem Ersparten legen. Er besitzt dann also <math>260\text{ €}</math>. Esma bekommt im ersten Jahr <math id="Zinsformel">250 \text{ €}\cdot \frac{2}{100}=5\text{ €}</math> Zinsen und im zweiten Jahr <math id="Zinsformel">255 \text{ €}\cdot \frac{2}{100}=5{,}10\text{ €}</math> Zinsen. Also hat sie nach zwei Jahren <math>250\text{ €}+5\text{ €}+5{,}10\text{ €}=260,10\text{ €}</math> auf ihrem Konto.|2=Lösung zu Aufgabe 2 a).|3=Einklappen}} |
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| '''b)''' Fallen dir Vorteile der beiden Sparmethoden von Sipan und Esma ein? | | '''b)''' Fallen dir Vorteile der beiden Sparmethoden von Sipan und Esma ein? |
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| {{Lösung versteckt|1= Verdoppelt bedeutet immer doppelt so viele. Also einen Tag später sind es vier Wasserlinsen, nach zwei Tagen acht Wasserlinsen, nach drei Tagen <math>16</math> Wasserlinsen, nach vier Tagen <math>32</math>, nach fünf Tagen <math>64</math>, nach sechs Tagen <math>128</math> und nach sieben Tagen, also einer Woche <math>256</math> Wasserlinsen.|2=Lösung zu Aufgabe 3 a).|3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Verdoppelt bedeutet immer doppelt so viele. Also einen Tag später sind es vier Wasserlinsen, nach zwei Tagen acht Wasserlinsen, nach drei Tagen <math>16</math> Wasserlinsen, nach vier Tagen <math>32</math>, nach fünf Tagen <math>64</math>, nach sechs Tagen <math>128</math> und nach sieben Tagen, also einer Woche <math>256</math> Wasserlinsen.|2=Lösung zu Aufgabe 3 a).|3=Einklappen}} |
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| '''b)''' Wie könntest du verdoppeln als Zinssatz darstellen. Probiere deine Ideen mit der Zinsformel aus! | | '''b)''' Wie könntest du verdoppeln als Zinssatz darstellen? Probiere deine Ideen mit der Zinsformel aus! |
| {{Lösung versteckt|1= Ausprobieren ist vollkommen in Ordnung. Schau bei welchem Zinssatz sich hinterher doppelt soviel Kapital ergibt.|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 3 b). |3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Ausprobieren ist vollkommen in Ordnung. Schau bei welchem Zinssatz sich hinterher doppelt soviel Kapital ergibt.|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 3 b). |3=Einklappen}} |
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| {{Box|1=Beispiel|2=Clara hat von ihrem Opa <math>100</math> Euro zum 10. Gebutstag bekommen und legt diese <math>100</math> € für auf ihrem Sparbuch an bis sie 18 Jahre alt ist. Sie bekommt jedes Jahr <math>5</math> % Zinsen. Clara hebt das Geld, das sie von den Zinsen bekommt nicht ab, sondern lässt es auf dem Konto und zahlt auch kein weiteres Geld ein. | | {{Box|1=Beispiel|2=Clara hat von ihrem Opa <math>100</math> Euro zum 10. Geburtstag bekommen und legt diese <math>100\text{ €}</math> für auf ihrem Sparbuch an bis sie 18 Jahre alt ist. Sie bekommt jedes Jahr <math>5\text{ }%</math> Zinsen. Clara hebt das Geld, das sie von den Zinsen bekommt nicht ab, sondern lässt es auf dem Konto und zahlt auch kein weiteres Geld ein. |
| {{(!}} class="wikitable" | | {{(!}} class="wikitable" |
| {{!+}} Die Entwicklung von Claras Kontostand | | {{!+}} Die Entwicklung von Claras Kontostand |
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| {{!-}} | | {{!-}} |
| {{!}} <math>1</math> | | {{!}} <math>1</math> |
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| {{!}} <math>8</math> | | {{!}} <math>8</math> |
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| {{!}} <math>7{,}04</math> € | | {{!}} <math>7{,}04\text{ €}</math> |
| {{!}} <math>147{,}75</math> € | | {{!}} <math>147{,}75\text{ €}</math> |
| {{!}} <math>140{,}71\cdot \frac{5}{100}</math> € | | {{!}} <math>140{,}71\text{ €}</math><math>\cdot \frac{5}{100}</math> |
| {{!-}} | | {{!-}} |
| {{!)}} | | {{!)}} |
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| {{Box | Aufgabe 2: Rechnen mit und ohne Zinseszins | | | {{Box | Aufgabe 2: Rechnen mit und ohne Zinseszins | |
| Maja hat inzwischen <math> 900</math> € gespart. Sie ist 13 Jahre alt und möchte dieses Geld für ihren Führerschein anlegen. Sie bekommt von der Bank 6% Zinsen pro Jahr. Ein Führerschein kostet ungefähr <math> 1125</math> €. | | Maja hat inzwischen <math> 900\text{ €}</math> gespart. Sie ist 13 Jahre alt und möchte dieses Geld für ihren Führerschein anlegen. Sie bekommt von der Bank <math>6\text{ }%</math> Zinsen pro Jahr. Ein Führerschein kostet ungefähr <math> 1125\text{ €}</math>. |
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| '''a)''' Hat Maja mit 17 Jahren genügend Geld auf ihrem Konto, um den Führerschein zu bezahlen? | | '''a)''' Hat Maja mit 17 Jahren genügend Geld auf ihrem Konto, um den Führerschein zu bezahlen? |
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| {{Lösung versteckt|1= Du kannst damit beginnen auszurechnen wieviel Geld Maja nach einem Jahr hat. Dieses errechnete Geld ist dann das Kapital für das zweite Jahr, so kannst du das zweite Jahr berechnen und bekommst dann das Kapital für das dritte Jahr raus. Du kannst das so lange fortführen, bis Maja <math>17</math> Jahre alt ist. |2=großer Tipp zu Aufgabe 2 a) |3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Du kannst damit beginnen auszurechnen wieviel Geld Maja nach einem Jahr hat. Dieses errechnete Geld ist dann das Kapital für das zweite Jahr, so kannst du das zweite Jahr berechnen und bekommst dann das Kapital für das dritte Jahr raus. Du kannst das so lange fortführen, bis Maja <math>17</math> Jahre alt ist. |2=großer Tipp zu Aufgabe 2 a) |3=Einklappen}} |
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| {{Lösung versteckt|1= Maja hat mit 17 Jahren genügend Geld auf ihrem Konto für den Führerschein. Nach einem Jahr hat sie <math>954</math>€, nach zwei Jahren <math>1011{,}24</math> €, nach drei Jahren<math>1071{,}94</math> € und nach vier Jahren dann <math>1136{,}23</math> €.|2=Lösung zu 2. a)|3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Maja hat mit 17 Jahren genügend Geld auf ihrem Konto für den Führerschein. Nach einem Jahr hat sie <math>954\text{ €}</math>, nach zwei Jahren <math>1011{,}24\text{ €}</math>, nach drei Jahren<math>1071{,}91\text{ €}</math> und nach vier Jahren dann <math>1136{,}22\text{ €}</math>.|2=Lösung zu 2. a)|3=Einklappen}} |
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| '''b)''' Wieviel Geld hätte Maja mit 17 Jahren, wenn sie statt <math> 6</math> % nur <math>4</math> % Zinsen bekommen würde? | | '''b)''' Wieviel Geld hätte Maja mit 17 Jahren, wenn sie statt <math> 6\text{ }%</math> nur <math>4\text { }%</math> Zinsen bekommen würde? |
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| {{Lösung versteckt|1= Wo liegt der Unteschied zu Aufgabe 2 a)? |2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 b) |3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Wo liegt der Unteschied zu Aufgabe 2 a)? |2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 b) |3=Einklappen}} |
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| {{Lösung versteckt|1= Diese Aufgabe kannst du genauso Lösen wie Aufgabe 2 a), nur der Wert für <math>p</math> und damit auch der für <math>Z</math> ist anders.|2=großer Tipp zu 2. b)|3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Diese Aufgabe kannst du genauso Lösen wie Aufgabe 2 a), nur der Wert für <math>p</math> und damit auch der für <math>Z</math> ist anders.|2=großer Tipp zu 2. b)|3=Einklappen}} |
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| {{Lösung versteckt|1= Maja hätte nach einem Jahr <math>936</math> €, nach zwei Jahren <math>973{,}44</math> €, nach drei Jahren<math>1012{,}38</math> € und nach vier Jahren dann <math>1052{,}87</math> € auf ihrem Konto.|2=Lösung zu 2. b)|3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Maja hätte nach einem Jahr <math>936\text{ €}</math>, nach zwei Jahren <math>973{,}44\text{ €}</math>, nach drei Jahren<math>1012{,}38\text{ €}</math> und nach vier Jahren dann <math>1052{,}87\text{ €}</math> auf ihrem Konto.|2=Lösung zu 2. b)|3=Einklappen}} |
