Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben: Unterschied zwischen den Versionen
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== Das Einsetzungsverfahren == | |||
{{Box|Das Einsetzungsverfahren|Das Einsetzungsverfahren verwendest Du, um ein Gleichungssystem mit 2 Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen. | {{Box|Das Einsetzungsverfahren|Das Einsetzungsverfahren verwendest Du, um ein Gleichungssystem mit 2 Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen. | ||
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}} | }} | ||
=== Aufgaben zum Einsetzungsverfahren=== | |||
{{Box|Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen.|Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten. | |||
===Aufgaben=== | |||
{{Box|Gleichungssysteme lösen.|Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten. | |||
a) | a) | ||
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\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
{{Lösung versteckt| <math> x=7</math>,<math>y=1/3</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | {{Lösung versteckt| <math> x=7</math>,<math>y=1/3</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
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</math> | </math> | ||
{{Lösung versteckt| Eliminiere die <math>y</math>-Variable in der unteren Zeile.| Tipp| Tipp}} | |||
{{Lösung versteckt| Eliminiere die <math>y</math>-Variable in der unteren Zeile.| Tipp | |||
{{Lösung versteckt| <math> x=3/2 </math>,<math>y=1/4</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | {{Lösung versteckt| <math> x=3/2 </math>,<math>y=1/4</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
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|Üben}} | |Üben}} | ||
=== Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang === | |||
===Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang=== | |||
{{Box|1= <span style="color: blue">Aufgabe: Elternsprechtag</span>|2= | {{Box|1= <span style="color: blue">Aufgabe: Elternsprechtag</span>|2= | ||
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== Das Gauß-Verfahren == | |||
{{Box|Das Gauß-Verfahren|Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht. | |||
Schaue dir folgende Gleichungen an: | |||
<math> | |||
\begin{array}{rlll} | |||
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\ | |||
&II\quad& &2x& + &1y& + &7z& &=& &15& \\ | |||
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\ | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus: | |||
<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 2 & 1 & 7 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math> | |||
1. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>II</math> zu eliminieren rechnen wir <math>II + (-2) \cdot III</math>: | |||
<math> | |||
\begin{array}{rlll} | |||
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\ | |||
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\ | |||
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\ | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
In Matrix-Vektor-Schreibweise: | |||
<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math> | |||
2. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> zu eliminieren rechnen wir <math>III \cdot (-3) + I</math>: | |||
<math> | |||
\begin{array}{rlll} | |||
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\ | |||
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\ | |||
&III\quad& && - &1y& - &5z& &=& &-9& \\ | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
In Matrix-Vektor-Schreibweise: | |||
<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & -1 & -5 & -9\end{pmatrix}</math> | |||
3. Nun soll auch die <math>y</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> eliminiert werden. Dazu rechnen wir <math>III \cdot (-3) + II</math> | |||
Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus: | |||
<math> | |||
\begin{array}{rlll} | |||
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\ | |||
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\ | |||
&III\quad& && && + &16z& &=& &32& \\ | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
In Matrix-Vektor-Schreibweise: | |||
<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 16 & 32\end{pmatrix}</math> | |||
Wir können Gleichung <math>III</math> nun nach <math>z</math> auflösen. Dann setzen wir den <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>II</math> ein und lösen nach <math>y</math> auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten <math>y</math>- und <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>I</math> ein und lösen nach <math>x</math> auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable. | |||
Es folgt also: | |||
<math>z=2</math>, <math>y=-1</math>, <math>x=1</math>|Arbeitsmethode | |||
}}{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen'''. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als ''obere '''Dreiecksmatrix'''''. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.|Merke | |||
