Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas: Unterschied zwischen den Versionen
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A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>4720</math> <math>cm^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }} | A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>4720</math> <math>cm^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }} | ||
{{Box| 1=Aufgabe 3: Berechne die Fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt und O der | {{Box| 1=Aufgabe 3: Berechne die Fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt und O der Oberflächenihalt: <br/> | ||
<math>O / = / 18 / dm^2</math> <br> | <math>O / = / 18 / dm^2</math> <br> | ||
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M = 325 \ cm^2 \ oder \ 3,25 \ dm^2 | M = 325 \ cm^2 \ oder \ 3,25 \ dm^2 | ||
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{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: | {{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: | ||
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A: Das Volumen beträgt <math>15000</math> <math>cm^3</math> oder <math>15</math> <math>m^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }} | A: Das Volumen beträgt <math>15000</math> <math>cm^3</math> oder <math>15</math> <math>m^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }} | ||
{{Box| 1=Aufgabe 3: Berechne die Fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers: <br/> | |||
<math>O / = / 35 / dm^2</math> <br> | |||
<math>M / = / 700 / cm^2</math> <br> | |||
<math>V / = / 35000 / cm^3</math> <br> | |||
{{Lösung versteckt| 1= <math> | |||
\begin{align} | |||
h = 10 \ cm \ oder \ 1 \ dm \\ | |||
G = 350 \ cm^2 \ oder \ 3,5 dm^2 | |||
\end{align} </math> | 2= Lösung | 3=Lösung einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: | |||
<math>\begin{align} | |||
O \ &= \ 35 \ dm^2 &= 3500 \cm^2 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach G umgestellt: | |||
<math>\begin{alignat}{2} | |||
&\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\ | |||
&\Leftrightarrow& 3500 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \\ | |||
&\Leftrightarrow& 3500 &= 2 \cdot G + 2800 \\ | |||
&\Leftrightarrow& 700 &= 2 \cdot G \\ | |||
&\Leftrightarrow& M &= 350 | |||
\end{align}</math> | |||
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach h umgestellt: | |||
<math>\begin{alignat}{2} | |||
&\quad& V &= h \cdot G \\ | |||
&\Leftrightarrow& 35000 &= h \cdot 3500 \\ | |||
&\Leftrightarrow& 10 &= h \\ | |||
\end{align}</math> | |||
A: Die Höhe h beträgt <math>10 \cm </math> und die Grundfläche ist <math>350 \cm^2 </math>. | |||
{{Box | Hinweis | Betrachte die drei Fotos! Die Karten sollen ein Prisma darstellen. Neben einem regelmäßigen Prisma, siehst du zwei schräge Prismen. Was verändert sich? Was bleibt gleich? | Hinweis }} | {{Box | Hinweis | Betrachte die drei Fotos! Die Karten sollen ein Prisma darstellen. Neben einem regelmäßigen Prisma, siehst du zwei schräge Prismen. Was verändert sich? Was bleibt gleich? | Hinweis }} | ||
Version vom 22. November 2020, 12:27 Uhr
Das Prisma
Prismen und andere Körper
(!1) (2) (3) (!4) (!5) (6)
- Körper 1 ist kein Prisma, da die Grundflächen verschiedene Vielecke sind, die somit nicht deckungsgleich sein können.
- Körper 4 ist kein Prisma, da die Grundflächen unterschiedlich groß und somit nicht deckungsgleich sind.
- Körper 5 ist kein Prisma, da die Grundflächen keine Vielecke sondern Kreisschnitte sind.
(!1) (2) (3) (!4)
Das Prisma besteht aus zwei Grundflächen, die deckungsgleich und parallel zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als Höhe des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch Rechtecke, die Seitenflächen genannt werden. Addierst du die Flächeninhalte aller Seitenflächen, erhältst du die Mantelfläche des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle Quader und Würfel Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein Quader oder Würfel ist. Und im Gegensatz zum Zylinder, der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas eckig.
Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten
Wie kann ich aus einer Strecke eine Fläche machen? (!Mit einer Strecke addieren) (Mit einer Strecke multiplizieren) (!Mit einer Fläche addieren) (!Mit einer Fläche multiplizieren)
Wie kann ich aus einer Strecke ein Volumen machen? (!Mit zwei weiteren Strecken addieren) (Mit zwei weiteren Strecken multiplizieren) (!Mit zwei weiteren Flächen addieren) (!Mit zwei weiteren Flächen multiplizieren)
Wie kann ich aus einer Fläche ein Volumen machen? (!Mit einer Strecke addieren) (Mit einer Strecke multiplizieren) (!Mit einer Fläche addieren) (!Mit einer Fläche multiplizieren)
Darf man Strecken, Flächen und Volumen miteinander addieren? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Nur wenn die Einheiten gleich sind, z.B. alle sind ) (!Nur wenn die Einheiten gleich sind, bis auf den Exponent, z.B. und ) (Nur Strecken mit Strecken, Flächen mit Flächen, Volumen mit Volumen) (!Nein, niemals)
Die Einheiten der Strecke stehen ohne Exponent, weil ... (!sie keinen brauchen) (!der Exponent 0 ist, und damit nicht geschrieben werden braucht) (der Exponent 1 ist, und damit nicht geschrieben werden braucht)
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich)
Oberfläche eines Prismas
In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die vielen Seitenflächen, auch Mantelfläche genannt, ergeben gemeinsam mit den beiden Grundflächen die Oberfläche eines Prismas. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird umgangssprachlich auch von einem Hohlkörper gesprochen.
1. Man kann jedes regelmäßige n-Eck in n gleiche Dreiecke unterteilen.
2. Nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt einer Grundlinie kann man die Fläche jeden Dreiecks bestimmen.
Falls ihr einige der Grundlagen nicht mehr wißt, könnt ihr die Formeln hier nochmal nachschlagen.
Fläche Fläche Dreieck Anzahl Dreiecke im n-Eck
Mantelfläche Fläche Rechteck Anzahl Seiten des n-Ecks
Seite Seite
Volumen eines Prismas
In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem Volumen eines Prismas. Aus einer Grundfläche und der Höhe ergibt sich der Inhalt eines Körpers. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt. Umgangssprachlich ein massiver Körper.
Herleitung Volumen Würfel
Herleitung Volumen Quader
Herleitung Volumen Prisma
{{Box| 1=Aufgabe 3: Berechne die Fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers:
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \begin{align} O \ &= \ 35 \ dm^2 &= 3500 \cm^2 \\ \end{align}}
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach G umgestellt:
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \begin{alignat}{2} &\quad& O &= 2 \cdot G + 4 \cdot M \\ &\Leftrightarrow& 3500 &= 2 \cdot G + 4 \cdot 700 \\ &\Leftrightarrow& 3500 &= 2 \cdot G + 2800 \\ &\Leftrightarrow& 700 &= 2 \cdot G \\ &\Leftrightarrow& M &= 350 \end{align}}
Einsetzten der Bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach h umgestellt:
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \begin{alignat}{2} &\quad& V &= h \cdot G \\ &\Leftrightarrow& 35000 &= h \cdot 3500 \\ &\Leftrightarrow& 10 &= h \\ \end{align}} A: Die Höhe h beträgt Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 10 \cm } und die Grundfläche ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 350 \cm^2 } .