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| '''c)''' Wie lange müsste Maja warten, bis sie ihren Führerschein bei <math>4</math> % Zinsen bezahlen könnte? | | '''c)''' Wie lange müsste Maja warten, bis sie ihren Führerschein bei <math>4\text{ €}</math> Zinsen bezahlen könnte? |
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| {{Lösung versteckt|1= Reicht ihr Geld mit <math>17</math> Jahren? Wie ist es mit <math>18</math> oder <math>19</math> Jahren?|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 c) |3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Reicht ihr Geld mit <math>17</math> Jahren? Wie ist es mit <math>18</math> oder <math>19</math> Jahren?|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 c) |3=Einklappen}} |
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| {{Lösung versteckt|1= Du kannst dein Ergebnis aus Aufgabe 2 b) verwenden und dann wie in der Aufgabe 2 b) weiterrechnen bis Maja genügend Geld für ihren Führerschein beisammen hat.|2=großer Tipp zu 2 c)|3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Du kannst dein Ergebnis aus Aufgabe 2 b) verwenden und dann wie in der Aufgabe 2 b) weiterrechnen bis Maja genügend Geld für ihren Führerschein beisammen hat.|2=großer Tipp zu 2 c)|3=Einklappen}} |
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| {{Lösung versteckt|1= Maja hätte mit <math>17</math> Jahren erst <math>1052{,}87</math> € auf ihrem Konto. Mit <math>18</math> Jahren hätte sie dann <math>1094{,}99</math> € und mit <math>19</math> Jahren dann <math>1138{,}79</math> € auf ihrem Konto. Der Führerschein kostet ungefähr <math> 1125</math> €, somit müsste Maja <math>6</math> Jahre lang warten bis sie genügend Geld für den Führerschein beisammen hat.|2=Lösung zu 2 c)|3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Maja hätte mit <math>17</math> Jahren erst <math>1052{,}87\text{ €}</math> auf ihrem Konto. Mit <math>18</math> Jahren hätte sie dann <math>1094{,}99\text{ €}</math> und mit <math>19</math> Jahren dann <math>1138{,}79\text{ €}</math> auf ihrem Konto. Der Führerschein kostet ungefähr <math> 1125\text{ €}</math>, somit müsste Maja <math>6</math> Jahre lang warten bis sie genügend Geld für den Führerschein beisammen hat.|2=Lösung zu 2 c)|3=Einklappen}} |
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| '''d)''' Maja überlegt, ob sie das Geld, das sie jedes Jahr an Zinsen bekommt immer abheben soll und in ihre Spardose wirft. Was würdest du ihr raten? | | '''d)''' Maja überlegt, ob sie das Geld, das sie jedes Jahr an Zinsen bekommt immer abheben soll und in ihre Spardose werfen soll. Was würdest du ihr raten? |
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| {{Lösung versteckt|1= Ändert das etwas an den Zinsen, die Maja bekommt?|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 d) |3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Ändert das etwas an den Zinsen, die Maja bekommt?|2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 d) |3=Einklappen}} |
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| {{Lösung versteckt|1= Auf welches Geld bekommt Maja dann jedes Jahr Zinsen? Wieviel Zinsen würde sie dann jedes Jahr bekommen? Was bedeutet das für ihren Führerschein?|2=großer Tipp zu 2 d)|3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Auf welches Geld bekommt Maja dann jedes Jahr Zinsen? Wieviel Zinsen würde sie dann jedes Jahr bekommen? Was bedeutet das für ihren Führerschein?|2=großer Tipp zu 2 d)|3=Einklappen}} |
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| {{Lösung versteckt|1= Es gibt hierfür keine eindeutige Lösung. Hier ist eine mögliche Argumentation. Du hast jedoch möglicherweise eine andere gute Argumentation gefunden: Wenn Maja das so macht, dann würde sie jedes Jahr nur auf ihre <math>900</math> € Zinsen bekommen und keine Zinseszinsen. Sie würde bei <math>6</math> % dann jedes Jahr <math>54</math> € bekommen. Nach vier Jahren hätte Maja <math>1116</math> €. Das würde nicht für den Führerschein reichen.|2=Lösung zu 2 d)|3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Es gibt hierfür keine eindeutige Lösung. Hier ist eine mögliche Argumentation. Du hast jedoch möglicherweise eine andere gute Argumentation gefunden: Wenn Maja das so macht, dann würde sie jedes Jahr nur auf ihre <math>900\text{ €}</math> Zinsen bekommen und keine Zinseszinsen. Sie würde bei <math>6\text{ }%</math> dann jedes Jahr <math>54\text{ €}</math> bekommen. Nach vier Jahren hätte Maja <math>1116\text{ €}</math>. Das würde nicht für den Führerschein reichen.|2=Lösung zu 2 d)|3=Einklappen}} |
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| | Arbeitsmethode }} | | | Arbeitsmethode }} |
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| ====Erweiterte Zinsformel==== | | ====Erweiterte Zinsformel==== |
| {{Box | | {{Box |
| |1=erweiterte Zinsformel für den Zinseszins | | |1=Erweiterte Zinsformel für den Zinseszins |
| |2=Die Zinsformel kann auch für die Berechnung des Zinseszins genutzt werden: | | |2=Die Zinsformel kann auch für die Berechnung des Zinseszins genutzt werden: |
| <math> K=100</math> € werden mit einem Zinssatz <math> p=5</math> % vier Jahre lang gespart. | | <math> K=100</math> € werden mit einem Zinssatz <math> p=5</math> % vier Jahre lang gespart. |
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| <math> K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_1</math> | | <math> K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_1</math> |
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| Für <math>K = 100</math> € folgt dann <math>100 </math>€<math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = 105</math> €. | | Für <math>K = 100</math> € folgt dann <math>100 </math>€<math>\cdot(1 + \frac{p}{100}) = 105</math> €. |
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| Für das zweite Jahr lässt sich das Kapital so berechnen: | | Für das zweite Jahr lässt sich das Kapital so berechnen: |
| <math> K_1\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_2</math> | | <math> K_1\cdot(1 + \frac{p}{100}) = K_2</math> |
| <math> = 105</math> € <math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = 110{,}25</math> €. |2=Bisherige Rechenweise |3=Einklappen}} | | <math> = 105</math> € <math>\cdot(1 + \frac{p}{100}) = 110{,}25</math> €. |2=Bisherige Rechenweise |3=Einklappen}} |
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| {{Lösung versteckt|1= Das kann auch in einem Rechenschritt vereinfacht werden: | | {{Lösung versteckt|1= Das kann auch in einem Rechenschritt vereinfacht werden: |
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| Jetz setzen wir für das Kapital nach einem Jahr <math> K_1</math> in die Formel für das erste Jahr <math> K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_1</math> ein:
| | Jetzt setzen wir für das Kapital nach einem Jahr <math> K_1</math> in die Formel für das erste Jahr <math> K\cdot(1 + \frac{p}{100}) = K_1</math> ein: |
| <math> (K_1)\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = (K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}))\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_2</math> | | <math> (K_1)\cdot(1 + \frac{p}{100}) = (K\cdot(1 + \frac{p}{100}))\cdot(1 + \frac{p}{100}) = K_2</math> |
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| Für das dritte Jahr ergibt sich dann | | Für das dritte Jahr ergibt sich dann |
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| <math>K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_3</math> | | <math>K\cdot(1 + \frac{p}{100})\cdot(1 + \frac{p}{100})\cdot(1 + \frac{p}{100}) = K_3</math> |
