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SEITE IM AUFBAU!!

1) Rechtwinklige Dreiecke zeichnen mit dem Satz des Thales
2) Satz des Pythagoras

3) Satz des Pythagoras - Anwendungen

Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke. Wenn kein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, musst du die Figur in rechtwinklige Teildreiecke zerlegen. Dann kannst du in diesen Teildreiecken fehlende Seitenlängen mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

3.1 Anwendungen in geometrischen Figuren

Einführungsbeispiel:
Bestimme den Umfang und den Flächeninhalt des rechtwinkligen Trapezes:

Um die Länge der Seite b zu bestimme gehe schrittweise vor:

1. Zerlege die Figur so, dass die gesuchte Seite b eine Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist.

2. Überlege, ob die Seite eine Kathete oder die Hypotenuse in diesem Dreieck ist und stelle den Satz des Pythagoras richtig auf.

Die Seite b ist in dem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse. Die Katheten sind h=d=2cm und 7-2 = 5 (cm) lang.

3. Berechne die Länge der Seite b mithilfe des Satzes von Pythagoras. Runde sinnvoll.

2² + 5² = b² | $\surd$
$\sqrt{2^2+5^2}$ = b

5,4 (cm)

\approx

b

4. Löse die Aufgabe: Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Figur.

Umfang u = a + b + c + d = 7 + 5,4 + 2 + 2 = 16,4 (cm)

A =

\tfrac{a+c}{2}\cdot

h =

\tfrac{7+2}{2}\cdot

2 = 9 (cm²)

Dieses Video zeigt die Berechnungen für eine symmetrisches Trapez:

Übung 1

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung im Heft.

S. 114 Nr. 1
S. 114 Nr. 2
S. 115 Nr. 7

Hefteintrag zu Nr. 1:
Beschrifte in der Skizze die zweite Kathete im linken rechtwinkligen Dreieck mit z.B. "a".
linkes Dreieck:
15² + a² = 39²   |-15²
a² = 39² - 15²   | $\surd$
a = $\sqrt{39^2-15^2}$   (Taschenrechner)
a = 36 (cm)
rechtes Dreieck:
a² + x² = 47²
36² + x² = 47²   |-36²
x² = 47² - 36²   | $\surd$
x = $\sqrt{47^2-36^2}$   (Taschenrechner)
x $\approx$ 30,2 (cm)

Löse ebenso die anderen Teilaufgaben.

Übung 2

Übertrage die Skizze in dein Heft. Teile die Figuren in rechtwinklige Teildreiecke und berechne dann die fehlenden Seitenlängen.

S. 114 Nr. 3
S. 114 Nr. 4
S. 114 Nr. 5
S. 122 Nr. 4b

Teile die Figuren jeweils in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck ein. Berechne dann mit Pythagoras die fehlenden Seitenlängen.

Teile die Figuren in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck ein.

Für die Berechnung des Flächeninhaltes wiederhole die Flächeninhaltsformeln (hinten im Schulbegleiter).

Die Figuren sind jeweils Trapeze. Wiederhole die Flächeninhaltsformel für das Trapez (Schulbegleiter).

In Aufgabenteil b) handelt es sich um ein gleichschenkliges Trapez, da die benachbarten Winkel gleich groß sind. Bestimme die Höhe h mithilfe von Pythagoras.

Zerlege die Figur in zwei rechtwinklige Dreiecke, indem du die Diagonale von links oben nach rechts unten zeichnest. Berechne dann zunächst die Länge der Diagonale und damit die Länge der fehlenden Seite.

Hilfsvideos zu den Aufgaben S. 114 Nr. 5 und S. 122 Nr. 4:

Übung 3 (online)

Bearbeite die nachfolgenden Übungen. Lade einen Screenshot deiner Lösungen im Aufgaben-Modul hoch.

Übung 4

Übertrage die Figuren in dein Heft.Löse die Aufgaben ausführlich im Heft und prüfe deine Ergebnisse auf der Seite Aufgabenfuchs. Aufgaben:

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3.2 Anwendungen im Raum

Um rechtwinklige Teildreiecke in Körpern zu erkennen, ist es hilfreich, ein Kantenmodell dieses Körpers zu erstellen. Dies kannst du basteln mit Holzspießen und Erbsen oder Weingummi.
Kantenmodell eines Würfels:

Kantenmodell eines Quaders:

Kantenmodell einer quadratischen Pyramide:

Übung 5

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Suche rechtwinklige Teildreiecke und skizziere und beschrifte sie im Heft.

