Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

Info

In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die gelb gefärbt sind, kannst du Gelerntes wiederholen und vertiefen.

Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.

Und Aufgaben mit grüner Hinterlegung sind Knobelaufgaben.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.

Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung

Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen

Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte $m$ und $n$ verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise $m=0$ und variiere $n$.

Lineare Funktionen erkennen

Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?

Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?

Tipp

Der Lückentext in Aufgabe 1 kann dir beim Lösen der Aufgabe helfen.

Tipp

Bei Funktionen muss jeder Variablen auf der x-Achse genau ein Wert auf der y-Achse zugeordnet werden.

Fragen, die du dir stellen kannst, um die Graphen und Funktionen richtig zuzuordnen.

Wird jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet? Ist der Graph eine Gerade? Sind die Exponenten der Variablen in der Funktionsvorschrift maximal von Grad 1?

Lösung

Keine Funktion:

Der Kreis und die zur y-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau zwei y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen.

Lineare Funktionen:

Alle Geraden, die nicht parallel zur y-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent $0$ oder $1$ hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: $f(x)=mx+n$.

Andere Funktionen:

Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.

Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen

Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen

In den folgenden Teilaufgaben hast du jeweils die Steigung der Geraden und einen Punkt gegeben, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form $f(x) = mx + n$.

Allgemeiner Tipp

Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form $f(x) = mx + n$ ein.

a) Die Steigung ist $m = -4$ und der Punkt $P(-7|-1)$.

Lösung

1. Setze zunächst für die Steigung $m = -4$, sodass dein erstes Gerüst $f(x) = -4x + n$ entsteht.
2. Nutze die Angabe des Punktes $P(-7|-1)$, sodass du mit $x = -7$ und $f(x) = -1$ die Gleichung $-1 = -4\cdot(-7) + n$ erhältst.
3. Bestimme nun mit Auflösung nach $n$ den Wert $n = -29$, sodass sich schließlich die Geradengleichung $f(x) = -4x - 29$ ergibt.

b) Die Steigung ist $m = 3,5$ und der Punkt $P(2|5)$.

Lösung

1. Setze zunächst für die Steigung $m = 3,5$ ein, sodass dein erstes Gerüst $f(x) = 3,5\cdot x + n$ entsteht.
2. Nutze die Angabe des Punktes $P(2|5)$, sodass du mit $x = 2$ und $f(x) = 5$ die Gleichung $5 = 3,5\cdot2 + n$ erhältst.
3. Bestimme nun mit Auflösung nach $n$ den Wert $n = -2$, sodass sich schließlich die Geradengleichung $f(x) = 3,5\cdot x - 2$ ergibt.

c) Die Steigung ist $m = \frac{5}{8}$ und der Punkt $P(-\frac{2}{7}|\frac{3}{4})$.

Lösung

1. Setze zunächst für die Steigung $m = \frac{5}{8}$, sodass dein erstes Gerüst $f(x) = \frac{5}{8}x + n$ entsteht.
2. Nutze die Angabe des Punktes $P(-\frac{2}{7}|\frac{3}{4})$, sodass du mit $x = -\frac{2}{7}$ und $f(x) = \frac{3}{4})$ die Gleichung $\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n$ erhältst.
3. Bestimme nun mit Auflösung nach $n$ den Wert $n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}$, sodass sich schließlich die Geradengleichung $f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}$ ergibt.

Merke "Das Steigungsdreieck"

Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mithilfe des Steigungsdreiecks anhand zweier auf dem Graphen liegenden Punkten. Dieses zeichnet sich dadurch aus, dass die Steigung dem Verhältnis des Höhen- und Längenunterschiedes beider Punkte entspricht. Dazu führt man folgende Schritte durch:

1. Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte $P(x_P|f_P (x))$ und $Q(x_Q|f_Q (x))$, die auf dem Graphen der Funktion liegen.
2. Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$.
   $H\ddot{o}henunterschied = f_Q (x) - f_P (x)$
3. Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$.
   $L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P$
4. Für die Steigung $m$ der Geraden gilt:
   $m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{f_Q (x) - f_P (x)}{x_Q - x_P}$

Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen

Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form $g(x) = mx + n$.

Tipp: Vorgehen

Du kannst die Geradengleichung auf drei unterschiedlichen Wegen erhalten:

Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen

1. Berechne zunächst die Steigung $m$, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
2. Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt $n$, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form $g(x) = mx + n$ einsetzt.

Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems

1. Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten $m$ und $n$ auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ für $x$ und die y-Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ für $g(x)$ in die Geradengleichung $g(x) = mx + n$ einsetzt.
2. Beide Gleichungen ergeben zusammen ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten $m$ und $n$ zu bestimmen.
3. Die beiden Unbekannten $m$ und $n$ setzt du anschließend in die Geradengleichung $g(x) = mx + n$ ein.