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| Du kannst für jedes weitere Jahr einmal die Formel mit <math>(1 + 1\cdot \frac{z}{100})</math> multiplizieren.|2=Vereinfachen |3=Einklappen}} | | Du kannst für jedes weitere Jahr einmal die Formel mit <math>(1 + \frac{p}{100})</math> multiplizieren.|2=Vereinfachen |3=Einklappen}} |
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| {{Lösung versteckt|1= Noch kürzer lässt sich das als Potenz schreiben: | | {{Lösung versteckt|1= Noch kürzer lässt sich das als Potenz schreiben: |
| <math>K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})= K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})^2= K_2</math> | | <math>K\cdot(1 + \frac{p}{100})\cdot(1 + \frac{p}{100})= K\cdot(1 + \frac{p}{100})^2= K_2</math> |
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| oder für das dritte Jahr | | oder für das dritte Jahr |
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| <math>K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})= K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})^3= K_3</math>. | | <math>K\cdot(1 + \frac{p}{100})\cdot(1 + \frac{p}{100})\cdot(1 + \frac{p}{100})= K\cdot(1 + \frac{p}{100})^3= K_3</math>. |
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| Für ein beliebiges Jahr, das Jahr Nummer <math>n</math> wird dann <math>K</math> insgesamt <math>n</math>-mal mit dem Faktor <math>1 + 1\cdot \frac{z}{100}</math> multipliziert: | | Für ein beliebiges Jahr, das Jahr Nummer <math>n</math> wird dann <math>K</math> insgesamt <math>n</math>-mal mit dem Faktor <math>1 + \frac{p}{100}</math> multipliziert: |
| <math>K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})\cdot</math> ... <math>n</math>- mal ...<math>\cdot (1 + 1\cdot \frac{z}{100})= K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})^n= K_n</math>.|2=Die erweiterte Zinsformel |3=Einklappen}} | | <math>K\cdot(1 + \frac{p}{100})\cdot</math> ... <math>n</math>- mal ...<math>\cdot (1 + \frac{p}{100})= K\cdot(1 + \frac{p}{100})^n= K_n</math>.|2=Die erweiterte Zinsformel |3=Einklappen}} |
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| {{Box | Aufgabe 3: Anwendung der erweiterten Zinsformel | | | {{Box | Aufgabe 3: Anwendung der erweiterten Zinsformel | |
| Schauen wir uns nochmal die Situation von Maja aus der letzten Aufgabe an. | | Schauen wir uns nochmal die Situation von Maja aus der letzten Aufgabe an. |
| a) Angenommen Maja bekommt weiterhin <math>6</math> % Zinsen, aber macht doch kein Führerschein und spart das Geld einfach weiterhin. Wieviel Geld hätte sie dann nach <math>6</math> Jahren gespart? | | |
| | '''a)''' Angenommen Maja bekommt weiterhin <math>6\text{ }%</math> Zinsen, aber macht doch kein Führerschein und spart das Geld einfach weiterhin. Wieviel Geld hätte sie dann nach <math>20</math> Jahren gespart? |
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| {{Lösung versteckt|1= Nutze die erweiterte Zinsformel.|2=kleiner Tipp zu 3 a)|3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Nutze die erweiterte Zinsformel.|2=kleiner Tipp zu 3 a)|3=Einklappen}} |
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| {{Lösung versteckt|1= Mache dir noch einmal klar wofür <math>K{,}z{,}n</math> und <math>K_n</math> stehen. Welche Werte sind das in diesem Beispiel?|2=großer Tipp zu 3 a)|3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Mache dir noch einmal klar wofür <math>K{, }z{, }n</math> und <math>K_n</math> stehen. Welche Werte sind das in diesem Beispiel?|2=großer Tipp zu 3 a)|3=Einklappen}} |
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| {{Lösung versteckt|1= Hier ist der Rechenweg mit der erweiterten Zinsformel. | | {{Lösung versteckt|1= Hier ist der Rechenweg mit der erweiterten Zinsformel. |
| <math>K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})^n= K_n</math> mit <math>K=900</math>, <math>z=6</math> und <math>n=20</math> lässt sich das dann so berechnen: | | <math>K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})^n= K_n</math> mit <math>K=900</math>, <math>z=6</math> und <math>n=20</math> lässt sich das dann so berechnen: |
| <math>900\cdot(1 + 1\cdot \frac{6}{100})^{20}= 2886,42</math> | | <math>900\cdot(1 + 1\cdot \frac{6}{100})^{20}= 2886,42</math> |
| Maja hätte nach <math>20</math> Jahren <math>2886,42</math> € gespart. |2=Lösung zu 3 a)|3=Einklappen}} | | Maja hätte nach <math>20</math> Jahren <math>2886,42\text{ €}</math> gespart. |2=Lösung zu 3 a)|3=Einklappen}} |
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| b) Ein realistischer Zinssatz beträgt zurzeit eher <math>0{,}3</math> % Zinsen. Könnte Maja jemals mit ihrem Erspartem bei so einem Zinssatz ihren Führerschein bezahlen? | | '''b)''' Ein realistischer Zinssatz beträgt zurzeit eher <math>0{,}3\text{ }%</math> Zinsen. Könnte Maja jemals mit ihrem Erspartem bei so einem Zinssatz ihren Führerschein bezahlen? |
| Wieviel Geld hätte sie mit <math>17</math> , <math>50</math> oder <math>100</math> Jahren? | | Wieviel Geld hätte sie mit <math>17</math> , <math>50</math> oder <math>100</math> Jahren? |
| {{Lösung versteckt|1= Nutze unbedingt die erweiterte Zinsformel.|2=kleiner Tipp zu 3 a)|3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Nutze unbedingt die erweiterte Zinsformel.|2=kleiner Tipp zu 3 a)|3=Einklappen}} |
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Zeile 382: |
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| {{Lösung versteckt|1= Hier sind die Rechenwege mit der erweiterten Zinsformel. | | {{Lösung versteckt|1= Hier sind die Rechenwege mit der erweiterten Zinsformel. |
| Mit <math>17</math> Jahren hat Maja <math>900 </math> €<math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{0{,}3}{100})^{4}= 910{,}85</math> €. | | Mit <math>17</math> Jahren hat Maja <math>900\text{ €}</math><math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{0{,}3}{100})^{4}= 910{,}85\text{ €}</math>. |
| Mit <math>50</math> Jahren hat Maja <math>900 </math> €<math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{0{,}3}{100})^{37}= 1005{,}49</math> €. | | Mit <math>50</math> Jahren hat Maja <math>900\text{ €} </math><math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{0{,}3}{100})^{37}= 1005{,}49\text{ €}</math>. |
| Mit <math>100</math> Jahren hat Maja <math>900 </math> €<math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{0{,}3}{100})^{87}= 1167{,}95</math> €. | | Mit <math>100</math> Jahren hat Maja <math>900\text{ €} </math><math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{0{,}3}{100})^{87}= 1167{,}95\text{ €}</math>. |
| Maja könnte mit dem Ersparten zwar noch ihren Führerschein bezahlen, jedoch ist sie dann schon im Rentenalter. |2=Lösung zu 3 a)|3=Einklappen}} | | Maja könnte mit dem Ersparten zwar noch ihren Führerschein bezahlen, jedoch ist sie dann schon im Rentenalter. |2=Lösung zu 3 a)|3=Einklappen}} |
| | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} |
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| {{Box | Aufgabe 4: Coronabonus | | | {{Box | Aufgabe 4: Coronabonus | |
| Detlef arbeitet als Krankenpfleger. Daher hat er einen Corona-Bonus von <math>1000\euro</math> erhalten. Seine Frau ist Professorin, deshalb sind sie als Familie finanziell gut abgesichert. Er möchte deswegen <math>800\euro</math> des Corona-Bonuses sparen. | | Detlef arbeitet als Krankenpfleger. Daher hat er einen Corona-Bonus von <math>1000\text{ €}</math> erhalten. Seine Frau ist Professorin, deshalb sind sie als Familie finanziell gut abgesichert. Er möchte deswegen <math>800\text{ €}</math> des Corona-Bonuses sparen. |