S. 116 Nr. 15
S. 116 Nr. 16

Hinweise zu Pythagoras im Würfel:

Hilfsdreiecke in der Pyramide

Bastle mit den Holzstäben und den Weingummi ein Kantenmodell einer quadratischen Pyramide. Ergänze auch Holzspieße für die Teildreiecke wie im Bild. Wo findest du rechtwinklige Dreiecke?

Hilfsdreieck 1: halber Parallelschnitt
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite $\tfrac{a}{2}$ und die Höhe der Pyramide h_K. Die Hypotenuse ist die Höhe der Seitenfläche h_S.

(

\tfrac{a}{2}

)² + h_K² =h_S².

Hilfsdreieck 2: halber Diagonalschnitt
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Diagonale der Grundseite $\tfrac{d}{2}$ und die Höhe der Pyramide h_K. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .

(

\tfrac{d}{2}

)² + h_K² =s².

Hilfsdreieck 3: halber Seitenfläche
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite $\tfrac{a}{2}$ und die Höhe der Seitenfläche h_S. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .

(

\tfrac{a}{2}

)² + h_S² =s².

Schau das Video zu Pythagoras in der quadratischen Pyramide an. Dies hilft dir bei der Bearbeitung der Übung 6.

Übung 6

Übertrage die Schrägbilder der Körper in dein Heft. Zeichne dann passende Teildreiecke und beschrifte sie.Löse die Aufgaben ausführlich im Heft und prüfe deine Ergebnisse auf der Seite Aufgabenfuchs. Aufgaben:

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Teildreieck zur Pyramide:

Teildreieck zum Quader:

Teildreieck zum Kegel:

Teildreieck:

Teildreiecke:

3.3 Anwendungen in Sachsituationen

Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagors lösen

Um Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras zu lösen gehe schrittweise vor:

Notiere die gegebenen und die gesuchte Größe.
Erstelle eine Skizze zur Aufgabe.
Prüfe, ob ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt.
Zeichne gegebenenfalls Hilfslinien, mit denen du rechtwinklige Dreiecke erzeugst.
Wende den Satz des Pythagors im rechtwinkligen Dreieck an.
Denke an den passenden Antwortsatz

Beispiel:

Ein Baum ist bei einem Sturm umgeknickt. Der Teil des Stammes, der noch stehengeblieben ist, ist 5,80 m hoch. Die Baumkrone berührt in einem Abstand von 6,50 m vom Stamm den Boden.

Wie hoch war der Baum?

geg: Höhe Baumstamm 5,80m; Entfernung Baumkrone zum Baumstamm 6,50m
ges: Baumhöhe

Skizze (rechtwinkliges Dreieck)

Das Dreieck ist rechtwinklig, gegeben sind die beiden Katheten, gesucht ist die Hypotenuse x.
5,8² + 6,5² = x² | $\surd$
$\sqrt{5,8^2+6,5^2}$ = x
8,71 $\approx$ x
Der abgeknickte Teil des Baumes ist ca. 8,70 m lang.
5,80 + 8,70 = 14,50
Der Baum war also ca. 14,50 m hoch.

Übung 7

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Beachte die nötigen Schritte bei der Lösung von Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras.

S. 118 Nr. 2
S. 118 Nr. 3
S. 119 Nr. 9
S. 120 Nr. 16

a) Gesucht ist die Flächendiagonale e.

b) Gesucht ist die Raumdiagonale d.

Übung 8 (online)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

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Und löse die Aufgabe aus dem GeoGebra-Applet: Pythagoras in Münster.

Applet von M. Engel

Eine Skizze zur Aufgabe könnte so aussehen:
Wo ist das rechtwinklige Dreieck?

Beschrifte und wende den Satz des Pythagoras an.

Das rechtwinklige Dreieck muss wie folgt beschriftet werden:

Die Hälfte der Seillänge berechnest du dann mit dem Satz des Pythagoras:
1,5² + 7,5² = x² usw.(runde auf zwei Nachkommastellen, also auf cm genau).

Das gesamte Seil muss also 15,3 m lang sein.

Übung 9

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Beachte die nötigen Schritte bei der Lösung von Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras.

S. 118 Nr. 4
S. 118 Nr. 6
S. 120 Nr. 17
S. 120 Nr. 18
S. 124 Nr. 15

Übung 10

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Beachte die nötigen Schritte bei der Lösung von Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras.

S. 118 Nr. 5
S. 119 Nr. 10
S. 120 Nr. 19
S. 120 Nr. 21
S. 122 Nr. 9

Vielfältiges zusätzliches Übungsmaterial (mit Lösungen)

Vielfältiges zusätzliches Übungsmaterial mit Lösungen findest du auf der Seite Selbstlernmaterial von T. Unkelbach. Srcolle ein wenig nach unten, dort findest du Karteikartenaufgaben in leicht, mittel und schwer. Wähle aus.

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