Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Testseite: Unterschied zwischen den Versionen

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Hier können erste (fertige) Aufgaben eingefügt werden.


===Verhalten im Unendlichen und nahe Null===


{{Box| Merke |
===Themen===
Das '''Verhalten einer Funktion <math>f</math> im Unendlichen''' beschreibt, wie sich der Funktionswert <math>f(x)</math> verhält, wenn <math>x</math> gegen <math>\pm\infty</math> geht, also für sehr große positive und negative Werte von <math>x</math>. Bei ganzrationalen Funktionen der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von <math>x</math> anschaut. Betrachte also <math>g(x)=a_n x^n</math>. Im Unendlichen verhalten sich <math>f</math> und <math>g</math> gleich, du musst also nur das Verhalten im Unendlichen von <math>g</math> untersuchen. Es gibt vier Fälle, die du dabei unterscheiden musst:
| Merksatz}}


{| class="wikitable center"
*Monotonie
!<math>n</math> gerade
*Extrema
!<math>n</math> ungerade
*Wendepunkte
|-
*Krümmung
|<math>n</math> gerade und <math>a_n>0</math>:
*Verhalten im Unendlichen
*„Umgekehrte“ Kurvendiskussion


<math>f</math> verläuft "von links oben nach rechts oben",
Im Wesentlichen sollen ganzrationale Funktionen betrachtet werden; für den LK sollten auch Funktionsuntersuchungen zu Funktionenscharen* angeboten werden.


<math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>
===Allgemeine Vorgaben===
|<math>n</math> ungerade und <math>a_n>0</math>:


<math>f</math> verläuft "von links unten nach rechts oben",
*Schülerinnen und Schüler duzen
*Jedes Lernpfadkapitel beginnt mit einem Informationskästchen  (allgemeine Informationen: Ziel, Hinweise zur Schwierigkeitsstufe)
*Drei Schwierigkeitsstufen für die Aufgaben (farbliche Kennzeichnung der Titel, Stufe I: gelb, Stufe II: blau, Stufe III: grün)
*Jedes Lernpfadkapitel hat ein Inhaltsverzeichnis. Ab vier Überschriften wird dieses automatisch erstellt. Bei weniger wird eines durch einen Befehl generiert.
*Für Funktionen: f(x) =, g(x) = etc. statt y =
*Teilaufgaben mit a), b) etc. kennzeichnen und in die Vorlage für die Aufgabe einbinden.
*am besten Bruchrechnung einbringen (z.B. in Funktionstermen)
*Tipps können gestaffelt sein, "Tipp 1", "Tipp 2" etc.


<math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math>,
===Haben wir uns überlegt/ Diskutieren wir drüber===
<math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>
|-
|<math>n</math> gerade und <math>a_n<0</math>:


<math>f</math> verläuft "von links unten nach rechts unten",
*pro Themenpunkt so 1-2 Aufgaben? Könnten sonst schnell zu viele werden.
 
*In den einzelnen Aufgaben differenzieren nach Schwierigkeitsgrad (Sollen dann nicht alle bearbeitet werden sondern Alternativen sein.).
<math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>
*Formeln können über einen speziellen Befehl eingefügt werden
|<math>n</math> ungerade und <math>a_n<0</math>:
*nicht zu viele Applets einbinden, manchmal sehr hohe Ratewahrscheinlichkeit, das besser vermeiden (macht auch den Lernpfad unübersichtlich finde ich); also nur Applets einfügen, wo sie auch einen Mehrwert bringen
 
*"z.T. Erläuterungen statt Tipps" (steht im Feedback zu einem Lernpfad aus dem SS 2019)
<math>f</math> verläuft "von links oben nach rechts unten",
*Es wäre nett, wenn man innerhalb von Applets nicht scrollen muss. (Falls das geht.)
 
*unterscheiden zwischen Lösung und Lösungsvorschlag (bei Lösungsvorschlag beschreiben, woran sie erkennen können, ob ihre Lösung richtig ist)
<math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math>,
<math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>
|}
 
{{Box| Merke |
Das '''Verhalten einer Funktion <math>f</math> nahe Null''' beschreibt, wie sich der Funktionswert <math>f(x)</math> verhält, wenn <math>x</math> gegen Null geht, also für sehr kleine Werte von <math>x</math>. Eine ganzrationale Funktion der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> verhält sich nahe Null wie die Summe aus dem absoluten Glied <math>a_0</math> und dem Summanden mit der geringsten Potenz von x, die im Funktionsterm auftaucht.
| Merksatz}}
 
{{Box| Beispiel 1|
<math>f(x)=5x^2-3x+4</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=5x^2</math>. Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da <math>n=2</math> eine gerade Zahl ist und <math>a_n=5>0</math>. Nahe Null verhält sich <math>f</math> wie <math>h(x)=-3x+4</math>. Wenn man sich ein kleines Intervall um <math>x=0</math> anschaut, sieht der Graph von <math>f</math> dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von <math>f</math> ist daher auch 4.
| Beispiel}}
 