}} | |||
=== Aufgaben zum Gauß-Verfahren === | |||
{{Box|Gleichungssysteme lösen.|Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten. | |||
a) | |||
<math> | |||
\begin{array}{rlll} | |||
&I\quad& &1x& + &12y& + &6z& &=& &-2&\\ | |||
&II\quad& &-2x& + &7y& + &18z& &=& &24,5& \\ | |||
&III\quad& &4x& + &2y& + &24z& &=& &-31& \\ | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
{{Lösung versteckt| Nutze das Gauß-Verfahren.| Tipp 1| Tipp 1}} | |||
{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 2| Tipp 2}} | |||
{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst die <math>x</math>-Variable in der zweiten Zeile.| Tipp 3| Tipp 3}} | |||
{{Lösung versteckt| Deine Matrix sollte in folgende Form umgeschrieben werden. <math>\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & h & i \end{pmatrix}</math>.| Tipp 4| Tipp 4}} | |||
{{Lösung versteckt| <math> x=-9 </math>,<math>y=7</math>, <math> z=1/6 </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | |||
b)* | |||
<math> | |||
\begin{array}{rlll} | |||
&I\quad& &3x& + &4y& - &5z& + &6v& &=& &-7,5&\\ | |||
&II\quad& &6x& + &5y& - &6z& + &5v& &=& &-7,5& \\ | |||
&III\quad& &9x& - &4y& + &2z& + &3v& &=& &69& \\ | |||
&IV\quad& && &2y& - &3z& + &1v& &=& &-14,5& | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
{{Lösung versteckt| Nutze das Gauß-Verfahren.| Tipp 1| Tipp 1}} | |||
{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 2| Tipp 2}} | |||
{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst den <math>x</math>-Wert in Gleichung <math>II</math>.| Tipp 3| Tipp 3}} | |||
{{Lösung versteckt| Die Matrix sollte in eine obere rechte Dreiecksmatrix umgeschrieben werden. | Tipp 4| Tipp 4}} | |||
{{Lösung versteckt| <math> x=3,5 </math>,<math>y=-7</math>, <math> z=1 </math>, <math> v=2,5 </math> |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | |||
|Üben}} | |||
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|Farbe= #008B00|3= Arbeitsmethode}} | |Farbe= #008B00|3= Arbeitsmethode}} | ||
{{Box|Alles klar?|Bearbeite den Lückentext | |||
{{LearningApp|width:100%|height:250px|app=10753102}}|Üben}} |
Version vom 18. April 2020, 13:50 Uhr
Konzept
Ziele:
- Die SuS stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar,
- Die SuS beschreibenden Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme,
- Die SuS wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem Rechenaufwand lösbar sind,
- Die SuS interpretieren die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen,
- Die SuS wissen, was lineare, quadratische und ganzrationale Funktionen sind.
- Die SuS können diese Typen von Funktionen anhand ihres Funktionsgraphen erkennen und unterscheiden.
- Die SuS kennen Achsen- und Punktsymmetrie bezüglich der Eigenschaften von Funktionsterm und Funktionsgraph.
- Die SuS können Funktionsgraphen anhand von ablesbaren Eigenschaften beschreiben.
- Die SuS können Funktionsgraphen anhand von Eigenschaften rekonstruieren.
- Die SuS können Funktionsgraphen anhand des Funktionsterms konstruieren.
- Die SuS können Informationen zu Funktionseigenschaften in einen Text mit Realbezug erkennen und diese herausstellen.
Voraussetzungen oder weitere Ziele:
- Die SuS kennen die Bedeutung der Ableitung bezüglich der Grundvorstellungen (besonders der lokalen Änderungsrate und der Tangentensteigung).
Vorgehen bzw. Aufbau im Lernpfad:
- Eigenschaften von Funktionen werden in ausklappbaren Bereich wiederholt. Das soll relativ kompakt geschehen und durch Visualisierungen wie Terme und Graphen gestützt sein.
- Das Vorgehen der Informationserschließung bis zur Konstruktion von Term und Graph aus diesen oder dem je anderen wird anhand einer Anwendungsaufgabe schrittweise vorgestellt.
- Anschließend sind Anwendungsaufgaben zur eigenen Bearbeitung angefügt.
- Der Lernpfad endet mit einer Checkliste -> ggfs. interaktiv, falls eine sinnvolle Möglichkeit zu Umsetzung machbar ist.
- Verfahren zum Lösen der LGS in 2 Blöcke aufteilen und passende Anwendungsaufgaben jeweils darunter anfügen.
- Aufgaben ohne Anwendungsbezug und Erklärung der Verfahren ein- und ausklappbar machen, sodass die Seite übersichtlicher und weniger blockartig wird.
Allgemeine Hinweise
- Inhaltsverzeichnis -
- Einführung / Wiederholung: Eigenschaften von Funktionen -
- kleine Anwendungen und Applets zu Eigenschaften -
- Beispiel Steckbriefaufgabe, die geführt gelöst wird -
- LGS Gaußverfahren -
- Steckbrief-Anwendungsaufgabe zum Gaußverfahren -
- LGS Einsetzungsverfahren -
- Steckbrief-Anwendungsaufgabe zum Einsetzungsverfahren -
- Was haben wir gelernt / Checkliste -
- Wie geht's weiter? -
Lineare Gleichungssysteme
Einführung
Auf dieser Seite lernst Du, wie Du Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes Beispiel zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.
Das Einsetzungsverfahren
Aufgaben zum Einsetzungsverfahren
Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang
Das Gauß-Verfahren
Aufgaben zum Gauß-Verfahren
Kubische Funktionen im Sachzusammenhang