Tipp: Wieso muss man die y-Koordinate für g(x) einsetzen?

Bei einer Funktion wird jedem $x$ immer genau ein $y$ zugeordnet. Dass einem $x$ dabei immer wirklich nur genau einem $y$ zugeordnet wird, wird durch die Schreibweise von $y$ als $g(x)$ deutlicher. Bei einer Geradengleichung der Form $g(x) = mx + n$ könnte man alternativ also auch $y = mx + n$ schreiben.

Mehr dazu kannst du im Lernpfadkapitel zu Termen und Gleichungen nachlesen.

Lösung mit Hilfe eines Graphen

1. Zeichne die Punkte $P$ und $Q$ in ein Koordinatensystem ein.
2. Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte $P$ und $Q$ verläuft.
3. Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung $m$.
4. Lies den y-Achsenabschnitt $n$ am Graphen ab.
5. Setze alles in die Geradengleichung $g(x) = mx + n$ ein.

a) Gegeben seien die Punkte $P(1|2)$ und $Q(3|6)$.

Lösung

Funktionsgleichung: $g(x) = 2x$

Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts

• Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte $P(1|2)$ und $Q(3|6)$ wie folgt berechnen:
  $H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4$
• Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte $P(1|2)$ und $Q(3|6)$ wie folgt berechnen:
  $L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2$
• Für die Steigung $m$ der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen:
  $m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2$
• Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung $m = 2$ und einen der Punkte in die Geradengleichung $g(x) = mx + n$ ein:
  • Falls du als Punkt $P$ gewählt hast, erhälst du also $g(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n$
  • Falls du als Punkt $Q$ gewählt hast, erhälst du also $g(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n$
• Als letztes setzt du $m = 2$ und $n = 0$ in die Geradengleichung $g(x) = mx + n$ ein.

Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS

• Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte $P(1|2)$ und $Q(3|6)$ in die Geradengleichung $g(x) = mx + n$ ergeben, sind $2 = m \cdot 1 + n$ und $6 = m \cdot 3 + n$.
• Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du $n$ eliminieren.
• Nun kannst du eine Gleichung nach $m$ auflösen und erhälst $m = 2$.
• Dies setzt du nun in die andere Gleichung für $m$ ein und erhälst $n = 0$.
• Als letztes setzt du $m = 2$ und $n = 0$ in die Geradengleichung $g(x) = mx + n$ ein.

Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen

Graphischer Lösungsweg

b) Gegeben seien die Punkte $P(2|1)$ und $Q(6|-5)$.

Lösung

Funktionsgleichung: $g(x) = -1,5x + 4$

Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts

• Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte $P(2|1)$ und $Q(6|-5)$ wie folgt berechnen:
  $H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6$
• Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte $P(2|1)$ und $Q(6|-5)$ wie folgt berechnen:
  $L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4$
• Für die Steigung $m$ der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen:
  $m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5$
• Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung $m = -1,5$ und einen der Punkte in die Geradengleichung $g(x) = mx + n$ ein:
  • Falls du als Punkt $P$ gewählt hast, erhälst du also $g(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n$
  • Falls du als Punkt $Q$ gewählt hast, erhälst du also $f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n$
• Als letztes setzt du $m = -1,5$ und $n = 4$ in die Geradengleichung $g(x) = mx + n$ ein.

Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS

• Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte $P(2|1)$ und $Q(6|-5)$ in die Geradengleichung $g(x) = mx + n$ ergeben, sind $1 = m \cdot 2 + n$ und $-5 = m \cdot 6 + n$.
• Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du $n$ eliminieren.
• Nun kannst du eine Gleichung nach $m$ auflösen und erhälst $m = -1,5$.
• Dies setzt du nun in die andere Gleichung für $m$ ein und erhälst $n = 4$.
• Als letztes setzt du $m = -1,5$ und $n = 4$ in die Geradengleichung $g(x) = mx + n$ ein.

Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen

Graphischer Lösungsweg

c) Gegeben seien die Punkte $P(-7|4)$ und $Q(11|-3)$.

Lösung

Funktionsgleichung: $g(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}$

Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts

• Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte $P(-7|4)$ und $Q(11/-3)$ wie folgt berechnen:
  $H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7$
• Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte $P(-7|4)$ und $Q(11/-3)$ wie folgt berechnen:
  $L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18$
• Für die Steigung $m$ der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen:
  $m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}$
• Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung $m = -\frac{7}{18}$ und einen der Punkte in die Geradengleichung $g(x) = mx + n$ ein:
  • Falls du als Punkt $P$ gewählt hast, erhälst du also $g(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n$
  • Falls du als Punkt $Q$ gewählt hast, erhälst du also $g(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n$
• Als letztes setzt du $m = -\frac{7}{18}$ und $n = \frac{23}{18}$ in die Geradengleichung $g(x) = mx + n$ ein.

Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS

• Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte $P(-7/4)$ und $Q(11/-3)$ in die Geradengleichung $g(x) = mx + n$ ergeben, sind $4 = m \cdot -7 + n$ und $-3 = m \cdot 11 + n$.
• Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du $n$ eliminieren.
• Nun kannst du eine Gleichung nach $m$ auflösen und erhälst $m = -\frac{7}{18}$.
• Dies setzt du nun in die andere Gleichung für $m$ ein und erhälst $n = \frac{23}{18}$.
• Als letztes setzt du $m = -\frac{7}{18}$ und $n = \frac{23}{18}$ in die Geradengleichung $g(x) = mx + n$ ein.

Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen

Graphischer Lösungsweg

Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen

Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen

Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite dabei zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte.
Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken!
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

Tipp

Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert $f(x)$ mit den y-Koordinaten der Punkte.

Lösung

• Auf dem Graphen der Funktion $f(x) = 2x + 3$ liegen die Punkte: $(-1|1)$, $(0|3)$, $(2|7)$, $(1|5)$.
• Auf dem Graphen der Funktion $f(x) = -x + 12$ liegen die Punkte: $(2|10)$, $(12|0)$, $(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})$, $(9|3)$.
• Auf dem Graphen der Funktion $f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}$ liegen die Punkte: $(-1|-1)$, $(5|-5)$.
• Auf dem Graphen der Funktion $f(x) = \frac{3}{8}$ liegen die Punkte: $(4|\frac{3}{8})$, $(9|\frac{9}{24})$.

Beispielhafter Lösungsweg:

• Wir setzen die x-Koordinate des Punktes $(-1|1)$ in die Funktion $f(x) = 2x + 3$ ein und berechnen den Funktionswert:
  • $f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$.
  • Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
• Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes $(2|10)$ ein und berechnen wieder den Funktionswert:
  • $f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$.
  • Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
  • Der Punkt $(2|10)$ liegt also nicht auf dem Graphen.

Lineare Gleichungen und ihre Darstellung als Gerade

Aufgabe 6: Funktionen zeichnen

Zeichne die folgenden drei Funktionen in ein Koordinatensystem.

a) $f(x) = 4x + 1$

b) $g(x) = 0,5x - 2,5$

c) $h(x) = -3x + 1$

Tipp

Für $f(x) = mx + n$ ist $n$ der $y$-Achsenabschnitt und $m$ die Steigung.

Lösung

Mit den Reglern kannst du die Werte für die Steigung (m) und den y-Achsenabschnitt (b) ändern und so dein Ergebnis überprüfen.

Aufgabe 7: Finde Paare

Ordne zu!

Mit einem Klick auf die Gerade, wird die Abbildung vergrößert. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

Tipp

Nicht vergessen: Für $f(x) = mx + n$ ist $n$ der $y$-Achsenabschnitt und $m$ die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des $y$-Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?

Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen

Aufgabe 8: Bestimme den Schnittpunkt

Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert und den y-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden (zunächst anhand deiner Skizze im Heft und überprüfe anschließend diese Werte rechnerisch).

Tipp 1

Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne eine Gerade mit Hilfe der Steigung. Nun hast du zwei Punkte, die auf der Geraden liegen (den y-Achsenabschnitt und einen Punkt auf dem Steigungsdreieck). Verbinde diesen beiden Punkte und du erhälst die Gerade.

Tipp 2

Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.

a) Gegeben sind die beiden Geraden $f(x)=2x+4$ und $g(x)=3x$.

Lösung

Der Schnittpunkt liegt bei x= 4 und y = 12. Wie komme ich zu meiner Lösung? Ich setze die beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ gleich. Dann erhalte ich 2x+4=3x. Nun löse ich nach x auf. Ich erhalte den Wert x = 4. Jetzt kann ich den Wert x=4 in eine der beiden Gleichungen einsetzen und den y-Wert berechnen.

b) Gegeben sind die beiden Geraden $f(x)=4x-5$ und $g(x)=-3x+9$.