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| '''a)''' Seine Bankberaterin bei der SparBank sagt ihm: "Bei uns bekommen Sie so viel Zinsen, dass Sie nach vier Jahren schon ungefähr 136 Euro mehr haben." Wie hoch liegt der Zinssatz bei der SparBank? | | '''a)''' Seine Bankberaterin bei der SparBank sagt ihm: "Bei uns bekommen Sie so viel Zinsen, dass Sie nach vier Jahren schon ungefähr 136 Euro mehr haben." Wie hoch liegt der Zinssatz bei der SparBank? |
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Zeile 396: |
| {{Lösung versteckt|1= Manchmal hilft es abzuschätzen und dann auszuprobieren|2=kleiner Tipp zu 4 a)|3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Manchmal hilft es abzuschätzen und dann auszuprobieren|2=kleiner Tipp zu 4 a)|3=Einklappen}} |
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| {{Lösung versteckt|1= Die Zinsen bei einer Bank liegen irgendwo zwischen <math>2</math> % und <math>7</math> %. Du kannst dich durch Ausprobieren an die Lösung rantasten.|2=großer Tipp zu 4 a)|3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Die Zinsen bei einer Bank liegen irgendwo zwischen <math>2\text{ }%</math> und <math>7\text{ }%</math>. Du kannst dich durch Ausprobieren an die Lösung herantasten.|2=großer Tipp zu 4 a)|3=Einklappen}} |
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| {{Lösung versteckt|1= mögliche Rechnung: <math>800\cdot(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4= 935{,}89</math> | | {{Lösung versteckt|1= mögliche Rechnung: <math>800\cdot(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4= 935{,}89</math> |
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| Detlef erhällt vier Prozent Zinsen pro Jahr. |2=Lösung zu 4 a)|3=Einklappen}} | | Detlef erhält vier Prozent Zinsen pro Jahr. |2=Lösung zu 4 a)|3=Einklappen}} |
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| '''b)''' Detlef entscheidet sich sein Geld bei der SparBank anzulegen. Er erhällt durch den zweiten Lockdown eine weitere Bonuszahlung, sodass er nach vier Jahren schon ungefähr <math>1170\euro</math> hätte. Wie groß ist diese Bonuszahlung? | | '''b)''' Detlef entscheidet sich dafür sein Geld bei der SparBank anzulegen. Er erhält durch den zweiten Lockdown eine weitere Bonuszahlung, sodass er nach vier Jahren schon ungefähr <math>1170\text{ }\euro</math> hätte. Wie groß ist diese Bonuszahlung? |
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| {{Lösung versteckt|1= Wie groß ist der Unterschied zwischen dem Geld nach vier Jahren mit und ohne Bonuszahlung? Was sagt dieser Unterschied über die Bonuszahlung aus?|2=kleiner Tipp zu 4 b)|3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Wie groß ist der Unterschied zwischen dem Geld nach vier Jahren mit und ohne Bonuszahlung? Was sagt dieser Unterschied über die Bonuszahlung aus?|2=kleiner Tipp zu 4 b)|3=Einklappen}} |
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| umstellen nach <math>x</math>: <math>(800+x)= 1170:(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4</math> | | umstellen nach <math>x</math>: <math>(800+x)= 1170:(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4</math> |
| Daraus folgt <math>x= 1170:(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4-800=200{,}121</math> | | Daraus folgt <math>x= 1170:(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4-800=200{,}121</math> |
| Der zweite Bonus beträgt ungefähr <math>200</math> €. |2=Lösung zu 4 b)|3=Einklappen}} | | Der zweite Bonus beträgt ungefähr <math>200\text{ €}</math>. |2=Lösung zu 4 b)|3=Einklappen}} |
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| '''c)''' Detlef ruft danach noch bei der GrünBank an. Die Bankberaterin der GrünBank unterbreitet ihm folgendes Angebot:" Bei uns können Sie zwischen zwei Angeboten auswählen. Wir können ihnen einerseits das kurzsparer Angebot, bei dem Sie jedes halbe Jahr zwei Prozent Zinsen erhalten anbieten. Sie können alternativ das langsparer Angebot annehmen, bei dem Sie nach 5 Jahren <math>22</math> Prozent Zinsen erhalten, wenn das ihr Geld die vollen fünf Jahre auf ihrem Konto verweilt." Zu welchem Angebot würdest du Detlef raten, um seine <math>1000</math> € bestmöglichst anzulegen? Zur Auswahl stehen das von der Sparbank, das kurzsparer Angebot und das langsparer Angebot der Grünbank? | | '''c)''' Detlef ruft danach noch bei der GrünBank an. Die Bankberaterin der GrünBank unterbreitet ihm folgendes Angebot: "Bei uns können Sie zwischen zwei Angeboten auswählen. Wir können ihnen einerseits das kurzsparer Angebot, bei dem Sie jedes halbe Jahr zwei Prozent Zinsen erhalten, anbieten. Sie können alternativ das langsparer Angebot annehmen, bei dem Sie nach 5 Jahren <math>22\text{ }%</math> Zinsen erhalten, wenn ihr Geld die vollen fünf Jahre auf ihrem Konto verweilt." Zu welchem Angebot würdest du Detlef raten, um seine <math>1000\text{ €}</math> anzulegen? Zur Auswahl stehen das von der Sparbank, das kurzsparer Angebot und das langsparer Angebot der GrünBank? |
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| {{Lösung versteckt|1= Wo bekommt er mehr Geld? Gibt es noch andere Aspekte die wichtig sein können?|2=kleiner Tipp zu 4 c)|3=Einklappen}} | | {{Lösung versteckt|1= Wo bekommt er mehr Geld? Gibt es noch andere Aspekte die wichtig sein können?|2=kleiner Tipp zu 4 c)|3=Einklappen}} |
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| |2=Lösung zu 4 c)|3=Einklappen}} | | |2=Lösung zu 4 c)|3=Einklappen}} |
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| '''d)''' Die Pflegekräfte leisten sowohl in der Pandemie, als auch in Zeiten ohne Pandemie Herausragendes und werden schlecht bezahlt. Deswegen gibt es zusätzlich zu den Bonuszahlungen eine längst überfällige Lohnerhöhung. Da Detlef nur eine halbe Stelle hat, weil er sich um die Tochter kümmert, bekommt er <math>15</math> Euro zusätzlich im Monat. Diese <math>15</math> Euro spart er zusätzlich zu den <math>1000</math> €. Wieviel Geld hat er jetzt insgesamt nach drei Jahren auf seinem Konto, wenn er bei der SparBank spart? | | '''d)''' Die Pflegekräfte leisten sowohl in der Pandemie, als auch in Zeiten ohne Pandemie Herausragendes und werden schlecht bezahlt. Deswegen gibt es zusätzlich zu den Bonuszahlungen eine längst überfällige Lohnerhöhung. Da Detlef nur eine halbe Stelle hat, weil er sich um die Tochter kümmert, bekommt er <math>15\text{ €}</math> zusätzlich im Monat. Diese <math>15\text{ €}</math> spart er zusätzlich zu den <math>1000\text{ €}</math>. Wieviel Geld hat er jetzt insgesamt nach drei Jahren auf seinem Konto, wenn er bei der SparBank spart? |
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| nach drei Jahren: <math>(1463{,}49+15\cdot 12)\cdot\left(1 + 1\cdot \frac{4}{100}\right)= 1709{,}23</math> | | nach drei Jahren: <math>(1463{,}49+15\cdot 12)\cdot\left(1 + 1\cdot \frac{4}{100}\right)= 1709{,}23</math> |
| Detlef hat nach drei Jahren mit der Lohnerhöhung <math>1709{,}23</math> € auf seinem Konto | | Detlef hat nach drei Jahren mit der Lohnerhöhung <math>1709{,}23\text{ €}</math> auf seinem Konto |
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| Projekt von Ole W., David B. und Alexander A. | | Projekt von Ole W., David B. und Alexander A. |
Info
In diesem Teil geht es um Zinsen und Zinseszins. Die Zinsformel hilft dir die einmalige Zinsen ohne weitere Schwierigkeiten zu berechnen. Der Zinseszins tritt auf, wenn du dein Geld mehrere Jahre auf deinem Konto lässt und jedes Jahr aufs Neue Zinsen bekommst und diese Zinsen auch auf deinem Konto lässt. Dann erhältst du nämlich auf das Geld, dass du durch die Zinsen bekommst wieder neue Zinsen - den Zinseszins.
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
- In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
- Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
- Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Viel Erfolg!
Einführung
Das wirst du heute lernen:
- Was Zinsen, Zinseszins, Zinssatz und Kapital sind.