{{Box| Beispiel 2|
<math>f(x)=x^5+4x^2-7</math> verhält sich im Unendlichen wie  <math>g(x)=x^5</math>. Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da <math>n=5</math>  eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=1>0</math> . Nahe Null verhält sich <math>f</math> wie <math>h(x)=4x^2-7</math>, also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (und y-Achsenabschnitt) bei <math>(0,-7)</math>.
| Beispiel}}
 
{{Box | Aufgabe 1: Quiz zum Verhalten im Unendlichen |
Öffne das Quiz im Vollbildmodus und wähle die jeweils richtigen Antworten aus. Es können eine oder mehrere Antworten richtig sein. Es kann helfen, dir Notizen zu machen.
{{LearningApp|width:80%|height:1000px|app=10633191}}
| Arbeitsmethode}}
 
{{Box | Aufgabe 2*: Beschreibe das Verhalten |
Beschreibe in deinem Heft das Verhalten der nachfolgenden Funktionen und Funktionenscharen im Unendlichen. Gehe dazu vor wie in der Merkbox oben.
 
'''a)''' <math>f(x)=x^2-\frac{4}{3}x^2-3x+9</math>
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass du manchmal den Funktionsterm erst zusammenfassen musst.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>f</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=-\frac{1}{3}x^2</math>. Da <math>n=2</math> eine gerade Zahl ist und <math>a_n=-\frac{1}{3}<0</math>, geht <math>f(x)\rightarrow-\infty</math> für <math>x\rightarrow \pm\infty</math>. Der Graph von <math>f</math> verläuft also von links unten nach rechts unten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
 
'''b)''' <math>f_a(x)=-7x^5+ax^3</math>
{{Lösung versteckt|1=Gehe bei Funktionenscharen genau so vor wie bei normalen Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>f_a</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=-7x^5</math>. Da <math>n=5</math> eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=-7<0</math>, geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow-\infty</math> für <math>x\rightarrow \infty</math>. Der Graph von <math>f</math> verläuft also von links oben nach rechts unten.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
 
'''c)''' <math>f_a(x)=-ax^3+2x^2+3x-\frac{4}{7}</math> mit <math>a<0</math>
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir zunächst, welches Vorzeichen <math>a_n</math> hat, wenn <math>a</math> negativ ist. |2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>f_a</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g_a(x)=-ax^3</math>. Da <math>n=3</math> eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=-a>0</math>, da <math>a<0</math> ist, geht <math>f(x)\rightarrow-\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow\infty</math> für <math>x\rightarrow \infty</math>. Der Graph von <math>f</math> verläuft also von links unten nach rechts oben.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
| Arbeitsmethode}}

Aktuelle Version vom 14. April 2020, 17:48 Uhr


Themen

  • Monotonie
  • Extrema
  • Wendepunkte
  • Krümmung
  • Verhalten im Unendlichen
  • „Umgekehrte“ Kurvendiskussion

Im Wesentlichen sollen ganzrationale Funktionen betrachtet werden; für den LK sollten auch Funktionsuntersuchungen zu Funktionenscharen* angeboten werden.

Allgemeine Vorgaben

  • Schülerinnen und Schüler duzen
  • Jedes Lernpfadkapitel beginnt mit einem Informationskästchen (allgemeine Informationen: Ziel, Hinweise zur Schwierigkeitsstufe)
  • Drei Schwierigkeitsstufen für die Aufgaben (farbliche Kennzeichnung der Titel, Stufe I: gelb, Stufe II: blau, Stufe III: grün)
  • Jedes Lernpfadkapitel hat ein Inhaltsverzeichnis. Ab vier Überschriften wird dieses automatisch erstellt. Bei weniger wird eines durch einen Befehl generiert.
  • Für Funktionen: f(x) =, g(x) = etc. statt y =
  • Teilaufgaben mit a), b) etc. kennzeichnen und in die Vorlage für die Aufgabe einbinden.
  • am besten Bruchrechnung einbringen (z.B. in Funktionstermen)
  • Tipps können gestaffelt sein, "Tipp 1", "Tipp 2" etc.

Haben wir uns überlegt/ Diskutieren wir drüber

  • pro Themenpunkt so 1-2 Aufgaben? Könnten sonst schnell zu viele werden.
  • In den einzelnen Aufgaben differenzieren nach Schwierigkeitsgrad (Sollen dann nicht alle bearbeitet werden sondern Alternativen sein.).
  • Formeln können über einen speziellen Befehl eingefügt werden
  • nicht zu viele Applets einbinden, manchmal sehr hohe Ratewahrscheinlichkeit, das besser vermeiden (macht auch den Lernpfad unübersichtlich finde ich); also nur Applets einfügen, wo sie auch einen Mehrwert bringen
  • "z.T. Erläuterungen statt Tipps" (steht im Feedback zu einem Lernpfad aus dem SS 2019)
  • Es wäre nett, wenn man innerhalb von Applets nicht scrollen muss. (Falls das geht.)
  • unterscheiden zwischen Lösung und Lösungsvorschlag (bei Lösungsvorschlag beschreiben, woran sie erkennen können, ob ihre Lösung richtig ist)
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