Lösung

Der Schnittpunkt liegt bei x= 2 und y = 3. Wie komme ich zu meiner Lösung? Ich setze die beiden Funktionen $g(x)$ und $h(x)$ gleich. Dann erhalte ich $4x-5=-3x+9$.Dann löse ich nach x auf. Ich erhalte den Wert x = 2. Jetzt kann ich den Wert x=2 in eine der beiden Gleichungen einsetzen und den y-Wert berechnen

c) Gegeben sind die beiden Geraden $f(x)= \frac{3}{2}x-3$ und $g(x)= \frac{1}{2}x+17$.

Lösung

Der Schnittpunkt liegt bei x= 20 und y = 27. Wie komme ich zu meiner Lösung? Ich setze die beiden Funktionen $f(x)$ und $h(x)$ gleich. Dann erhalte ich $\frac{3}{2}x-3=\frac{1}{2}x+17$. Nun löse ich nach x auf. Ich erhalte den Wert x = 20. Jetzt kann ich den Wert x=20 in eine der beiden Gleichungen einsetzen und den y-Wert berechnen.

Anwendungsaufgaben

Aufgabe 9: Was man nicht alles für Freundinnen tut.

Susanne ist 13 Jahre alt und geht in die 7. Klasse. Heute ist sie um 13.45 Uhr von der Schule nach Hause gekommen. Während des Mittagessens erzählt sie 30 Minuten lang, was sie in der Schule erlebt hat. Bevor sie zum Sport geht, soll sie noch ihre Hausaufgaben erledigen. Jedoch fängt sie nicht sofort an, sondern spielt erst noch 60 Minuten. Dann beginnt sie jedoch mit ihren Hausaufgaben.
Dafür muss sie noch ein Kapitel in einem Roman lesen. Als sie nach zehn Minuten die fünfte Seite fertig gelesen hat, schaut sie auf ihr Handy. Susanne muss sich in 26 Minuten für ihr Fußball-Training fertig machen. Das Kapitel hat insgesamt 20 Seiten. Susanne muss also noch 15 Seiten lesen. Gleichzeitig sieht sie eine Nachricht von ihrer Freundin Marie, die schreibt: "Hey, hast du Deutsch schon fertig? Kannst du mir das beim Sport zusammenfassen?"

Sollte Susanne Marie versprechen, das Kapitel beim Fußball zu erklären?

Tipp

Überlege welche Zeitangaben für die Lösung der Aufgabe notwendig sind.

Tipp

Trage die relvanten Informationen als Punkte in ein Koordinatensystem.

Tipp

Du kannst davon ausgehen, dass Susanne in gleichbleibender und damit linearer Geschwindigkeit weiterlesen kann.

Lösung

Es gibt verschiedene Lösungsideen. Wir zeigen dir zwei verschiedene Lösungen (algebraisch und graphisch) auf. Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Wir gehen davon aus, dass Marie mit gleichbleibender Geschwindigkeit also linear liest.

Algebraische Lösung

Algebraische Lösung:

Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits fünf Seiten gelesen. Sie liest mit einer Geschwindigkeit von fünf Seiten pro zehn Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass $x$ die Einheit $\frac{Seiten}{Minuten}$ hat.
Also lautet unsere Gleichung:
$f(x)=\frac{1}{2}x$

Wir wollen wissen, wann Susanne die restlichen 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für $f(x)=15$ (Seiten) ein.
$15=\frac{1}{2}x~~~| \cdot 2$
$\Leftrightarrow x=30$

Also braucht Susanne noch $30$ Minuten. Wenn sie mit der gleichen Geschwindigkeit weiterliest, wird sie das ganze Kapitel nicht mehr rechtzeitig beenden können und sollte es daher nicht versprechen.

Graphische Lösung

Graphische Lösung:

Blaue Gerade: Maries gelesene Seiten in Abhängigkeit von der Zeit

Wir legen fest, dass Marie die Nachricht zum Zeitpunkt $0$ liest. Zu diesem Zeitpunkt hat sie bereits 5 Seiten gelesen. Also erhalten wir als ersten Punkt für unsere Gerade $P(0|5)$. Marie liest fünf Seiten pro zehn Minuten. Damit ergibt sich die Steigung der Geraden durch $m=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$. Für je zwei Schritte in x-Richtung zeichnen wir also einen Schritt in y-Richtung. Wir erhalten obige Gerade. Insgesamt müssen 20 Seiten gelesen werden. Dadurch ergibt sich die obige gestrichelte Linie und somit der Schnittpunkt $A (20|30)$. Also braucht Susanne noch $30$ Minuten, um das Kapitel zu beenden.

Wenn sie mit der gleichen Geschwindigkeit weiterliest, wird sie das ganze Kapitel nicht mehr rechtzeitig beenden können und sollte es daher nicht versprechen.