- Was die Zinsformel ist und wieso sie so lautet.
- Wie du die Zinsformel im Alltag benutzen kannst.
- Wie du die Zinsformel in Sachaufgaben anwenden kannst.
Das solltest du schon können
Damit du da alles hier möglichst schnell lernen kannst, erklären wir einige Dinge weniger ausführlich. Die setzen wir dann voraus.
- Bruchrechnung: Du solltest grob wissen, wie man mit Brüchen rechnet.
- Prozentrechnung: Du solltest wissen, wie du den Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz berechnen kannst.
- Potenzrechnung: Du solltest wissen, was Potenzen in der Mathematik sind.
- Termumformungen: Du solltest Terme mithilfe von Termumformungen nach einer Unbekannten auflösen können.
Prozentrechnung
Zinsen zu berechnen ist eigentlich nur Prozentrechnung - mit etwas anderem Namen. Die Formel aus der Prozentrechnung kennst du ja schon:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = G \cdot \frac{p}{100}}
.
Dabei ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W}
der Prozentwert, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G}
der Grundwert und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p}
der Prozentsatz. Möchtest du zum Beispiel wissen, was Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3\text{ }%}
von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 250}
g Mehl sind, rechnest du das mit genau dieser Formel aus:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = 250\text{ g}\cdot \frac{3}{100} = 7{,}5 \text{ g}}
.
Zinsrechnung Alltagsbeispiele
Hier wirst du anhand von zwei Beispielen lernen, wo Zinsen im Alltag zu finden sind.
Du bist im Alltag bestimmt schon einmal Zinsen begegnet. Heutzutage hat jeder ein Konto und/oder ein Sparbuch. Das Geld, dass du dort einzahlst, wird verzinst. D.h. du erhälst Geld dafür, dass das Geld bei deiner Bank ist. Diese Zinsen sind natürlich nicht sehr hoch. Die Zinsformel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z=K\cdot\frac{p}{100}}
wirst du später noch genauer kennen lernen.
Alltagsbeispiel Nr. 1: Sparbuch
Hendrik wurden insgesamt 200 € zum Geburtstag geschenkt. Hendrik bringt das Geld auf seine Bank und zahlt es in sein Konto ein. Das Geld auf seinem Konto wird mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\text{ }%}
verzinst.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{Z}=200\text{ }\euro\cdot\frac{2}{100}=4\text{ }\euro}
Damit erhält Hendrik 4 € Zinsen für seine 200 €.
Außerdem, wenn du oder jemand in deinem Umfeld etwas Größeres kaufen möchte, spielen auch hier Zinsen eine große Rolle. Beim Kauf eines Hauses, einer Wohnung, einem Auto, einem Motorrad, einem Computer, einer Solaranlage und und und wird in der Regel ein Kredit benötigt, denn nur die wenigsten haben beispielsweise 100.000 € irgendwo rumliegen. Zinsen von Krediten musst du der Bank zusätzlich bezahlen. Sie sind sozusagen der Preis für den Kredit.
Alltagsbeispiel Nr. 2: Kredit
Deine Mutter möchte einen Neuwagen kaufen und entscheidet sich für ein Auto. Dieses kostet 15.000 €. Deine Mutter hat aber gerade nur 7.000 € zur Verfügung. Deshalb geht sie zu ihrer Bank, um einen Kredit aufzunehmen. Die Bank bietet ihr einen Kredit von 10.000 € mit einem Zinssatz von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5\text{ }%}
. Deine Mutter bezahlt das Auto mit 5.000 € aus ihrer eigenen Tasche und den Rest mit dem Kredit. Der Kredit soll über 5 Jahre abbezahlt werden. Wie viel wird deine Mutter jeden Monat an die Bank überweisen müssen?
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{Z}=10.000\text{ }\euro\cdot \frac{5}{100}=500\text{ }\euro }
Die Zinsen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z=500\text{ }\euro}
müssen zusätzlich zu den 10.000 € an die Bank zurückgezahlt werden, also insgesamt 10.500 €. Um jetzt herauszufinden, wie viel deine Mutter pro Monat zahlen muss, teilen wir die 10.500 € durch die Anzahl der Monatsraten. Der Kredit soll über 5 Jahre abbezahlt werden und jedes Jahr hat 12 Monate.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{10.500\text{ }\euro}{5\cdot 12}=175\text{ }\euro}
Um den Kredit für das Auto innerhalb von 5 Jahren zurück zu zahlen, muss deine Mutter jeden Monat 175 € der Bank überweisen.
Zinsformel
In der Zinsrechnung berechnen wir nun ebenfalls den Prozentwert von einem bestimmten Geldbetrag. Statt Prozentsatz sagen wir also Zinssatz und anstelle von Grundwert sprechen wir nun von Kapital. Zuletzt sind die Zinsen dann der Prozentwert. Statt mit aufwändigen Worten zu rechnen, kürzen wir diese Begriffe nun (wie in der Mathematik üblich) mit einem Buchstaben ab:
Dabei sind Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z}
die Zinsen, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K}
das Kapital und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p}
der Zinssatz. Als Formel ergibt sich somit:
Formel um Zinsen zu berechnen
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z = K\cdot \frac{p}{100}}
.
Beispielaufgabe zur Zinsformel mit Lösung
Probieren wir die Zinsformel doch mal zusammen anhand eines Beispiels aus:
Katharinas Geburtstag
Katharina hat zum Geburtstag ein Sparkonto bekommen. Dort bekommt sie in einem Jahr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1\text{ }%}
Zinsen gezahlt. Sie zahlt direkt all ihr Geburtstagsgeld von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 100\text{ €}}
auf das Sparkonto. Wie viel Geld hat sie an ihrem nächsten Geburtstag auf diesem Konto?
Gegeben: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K = 100}
€, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p=1\text{ }%}
.
Gesucht: Kapital nach einem Jahr.
Rechnung: Um das Kapital nach einem Jahr zu bestimmen, berechnen wir zunächst die Zinsen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z = 100\text{ €} \cdot \frac{1}{100} = 1\text{ €}}
. Nach einem Jahr hat sie demnach das Kapital von ihrem Geburtstag plus die Zinsen, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 100\text{ €} + 1\text{ €} = 101\text{ €}}
, auf dem Konto.
Antwort: Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 101\text{ €}}
auf dem Konto.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K}
berechnen geht sogar noch schneller
In der Beispielaufgabe haben wir am Ende das Kapital noch mit den Zinsen verrechnet. Das können wir auch direkt in einer einzelnen Rechnung machen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 100\text{ €} + 1\text{ €} = 101\text{ € } | \text{ Da die 100 € das Kapital sind ersetzen wir sie durch ein K.} }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K + 1\text{ €} = 101\text{ € } | \text{ Die 1 € sind die Zinsen, also ersetzen wir sie durch ein Z.} }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K + Z = 101\text{ € } | \text{ Das Z ersetzen wir durch die Zinsformel} }
.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K + K\cdot \frac{p}{100} = 101\text{ € } | \text{ Beachte: Vor dem K ist eine 1 Multipliziert.} }
.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 \cdot K + 1 \cdot K \cdot \frac{p}{100} = 101\text{ € } | \text{ Das K können wir nun ausklammern} }
.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K\cdot(1 + 1 \cdot \frac{p}{100}) = 101\text{ € } | \text{ Da wir eine allgemein Formel suchen geben wir den 101 € auch noch einen Namen: }K_t.}
.
Zinsformel
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = K_t}
In eurem Buch wird Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1+\frac{p}{100}}
als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q}
(Zinsfaktor) abgekürzt. Es ist allerdings euch überlassen, ob ihr das lieber ausschreiben möchtet oder eben abkürzen wollt.
Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K = 100}
€ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p=1\text{ }%}
aus der Beispielaufgabe "Katharinas Geburtstag" aus.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 100\text{ €}\cdot(1 +\frac{1}{100}) = 101\text{ €}}
.
Damit können wir mit dieser Formel also das berechnen der Zinsen, sowie das addieren der Zinsen zu dem bestehenden Kapital überspringen. Wie in der Lösung kommen wir also auch auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 101\text{ €}}
.
