Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Satz des Pythagoras: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|Übung | {{Box|Übung 4 - LearningApps|Löse die nachfolgenden Learningapps, achte auf die Schreibweise der Lösungen. Diese sollst du bei der Lösung der Aufgaben aus dem Buch beachten.|Üben}} | ||
{{LearningApp|app=pbv0jq6m320|width=100%|height=500px}} | {{LearningApp|app=pbv0jq6m320|width=100%|height=500px}} | ||
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{{Box|Übung | {{Box|Übung 5 - online|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/dreieck/pythagoras.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben | ||
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{{Box|Übung | {{Box|Übung 6|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Gehe dabei schrittweise vor:<br> | ||
1. Schritt: Prüfe, dass das Dreieck rechtwinklig ist.<br> | 1. Schritt: Prüfe, dass das Dreieck rechtwinklig ist.<br> | ||
2. Schritt: Entscheide, welche Seiten die Katheten und welche Seite die Hypotenuse ist.<br> | 2. Schritt: Entscheide, welche Seiten die Katheten und welche Seite die Hypotenuse ist.<br> | ||
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Bestimme nun c mit dem Satz des Pythagoras.|2=Tipp zu Nr. 7c|3=Verbergen}} | Bestimme nun c mit dem Satz des Pythagoras.|2=Tipp zu Nr. 7c|3=Verbergen}} | ||
{{Box|Übung | {{Box|Übung 7 - online|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/dreieck/pythagoras.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben | ||
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===2.4 Umkehrung des Satzes von Pythagoras=== | ===2.4 Umkehrung des Satzes von Pythagoras=== | ||
{{#ev:youtube|AoV_uEr3ldU|800|center}} | {{#ev:youtube|AoV_uEr3ldU|800|center}} | ||
{{Box|1=Übung | {{Box|1=Übung 8: Umkehrung des Satzes von Pythagroas|2=Mit der Umkehrung des Satzes von Pythagoras kannst du prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist:<br> | ||
Prüfe, ob die Summe der Quadrate der kürzeren Seiten genauso groß sind wie das Quadrat der längsten Seite.<br> | Prüfe, ob die Summe der Quadrate der kürzeren Seiten genauso groß sind wie das Quadrat der längsten Seite.<br> | ||
Prüfe also, ob a² + b² = c² gilt (mit a und b kürzere Seiten, c längste Seite).<br> | Prüfe also, ob a² + b² = c² gilt (mit a und b kürzere Seiten, c längste Seite).<br> | ||
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===2.5 Besondere Figuren konstruieren mit dem Satz des Pythagoras=== | ===2.5 Besondere Figuren konstruieren mit dem Satz des Pythagoras=== | ||
{{Box|1=Übung | {{Box|1=Übung 9: Besondere Figuren konstruieren mit Pythagoras|2=Konstruiere die "Pythagoras-Schnecke", wie im Buch gezeigt. | ||
* S. 112 Nr. 9 | * S. 112 Nr. 9 | ||
Eine weitere besondere Figur, die mit dem Satz des Pythagoras konstruiert wird, ist der Pythagoras-Baum. Die Konstruktion zeigt das nachfolgende Applet. Erkläre!|3=Üben}} | Eine weitere besondere Figur, die mit dem Satz des Pythagoras konstruiert wird, ist der Pythagoras-Baum. Die Konstruktion zeigt das nachfolgende Applet. Erkläre!|3=Üben}} | ||
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<small>(Appelt von Pöchtrager)</small> | <small>(Appelt von Pöchtrager)</small> | ||
{{Box|1=Übung | {{Box|1=Übung 10: Pythagoreische Zahlen|2=Rechtwinklige Dreiecke mit natürlichen Zahlen als Seitenlängen heißen pythagoreische Zahlen. Ein Beispiel hast du beim 12-Knoten-Seil kennengelernt.<br> | ||
Hier gilt: 3² + 4² = 5² (alle Zahlen sind natürlichen Zahlen).<br> | Hier gilt: 3² + 4² = 5² (alle Zahlen sind natürlichen Zahlen).<br> | ||
Löse Buch | Löse Buch |
Version vom 1. Februar 2022, 06:20 Uhr
SEITE IM AUFBAU!!
1) Rechtwinklige Dreiecke zeichnen mit dem Satz des Thales
2) Satz des Pythagoras
2 Satz des Pythagoras
2.1 12-Knoten-Seil
Prüfe deine Beobachtung mithilfe des nachfolgenden Applets.
Applet von Pöchtrager
Was hat das mit dem Satz des Pythagoras zu tun?
2.2 Satz des Pythagoras
Applet von Pöchtrager
Prüfe, ob diese Aussage in jedem Dreieck gilt:
Applet von Elschenbroich
Überprüfe die Aussage des Satzes von Pythagoras mithilfe des nachfolgenden Applets.
Applet von Pöchtrager
Beweis Nr. 1:
Applet von J. Mil
Beweis Nr. 2:
Applet von B.Lachner
Beweis Nr. 3:
Applet von Pöchtrager
Beweis Nr. 4:
Auch im Lied von Dorfuchs findest du einen Beweis für den Satz des Pythagoras:
2.3 Fehlende Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken berechnen mit dem Satz des Pythagoras
Beispiel 1: Die Katheten sind gegeben und die Hypotenuse ist gesucht.
geg: rechtwinkliges Dreieck mit γ=90°; Katheten: a = 4cm; b = 6cm
ges: Hypotenuse c
c² = a² + b² |
c = |Werte einsetzen
c = |berechnen
(c = diesen Schritt musst du nicht notieren)
c 7,2 [cm]
Beispiel 2: Die Hypotenuse und eine Kathete sind gegeben und die andere Kathete ist gesucht.
geg: rechtwinkliges Dreieck mit γ=90°; Kathete: a = 14cm; Hypotenuse c = 17,5cm
ges: Kathete b
a² + b² = c² |-a²
b² = c² - a² |
b = |Werte einsetzen
b = |berechnen
(b = diesen Schritt musst du nicht notieren)
b = 10,5 [cm]
Hinweis zum Runden: Runde auf so viele Nachkommastellen, wie die Werte in der Aufgabenstellung haben.
Übungen (GeoGebra-Applets von Pöchtrager)
In Aufgabenteil a) ist eine Kathete 4cm lang, von der anderen Kathete kennst du nur das Quadrat (20cm²). Gesucht ist die Hypotenuse x.
x² = 4² + 20 (20 ist schon das Quadrat der zweiten Kathete)
x =
In Aufgabenteil c) sind die Katheten gleich lang, das Quadrat der Hypotenuse ist gegeben.
50 = x² + x²
50 = 2x² |:2
25 = x²
geg: Flächeninhalt A = 24,0 cm²; a = 7,2 cm; = 90°.
Problem: Die Seiten b und c sind gesucht.
Berechne b mithilfe der Flächeninhaltsformel für rechtwinklige Dreiecke: Wenn = 90° ist, dann ist b die Höhe zur Seite a. Daher gilt A = = ab. Stelle diese Gleichung nach b um und berechne so die Länge von b (Lösung: b 6,7 cm).
2.4 Umkehrung des Satzes von Pythagoras
a) a und b sind die kürzeren Seiten, c ist die längste Seite.
a² + b² = c²
8² + 15² = 17²
289 = 289 (w)
2.5 Besondere Figuren konstruieren mit dem Satz des Pythagoras
(Appelt von Pöchtrager)