Aufgabe 10: Wasser für die Katze

Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren einwöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, damit die Katzen jedoch im heißen und trockenen Sommer immer Wasser finden können, wollen die beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind.

In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen $8l$ Wasser und er ist nach $30$ Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen $6l$ und er ist schon nach $10$ Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von $500ml$. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?

Tipp

Ein mögliches Vorgehen

Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Hast du schon alle notwendigen Infos gegeben?

Tipp

Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an.

Tipp

Um den täglichen Wasserbedarf einer Katze herauszufinden, kann dir eine kurze Internetrecherche helfen.

Lösung

Zwischenergebnis für das Finden der Punkte

Die Punkte für den Wasserspender A sind $(0|8)$ und $(30|0)$. Die Punkte für den Wasserspender B sind $(0|6)$ und $(10|0)$. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein.

Lösungsvorschlag

Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Damit die Katzen auf jeden Fall ausreichend viel Wasser haben, nehmen wir an, dass Findus und Sabbel zusammen $500ml=0,5l$ benötigen.

Wasserspender A:
Wir haben die Punkte $(0|8)$ und $(30|0)$ und die allgemeine Funktionsgleichung $f(x) = m\cdot x+b$. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

$(0|8)$: $f(0) = m\cdot 0+b = 8$, wodurch $b=8$ folgt.

$(30|0)$: $f(30) = m\cdot 30+b=0$. Da wir schon wissen, dass $b=8$ ist, folgt hieraus, dass $m=-\frac{8}{30}=-\frac{4}{15}$ ist.

Setzt man nun $m$ und $b$ in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir $f(x) = -\frac{4}{15} \cdot x + 8$.

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also $m=-\frac{4}{15}=$. Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab.

Wasserspender B:
Wir haben die Punkte $(0|6)$ und $(10|0)$ und die allgemeine Funktionsgleichung $g(x) = n\cdot x+a$. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

$(0|6)$: $g(0) = n\cdot 0+a = 6$, wodurch $a=6$ folgt.

$(10|0)$: $g(10) = n\cdot 10+a=0$. Da wir schon wissen, dass $a=6$ ist, folgt hieraus, dass $n=-\frac{3}{5}$ ist.

Setzt man nun $n$ und $a$ in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir $g(x) = -\frac{3}{5} \cdot x + 6$

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist $n=-\frac{3}{5}$. Wasserspender B gibt also jeden Tag $600ml$ und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab.

Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten $2 \cdot 10$€ also $5$€ weniger als ein Wasserspender B ($25$€).

Abschließende Antwort

Zwar könnte ein Wasserspender der Sorte B für die beiden Katzen eine Woche genug Wasser bereitstellen, aber zwei Wasserspender der Sorte A sind zusammen immer noch preisweiter und können gemeinsam immer noch genügend Wasser für die beiden Katzen bereitstellen. Claudia und Marc sollten also zwei Wasserspender des Typs A kaufen.

Aufgabe 11: Schulbus

Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet darum, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg.

a) Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

Tipp

Lineare Funktionen haben immer die Form $f(x)= mx + n$. Hierbei ist $m$ die Steigung und $n$ der $y$-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.

Tipp

Überlege dir, dass du zwei Funktionen aufstellen musst: Eine Funktion stellt den Abstand zum Haus für Isolde dar und eine den Abstand ihrer Mutter. Für Isolde gilt, dass sie 11 km entfernt ist. Dies stellt den y-Achsenabschnitt dar. Die Distanz zu ihrem Haus verringert sich um 75m pro Minute. Die ist die (negative) Steigung in Isoldes Funktion, denn sie kommt den Haus ja näher und der Abstand von 11.000 m verringert sich. Mit dem gleichen Verfahren erkennst du auch die Funktion für ihre Mutter. Nur sie startet bei 0 und die Steigung ist positiv. Achte jedoch auf die Einheiten, denn vielleicht musst du umrechnen.

Lösung

Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion $f(x)=ax+b$ soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion $g(x)=cx+d$ die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben.
Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift $f(x)=-75x+11000$.
Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift $g(x)=1200x$.

b) Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

Tipp

Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?

Lösung

Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen.
$\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\ 11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\ \frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}$.

Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.

Wie geht es weiter?

Genug zum Thema "lineare Funktionen" wiederholt? Dann schau auf deinen Diagnosetest und wähle eines der anderen beiden Themen aus.

In jedem Kapitel gibt es sowohl Aufgaben zum Üben von Inhalten, bei denen du ein Minus oder einen Kreis bekommen hast als auch Knobelaufgaben für die Themen, die du schon gut konntest.

Quadratische Funktionen

Terme und Gleichungen

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