Aufgaben
Aufgabe 1: Rechnen mit Zinsen
Katharina hat nun Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 100\text{ €} }
auf ihrem Konto. Sie bekommt zwei Angebote von Banken. Bank A bietet ihr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\text{ }%}
Zinsen in einem Jahr, Bank B bietet ihr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1\text{ }%}
Zinsen in einem halben Jahr.
a) Wieviel Geld hat Katharina bei Bank A nach einem Jahr auf dem Konto?
Benutze die Zinsformel, welche du gerade gelernt hast.
Überleg dir zuerst, was Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p}
ist.
Es ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K = 100\text{ €} }
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p = 2}
.
Benutze die Formel von oben:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K\cdot(1 + 1\cdot \frac{p}{100}) = K_t}
. Eingesetzt ergibt sich
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 100\text{ €}\cdot(1 + 1\cdot \frac{2}{100}) = 102\text{ €}}
. Damit befinden sich also
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 102\text{ €}}
nach einem Jahr auf ihrem Konto.
b) Wieviel Geld hätte Katharina nach einem halben Jahr bei Bank B auf dem Konto?
Das geht genau so wie in Aufgage a). Lass dich von dem Zeitraum nicht verwirren, da sich die angegeben Zinsen schon auf ein halbes Jahr beziehen.
Rechne mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K = 100 }
€ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p = 1}
.
Rechne wie in Aufgabe 1 a). Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 100\text{ €}\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 101\text{ €}}
. Damit hat sie ein Kapital von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 101\text{ €}}
auf ihrem Konto.
c) Nach einem halben Jahr hat Katharina nun Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 101\text{ €}}
auf ihrem Konto. Wieviel Geld hat sie ein weiteres halbes Jahr später?
Verfahre genauso wie in b).
Bedenke, dass sich im Unterschied zu b) nun Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K}
verändert hat.
Rechne wie in Aufgabe 1 a). Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 101\text{ €}\cdot(1 + 1\cdot \frac{1}{100}) = 102{,}01\text{ €}}
. Sie hat also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 102{,}01\text{ €}}
auf ihrem Konto.
d) Was fällt dir im Vergleich der beiden Angebote auf?
Ist ein Angebot besser?
Überlege, ob sich die Zinsen mit der Zeit verändern oder immer gleich bleiben.
Das Angebot von Bank B ist besser. Es klingt zwar so, als seien beide Angebote gleich, aber da sich nach jedem Auszahlen der Zinsen auch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K}
vergrößert, werden die Zinsen auch größer. Nachdem zweimal ausgezahlt wurde, hat Katharina daher etwas mehr Geld auf ihrem Konto.
Aufgabe 2: Vergleich Zinsen mit proportionalem Wachstum
Sipan besitzt ein Sparschwein. Er legt jedes Jahr immer 5 € in dieses Sparschwein. Seine Schwester Esma legt ihr Geld bei einer Bank an, bei welcher sie Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\text{ }% }
Zinsen im Jahr bekommt.
a) Beide starten mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 250\text{ €}}
Erspartem. Berechne wieviel Geld sie jeweils nach zwei Jahren auf ihrem Konto beziehungsweise Sparschwein haben.
Gehe Schrittweise vor. Berechne bei beiden zuerst das Geld nach einem Jahr und dann nach zwei Jahren.
Sipan wird in zwei Jahren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 10\text{ €}}
zu seinem Ersparten legen. Er besitzt dann also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 260\text{ €}}
. Esma bekommt im ersten Jahr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 250 \text{ €}\cdot \frac{2}{100}=5\text{ €}}
Zinsen und im zweiten Jahr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 255 \text{ €}\cdot \frac{2}{100}=5{,}10\text{ €}}
Zinsen. Also hat sie nach zwei Jahren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 250\text{ €}+5\text{ €}+5{,}10\text{ €}=260,10\text{ €}}
auf ihrem Konto.
b) Fallen dir Vorteile der beiden Sparmethoden von Sipan und Esma ein?
Hier musst du nicht rechnen. Überlege dir zum Beispiel was auf kurze oder lange Sicht passiert und was der Unterschied zwischen einem Sparschwein und einem Konto ist.
Ein Sparschwein ist immer verfügbar. Wenn Sipan dringend Geld braucht, kann er sein Sparschwein schnell plündern. Auf lange Sicht ist das Sparkonto von Esma aber die klügere Wahl, da sie nicht nur den gleichen Betrag bekommt, sondern die Zinsen zunehmen und sie so immer mehr Kapital ansammelt. Das rechnet sich auf lange Sicht.
Aufgabe 3: Zinsen nur bei Geld?
Manchmal beobachtet man in der Natur Vorgänge, die man nicht mit Linearem Wachstum erklären kann. Wasserlinsen sind kleine Pflanzen, welche an der Wasseroberfläche treiben. Enten und Glaskarpfen fressen diese gerne. Sie können sich an nur einem Tag verdoppeln.
a) Stell dir vor, dass unbemerkt zwei Wasserlinsen in ein Aquarium kommen. Wieviele Wasserlinsen sind dann am nächsten Tag in dem Aquarium? Wieviele sind es nächste Woche?
Gehe Schrittweise vor. Du brauchst hier keine Formel anwenden.
Verdoppelt bedeutet immer doppelt so viele. Also einen Tag später sind es vier Wasserlinsen, nach zwei Tagen acht Wasserlinsen, nach drei Tagen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 16}
Wasserlinsen, nach vier Tagen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 32}
, nach fünf Tagen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 64}
, nach sechs Tagen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 128}
und nach sieben Tagen, also einer Woche Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 256}
Wasserlinsen.
b) Wie könntest du verdoppeln als Zinssatz darstellen? Probiere deine Ideen mit der Zinsformel aus!
Ausprobieren ist vollkommen in Ordnung. Schau bei welchem Zinssatz sich hinterher doppelt soviel Kapital ergibt.
Verdoppeln bedeutet ein Wachstum von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 100%}
. Damit ist die Rechnung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\cdot(1 + 1\cdot \frac{100}{100}) = 4}
. Die Zinsformel funktioniert also nicht nur im Kontext Kapital. Natürlich nennt sich das Wachstum von Wasserlinsen nicht Zinsen. Mathematisch ist das jedoch das Gleiche.
Zinseszins
Beispiel
Clara hat von ihrem Opa Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 100}
Euro zum 10. Geburtstag bekommen und legt diese Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 100\text{ €}}
für auf ihrem Sparbuch an bis sie 18 Jahre alt ist. Sie bekommt jedes Jahr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5\text{ }%}
Zinsen. Clara hebt das Geld, das sie von den Zinsen bekommt nicht ab, sondern lässt es auf dem Konto und zahlt auch kein weiteres Geld ein.
Die Entwicklung von Claras Kontostand
| Jahr
|
Startkapital
|
Zinsen
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Endkapital
|
Rechnung
|
| Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1}
|
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 100{,}00\text{ €}}
|
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5{,}00\text{ €}}
|
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 105{,}00\text{ €}}
|
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 100\text{ €} }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot \frac{5}{100}}
|
| Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2}
|
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 105{,}00\text{ €}}
|
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5{,}25\text{ €}}
|
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 110{,}25\text{ €}}
|
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 105\text{ €}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot \frac{5}{100}}
|
| Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3}
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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 110{,}25\text{ €}}
|
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5{,}51\text{ €}}
|
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 115{,}76\text{ €}}
|
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 110{,}25\text{ €}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot \frac{5}{100}}
|
| Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4}
|
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 115{,}76\text{ €}}
|
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5{,}79\text{ €}}
|
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 121{,}55\text{ €}}
|
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 115{,}76\text{ €}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot \frac{5}{100}}
|
| Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5}
|
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 121{,}55\text{ €}}
|
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6{,}08\text{ €}}
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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 127{,}63\text{ €}}
|
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 121{,}55\text{ €}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot \frac{5}{100}}
|
| Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6}
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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 127{,}63\text{ €}}
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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6{,}39\text{ €}}
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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 134{,}01\text{ €}}
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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 127{,}63\text{ €}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot \frac{5}{100}}
|
| Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7}
|
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 134{,}01\text{ €}}
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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6{,}70\text{ €}}
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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 140{,}71\text{ €}}
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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 134{,}01\text{ €}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot \frac{5}{100}}
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| Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8}
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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 140{,}71\text{ €}}
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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7{,}04\text{ €}}
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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 147{,}75\text{ €}}
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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 140{,}71\text{ €}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot \frac{5}{100}}
|
Aufgabe 1: Vergleich Zins und Zinseszins
Hier ist ein Diagramm von der Entwicklung von Claras Kontostand aus dem Beispiel für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 50}
Jahre dargestellt.
a) Ordne den Graphen die verschiedenen Entwicklungen zu.
| roter Graph |
Entwicklung mit Zinseszins
|
| blauer Graph |
Entwicklung mit Zinsen ohne Zinseszins
|
| grüner Graph |
Entwicklung ohne Zinsen
|
b) Was fällt dir bei der Betrachtung der verschiedenen Verläufe der Graphen auf? Was bedeuten diese Auffäligkeiten für Claras Kontostand?
