Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen

SEITE IM AUFBAU!

Satz des Pythagoras - Startseite

1) Rechtwinklige Dreiecke zeichnen mit dem Satz des Thales
2) Satz des Pythagoras

3) Anwendungen

3) Satz des Pythagoras - Anwendungen

Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke. Wenn kein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, musst du die Figur in rechtwinklige Teildreiecke zerlegen. Dann kannst du in diesen Teildreiecken fehlende Seitenlängen mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

3.1 Anwendungen in geometrischen Figuren

Einführungsbeispiel:
Bestimme den Umfang und den Flächeninhalt des rechtwinkligen Trapezes:

Um die Länge der Seite b zu bestimme gehe schrittweise vor:
1. Zerlege die Figur so, dass die gesuchte Seite b eine Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist. 2. Überlege, ob die Seite eine Kathete oder die Hypotenuse in diesem Dreieck ist und stelle den Satz des Pythagoras richtig auf. 3. Berechne die Länge der Seite b durch Umstellen der Formel. Runde sinnvoll.

Übung 1

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung im Heft.

• S. 114 Nr. 1
• S. 114 Nr. 2
• S. 115 Nr. 7

Hefteintrag zu Nr. 1:
Beschrifte in der Skizze die zweite Kathete im linken rechtwinkligen Dreieck mit z.B. "a".
linkes Dreieck:
15² + a² = 39²   |-15²
a² = 39² - 15²   |$\surd$
a = $\sqrt{39^2-15^2}$   (Taschenrechner)
a = 36 (cm)
rechtes Dreieck:
a² + x² = 47²
36² + x² = 47²   |-36²
x² = 47² - 36²   |$\surd$
x = $\sqrt{47^2-36^2}$   (Taschenrechner)
x $\approx$30,2 (cm)

Löse ebenso die anderen Teilaufgaben.

Übung 2

Übertrage die Skizze in dein Heft. Teile die Figuren in rechtwinklige Teildreiecke und berechne dann die fehlenden Seitenlängen.

• S. 114 Nr. 3
• S. 114 Nr. 4
• S. 114 Nr. 5
• S. 122 Nr. 4

Teile die Figuren jeweils in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck ein. Berechne dann mit Pythagoras die fehlenden Seitenlängen.

Teile die Figuren in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck ein.

Für die Berechnung des Flächeninhaltes wiederhole die Flächeninhaltsformeln (hinten im Schulbegleiter).

Die Figuren sind jeweils Trapeze. Wiederhole die Flächeninhaltsformel für das Trapez (Schulbegleiter).

In Aufgabenteil b) handelt es sich um ein gleichschenkliges Trapez, da die benachbarten Winkel gleich groß sind. Bestimme die Höhe h mithilfe von Pythagoras.

Übung 3 (online)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 45
• 46

3.2 Anwendungen im Raum

Um rechtwinklige Teildreiecke in Körpern zu erkennen, ist es hilfreich, ein Kantenmodell dieses Körpers zu erstellen. Dies kannst du basteln mit Holzspießen und Erbsen oder Weingummi.
Kantenmodell eines Würfels:

Kantenmodell eines Quaders:

Kantenmodell einer quadratischen Pyramide:

Übung 4

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Suche rechtwinklige Teildreiecke und zeichne ein Skizze.

• S. 116 Nr. 15
• S. 116 Nr. 16
• S. 116 Nr. 17

3.3 Anwendungen in Sachsituationen

Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagors lösen

Um Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras zu lösen gehe schrittweise vor:

• Notiere die gegebenen und die gesuchte Größe.
• Erstelle eine Skizze zur Aufgabe.
• Prüfe, ob ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt.
• Zeichne gegebenenfalls Hilfslinien, mit denen du rechtwinklige Dreiecke erzeugst.
• Wende den Satz des Pythagors im rechtwinkligen Dreieck an.
• Denke an den passenden Antwortsatz

Beispiel:

Ein Baum ist bei einem Sturm umgeknickt. Der Teil des Stammes, der noch stehengeblieben ist, ist 5,80 m hoch. Die Baumkrone berührt in einem Abstand von 6,50 m vom Stamm den Boden.

Wie hoch war der Baum?

geg: Höhe Baumstamm 5,80m; Entfernung Baumkrone zum Baumstamm 6,50m
ges: Baumhöhe

Skizze (rechtwinkliges Dreieck)

Das Dreieck ist rechtwinklig, gegeben sind die beiden Katheten, gesucht ist die Hypotenuse x.
5,8² + 6,5² = x²   |$\surd$
$\sqrt{5,8^2+6,5^2}$ = x
8,71 $\approx$ x
Der abgeknickte Teil des Baumes ist ca. 8,70 m lang.
5,80 + 8,70 = 14,50
Der Baum war also ca. 14,50 m hoch.

Übung 5

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Beachte die nötigen Schritte bei der Lösung von Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras.

• S. 118 Nr. 2
• S. 118 Nr. 3
• S. 119 Nr. 9
• S. 120 Nr. 16

a) Gesucht ist die Flächendiagonale e.

b) Gesucht ist die Raumdiagonale d.

Übung 6 (online)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 29
• 30
• 31
• 32
• 33
• 34
• 35
• 39
• 40

Und löse die Aufgabe aus dem GeoGebra-Applet: Pythagoras in Münster.

Applet von M. Engel

Übung 7

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Beachte die nötigen Schritte bei der Lösung von Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras.

• S. 118 Nr. 4
• S. 118 Nr. 6
• S. 120 Nr. 17
• S. 120 Nr. 18
• S. 124 Nr. 15

Übung 8

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Beachte die nötigen Schritte bei der Lösung von Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras.

• S. 118 Nr. 5
• S. 119 Nr. 10
• S. 120 Nr. 19
• S. 120 Nr. 21
• S. 122 Nr. 9

Vielfältiges zusätzliches Übungsmaterial (mit Lösungen)

Vielfältiges zusätzliches Übungsmaterial mit Lösungen findest du auf der Seite Selbstlernmaterial von T. Unkelbach. Srcolle ein wenig nach unten, dort findest du Karteikartenaufgaben in leicht, mittel und schwer. Wähle aus.