Benutzer:Carolin WWU-6

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Verhalten im Unendlichen und nahe Null

Merke

Das Verhalten einer Funktion im Unendlichen beschreibt, wie sich der Funktionswert verhält, wenn gegen geht, also für sehr große positive und negative Werte von . Bei ganzrationalen Funktionen der Form kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von anschaut. Betrachte also . Im Unendlichen verhalten sich und gleich, du musst also nur das Verhalten im Unendlichen von untersuchen. Es gibt vier Fälle, die du dabei unterscheiden musst:

gerade ungerade
gerade und :

verläuft "von links oben nach rechts oben",

für

ungerade und :

verläuft "von links unten nach rechts oben",

für , für

gerade und :

verläuft "von links unten nach rechts unten",

für

ungerade und :

verläuft "von links oben nach rechts unten",

für , für


Merke

Das Verhalten einer Funktion nahe Null beschreibt, wie sich der Funktionswert verhält, wenn gegen Null geht, also für sehr kleine Werte von . Eine ganzrationale Funktion der Form verhält sich nahe Null wie die Summe aus dem absoluten Glied und dem Summanden mit der geringsten Potenz von x, die im Funktionsterm auftaucht.


Beispiel 1

verhält sich im Unendlichen wie . Für geht und für geht , da eine gerade Zahl ist und . Nahe Null verhält sich wie . Wenn man sich ein kleines Intervall um anschaut, sieht der Graph von dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von ist daher auch 4.


Beispiel 2

verhält sich im Unendlichen wie . Für geht und für geht , da eine ungerade Zahl ist und . Nahe Null verhält sich wie , also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (und y-Achsenabschnitt) bei .


Aufgabe 1: Quiz zum Verhalten im Unendlichen

Öffne das Quiz im Vollbildmodus und wähle die jeweils richtigen Antworten aus. Es können eine oder mehrere Antworten richtig sein. Es kann helfen, dir Notizen zu machen.


Aufgabe 2*: Beschreibe das Verhalten

Beschreibe in deinem Heft das Verhalten der nachfolgenden Funktionen und Funktionenscharen im Unendlichen. Gehe dazu vor wie in der Merkbox oben.

a)

Beachte, dass du manchmal den Funktionsterm erst zusammenfassen musst.
verhält sich im Unendlichen wie . Da eine gerade Zahl ist und , geht für . Der Graph von verläuft also von links unten nach rechts unten.

b)

Gehe bei Funktionenscharen genau so vor wie bei normalen Funktionen.
verhält sich im Unendlichen wie . Da eine ungerade Zahl ist und , geht für und für . Der Graph von verläuft also von links oben nach rechts unten.

c) mit

Überlege dir zunächst, welches Vorzeichen hat, wenn negativ ist.
verhält sich im Unendlichen wie . Da eine ungerade Zahl ist und , da ist, geht für und für . Der Graph von verläuft also von links unten nach rechts oben.