Schaue dir vor allem die Unterschiede zwischen der Entwicklung mit Zinseszinsen und der Entwicklung mit Zinsen, aber ohne Zinseszinsen an. Was bedeuten die Abstände zwischen den Graphen für Claras Kontostand?
Hier gibt es kein richtig oder falsch. Dir ist bestimmt viel Unterschiedliches aufgefallen.
Hier sind nur einige Auffälligkeiten:
Am Anfang sind der rote und der blaue Graph fast gleich, erst ab etwa Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 10}
Jahren gibt es nennenswerte Unterschiede. Das bedeutet, dass es für die ersten Jahre fast keinen Unterschied macht, ob Clara Zinseszins bekommt oder nur einfache Zinsen.
Ab Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 10}
Jahren wird der Unterschied zwischen dem blauen und den roten Graphen immer größer. Das bedeutet, dass es langfristig einen erheblichen Unterschied macht, ob Clara Zinseszins bekommt oder nur einfachen Zins.
Der Unterschied zwischen dem blauen und roten Graphen wird mit den Jahren immer schneller größer. Das bedeutet: Je länger Clara spart, desto mehr Gewicht hat der Zinseszins gegenüber dem einfachen Zins.
Aufgabe 2: Rechnen mit und ohne Zinseszins
Maja hat inzwischen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 900\text{ €}}
gespart. Sie ist 13 Jahre alt und möchte dieses Geld für ihren Führerschein anlegen. Sie bekommt von der Bank Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6\text{ }%}
Zinsen pro Jahr. Ein Führerschein kostet ungefähr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1125\text{ €}}
.
a) Hat Maja mit 17 Jahren genügend Geld auf ihrem Konto, um den Führerschein zu bezahlen?
Ein schrittweises Vorgehen hilft.
Du kannst damit beginnen auszurechnen wieviel Geld Maja nach einem Jahr hat. Dieses errechnete Geld ist dann das Kapital für das zweite Jahr, so kannst du das zweite Jahr berechnen und bekommst dann das Kapital für das dritte Jahr raus. Du kannst das so lange fortführen, bis Maja Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 17}
Jahre alt ist.
Maja hat mit 17 Jahren genügend Geld auf ihrem Konto für den Führerschein. Nach einem Jahr hat sie Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 954\text{ €}}
, nach zwei Jahren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1011{,}24\text{ €}}
, nach drei JahrenFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1071{,}91\text{ €}}
und nach vier Jahren dann Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1136{,}22\text{ €}}
.
b) Wieviel Geld hätte Maja mit 17 Jahren, wenn sie statt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6\text{ }%}
nur Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4\text { }%}
Zinsen bekommen würde?
Wo liegt der Unteschied zu Aufgabe 2 a)?
Diese Aufgabe kannst du genauso Lösen wie Aufgabe 2 a), nur der Wert für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p}
und damit auch der für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z}
ist anders.
Maja hätte nach einem Jahr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 936\text{ €}}
, nach zwei Jahren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 973{,}44\text{ €}}
, nach drei JahrenFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1012{,}38\text{ €}}
und nach vier Jahren dann Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1052{,}87\text{ €}}
auf ihrem Konto.
c) Wie lange müsste Maja warten, bis sie ihren Führerschein bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4\text{ €}}
Zinsen bezahlen könnte?
Reicht ihr Geld mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 17}
Jahren? Wie ist es mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 18}
oder Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 19}
Jahren?
Du kannst dein Ergebnis aus Aufgabe 2 b) verwenden und dann wie in der Aufgabe 2 b) weiterrechnen bis Maja genügend Geld für ihren Führerschein beisammen hat.
Maja hätte mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 17}
Jahren erst Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1052{,}87\text{ €}}
auf ihrem Konto. Mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 18}
Jahren hätte sie dann Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1094{,}99\text{ €}}
und mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 19}
Jahren dann Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1138{,}79\text{ €}}
auf ihrem Konto. Der Führerschein kostet ungefähr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1125\text{ €}}
, somit müsste Maja Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6}
Jahre lang warten bis sie genügend Geld für den Führerschein beisammen hat.
d) Maja überlegt, ob sie das Geld, das sie jedes Jahr an Zinsen bekommt immer abheben soll und in ihre Spardose werfen soll. Was würdest du ihr raten?
Ändert das etwas an den Zinsen, die Maja bekommt?
Auf welches Geld bekommt Maja dann jedes Jahr Zinsen? Wieviel Zinsen würde sie dann jedes Jahr bekommen? Was bedeutet das für ihren Führerschein?
Es gibt hierfür keine eindeutige Lösung. Hier ist eine mögliche Argumentation. Du hast jedoch möglicherweise eine andere gute Argumentation gefunden: Wenn Maja das so macht, dann würde sie jedes Jahr nur auf ihre Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 900\text{ €}}
Zinsen bekommen und keine Zinseszinsen. Sie würde bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6\text{ }%}
dann jedes Jahr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 54\text{ €}}
bekommen. Nach vier Jahren hätte Maja Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1116\text{ €}}
. Das würde nicht für den Führerschein reichen.
Erweiterte Zinsformel
Erweiterte Zinsformel für den Zinseszins
Die Zinsformel kann auch für die Berechnung des Zinseszins genutzt werden:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K=100}
€ werden mit einem Zinssatz Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p=5}
% vier Jahre lang gespart.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_1}
bezeichnet das Kapital nach einem Jahr, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_2}
nach zwei Jahren und so weiter. Damit ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_n}
das Kapital nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n}
Jahren.
Für das erste Jahr lässt sich das Kapital so berechnen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100}) = K_1}
Für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K = 100}
€ folgt dann Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 100 }
€Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot(1 + \frac{p}{100}) = 105}
€.
Für das zweite Jahr lässt sich das Kapital so berechnen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_1\cdot(1 + \frac{p}{100}) = K_2}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 105}
€
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot(1 + \frac{p}{100}) = 110{,}25}
€.
Das kann auch in einem Rechenschritt vereinfacht werden:
Jetzt setzen wir für das Kapital nach einem Jahr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_1}
in die Formel für das erste Jahr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K\cdot(1 + \frac{p}{100}) = K_1}
ein:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (K_1)\cdot(1 + \frac{p}{100}) = (K\cdot(1 + \frac{p}{100}))\cdot(1 + \frac{p}{100}) = K_2}
Für das dritte Jahr ergibt sich dann
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K\cdot(1 + \frac{p}{100})\cdot(1 + \frac{p}{100})\cdot(1 + \frac{p}{100}) = K_3}
Du kannst für jedes weitere Jahr einmal die Formel mit
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1 + \frac{p}{100})}
multiplizieren.
Noch kürzer lässt sich das als Potenz schreiben:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K\cdot(1 + \frac{p}{100})\cdot(1 + \frac{p}{100})= K\cdot(1 + \frac{p}{100})^2= K_2}
oder für das dritte Jahr
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K\cdot(1 + \frac{p}{100})\cdot(1 + \frac{p}{100})\cdot(1 + \frac{p}{100})= K\cdot(1 + \frac{p}{100})^3= K_3}
.
Für ein beliebiges Jahr, das Jahr Nummer Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n}
wird dann Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K}
insgesamt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n}
-mal mit dem Faktor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 + \frac{p}{100}}
multipliziert:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K\cdot(1 + \frac{p}{100})\cdot}
...
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n}
- mal ...
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot (1 + \frac{p}{100})= K\cdot(1 + \frac{p}{100})^n= K_n}
.
Aufgabe 3: Anwendung der erweiterten Zinsformel
Schauen wir uns nochmal die Situation von Maja aus der letzten Aufgabe an.
a) Angenommen Maja bekommt weiterhin Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6\text{ }%}
Zinsen, aber macht doch kein Führerschein und spart das Geld einfach weiterhin. Wieviel Geld hätte sie dann nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 20}
Jahren gespart?
Nutze die erweiterte Zinsformel.
Mache dir noch einmal klar wofür Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K{, }z{, }n}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_n}
stehen. Welche Werte sind das in diesem Beispiel?
Hier ist der Rechenweg mit der erweiterten Zinsformel.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})^n= K_n}
mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K=900}
, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=6}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=20}
lässt sich das dann so berechnen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 900\cdot(1 + 1\cdot \frac{6}{100})^{20}= 2886,42}
Maja hätte nach
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 20}
Jahren
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2886,42\text{ €}}
gespart.
b) Ein realistischer Zinssatz beträgt zurzeit eher Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0{,}3\text{ }%}
Zinsen. Könnte Maja jemals mit ihrem Erspartem bei so einem Zinssatz ihren Führerschein bezahlen?
Wieviel Geld hätte sie mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 17}
, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 50}
oder Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 100}
Jahren?
Nutze unbedingt die erweiterte Zinsformel.
Mache dir noch einmal klar wofür Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K{,}z{,}n}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_n}
stehen. Welche Werte sind das in diesem Beispiel?
Hier sind die Rechenwege mit der erweiterten Zinsformel.
Mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 17}
Jahren hat Maja Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 900\text{ €}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot(1 + 1\cdot \frac{0{,}3}{100})^{4}= 910{,}85\text{ €}}
.
Mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 50}
Jahren hat Maja Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 900\text{ €} }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot(1 + 1\cdot \frac{0{,}3}{100})^{37}= 1005{,}49\text{ €}}
.
Mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 100}
Jahren hat Maja Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 900\text{ €} }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cdot(1 + 1\cdot \frac{0{,}3}{100})^{87}= 1167{,}95\text{ €}}
.
Maja könnte mit dem Ersparten zwar noch ihren Führerschein bezahlen, jedoch ist sie dann schon im Rentenalter.
Aufgabe 4: Coronabonus
Detlef arbeitet als Krankenpfleger. Daher hat er einen Corona-Bonus von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1000\text{ €}}
erhalten. Seine Frau ist Professorin, deshalb sind sie als Familie finanziell gut abgesichert. Er möchte deswegen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 800\text{ €}}
des Corona-Bonuses sparen.
a) Seine Bankberaterin bei der SparBank sagt ihm: "Bei uns bekommen Sie so viel Zinsen, dass Sie nach vier Jahren schon ungefähr 136 Euro mehr haben." Wie hoch liegt der Zinssatz bei der SparBank?
Manchmal hilft es abzuschätzen und dann auszuprobieren
Die Zinsen bei einer Bank liegen irgendwo zwischen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\text{ }%}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7\text{ }%}
. Du kannst dich durch Ausprobieren an die Lösung herantasten.
mögliche Rechnung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 800\cdot(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4= 935{,}89}
Detlef erhält vier Prozent Zinsen pro Jahr.
b) Detlef entscheidet sich dafür sein Geld bei der SparBank anzulegen. Er erhält durch den zweiten Lockdown eine weitere Bonuszahlung, sodass er nach vier Jahren schon ungefähr Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1170\text{ }\euro}
hätte. Wie groß ist diese Bonuszahlung?
Wie groß ist der Unterschied zwischen dem Geld nach vier Jahren mit und ohne Bonuszahlung? Was sagt dieser Unterschied über die Bonuszahlung aus?
Aus dem Unterschied zwischen dem Geld nach vier Jahren mit und ohne Bonuszahlung kannst du errechnen wie hoch diese Bonuszahlung ist. Der Unterschied setzt sich nur aus der Bonuszahlung und den Zinsen und Zinseszinsen dieser zusammen.
Mögliche Rechnung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (800+x)\cdot(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4= 1170}
umstellen nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x}
: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (800+x)= 1170:(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4}
Daraus folgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x= 1170:(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4-800=200{,}121}
Der zweite Bonus beträgt ungefähr
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 200\text{ €}}
.
c) Detlef ruft danach noch bei der GrünBank an. Die Bankberaterin der GrünBank unterbreitet ihm folgendes Angebot: "Bei uns können Sie zwischen zwei Angeboten auswählen. Wir können ihnen einerseits das kurzsparer Angebot, bei dem Sie jedes halbe Jahr zwei Prozent Zinsen erhalten, anbieten. Sie können alternativ das langsparer Angebot annehmen, bei dem Sie nach 5 Jahren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 22\text{ }%}
Zinsen erhalten, wenn ihr Geld die vollen fünf Jahre auf ihrem Konto verweilt." Zu welchem Angebot würdest du Detlef raten, um seine Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1000\text{ €}}
anzulegen? Zur Auswahl stehen das von der Sparbank, das kurzsparer Angebot und das langsparer Angebot der GrünBank?
Wo bekommt er mehr Geld? Gibt es noch andere Aspekte die wichtig sein können?
Du kannst gucken wie groß der Unterschied des Geldes nach einem, zwei und fünf Jahren ist. Was passiert, wenn Detlef das Geld nach 4 Jahren abhebt?
Es gibt nicht die eine richtige Lösung. Hier sind einige mögliche Argumente, aber du hast vielleicht auch andere gute Argumente gefunden:
Bei zwei Prozent Zinsen halbjährlich ist Detlef am flexibelsten, da er nicht ein ganzes bzw. fünf Jahre warten muss um die Zinsen zu bekommen.
Bei zwei Prozent Zinsen alle 6 Monate bekommt er mehr Geld als bei vier Prozent Zinsen jährlich, weil er dann jedes Jahr zwei mal zwei Prozent (also vier Prozent) auf sein Startkapital und dazu am Ende des Jahres schon die die Zinseszinsen des ersten Halbjahres bekommt.
Rechnerischer Vergleich nach fünf Jahren:
SparBank:Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1000\cdot(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^5= 1216{,}65}
GrünBank kurzsparer:Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1000\cdot(1 + 1\cdot \frac{2}{100})^{5*2}= 1218{,}99}
GrünBank langsparer:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1000\cdot(1 + 1\cdot \frac{22}{100})= 1220}
d) Die Pflegekräfte leisten sowohl in der Pandemie, als auch in Zeiten ohne Pandemie Herausragendes und werden schlecht bezahlt. Deswegen gibt es zusätzlich zu den Bonuszahlungen eine längst überfällige Lohnerhöhung. Da Detlef nur eine halbe Stelle hat, weil er sich um die Tochter kümmert, bekommt er Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 15\text{ €}}
zusätzlich im Monat. Diese Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 15\text{ €}}
spart er zusätzlich zu den Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1000\text{ €}}
. Wieviel Geld hat er jetzt insgesamt nach drei Jahren auf seinem Konto, wenn er bei der SparBank spart?
Aus welchen Teilen setzt sich Detlefs Kontostand am Ende jeden Jahres zusammen?
Detlef zahlt jedes Jahr zusätzliches Geld auf sein Konto zum Sparen ein. Auch für dieses Geld erhält er ab dann Zinsen.
Mögliche Rechnung:
nach einem Jahr: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1000+15\cdot12)\cdot\left(1 + 1\cdot \frac{4}{100}\right)= 1227{,}2}
nach zwei Jahren: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1227{,}2+15\cdot 12)\cdot\left(1 + 1\cdot \frac{4}{100}\right)= 1463{,}49}
nach drei Jahren: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1463{,}49+15\cdot 12)\cdot\left(1 + 1\cdot \frac{4}{100}\right)= 1709{,}23}
Detlef hat nach drei Jahren mit der Lohnerhöhung
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1709{,}23\text{ €}}
auf seinem Konto
Appendix für den Fall das auffällt, dass ein Kapitel für eine einzige Seite zu viel ist
Diese Seite dient zur Übersicht zu allen Seiten des Lernpfads Zinsrechnung.
Um mit dem Lernpfad zu starten, beginne mit der Einführung.
Einführung: Das müsst ihr können:
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Einführung
Alltagsbeispiele: Hier begegnen euch Zinsen im Alltag:
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Alltagsbeispiele
Zinsformel: Hier wird euch die Formel erklärt:
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Zinsformel
Zinseszins: Jetzt wird es spannend:
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Zinseszins
Projekt von Ole W., David B. und Alexander A.
