Benutzer:Buss-Haskert/AFR/Lineare Gleichungssysteme: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Navigation|[[Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme|0) Vorwissen]]<br>[[Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme|1) Lineare Gleichungen mit zwei Variablen]]<br>[[Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme|2) Lineare Gleichungssysteme]]<br>[[Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen| 3) Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen]]<br>[[Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen| 4) Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen]]<br>[[Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Modellieren| 5) Modellieren]]<br>[[Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Checkliste|6) Checkliste]]}}
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/AFR/Lineare Gleichungssysteme|0) Vorwissen]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/AFR/Lineare Gleichungssysteme|1) Lineare Gleichungen mit zwei Variablen]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/AFR/Lineare Gleichungssysteme|2) Lineare Gleichungssysteme]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/AFR/Lineare Gleichungssysteme/Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen| 3) Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen]]}}


{{Box|Lernpfad Lineare Gleichungssysteme - Alles rund um Freizeit|In diesem Lernpfad lernst du, was lineare Gleichungssysteme (LGS) sind und welche Verfahren zur Lösung es gibt. Zu den verschiedenen Lösungsverfahren wirst du selbst Videos erstellen. Zudem wirst du Anwendungssituationen zu linearen Gleichungssystemen kennenlernen.
{{Box|Lernpfad Lineare Gleichungssysteme - Alles rund um Freizeit|In diesem Lernpfad lernst du, was lineare Gleichungssysteme (LGS) sind und welche Verfahren zur Lösung es gibt. Zu den verschiedenen Lösungsverfahren wirst du selbst Videos erstellen. Zudem wirst du Anwendungssituationen zu linearen Gleichungssystemen kennenlernen.
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Die Übungen im Buch beziehen sich auf das Schülerbuch "Mathematik heute 9" des Schroedel-Verlages.|Lernpfad}}
Die Übungen im Buch beziehen sich auf das Schülerbuch "Mathematik heute 9" des Schroedel-Verlages.|Lernpfad}}


Diese Seite wurde kopiert aus dem Lernpfad der Herta-Lebenstein-Realschule, erstellt von C. Buß-Haskert [https://projekte.zum.de/wiki/Buss-Haskert/Lineare_Gleichungssysteme] unter der CC BY SA Linzenz. Herzlichen Dank!


===0) Vorwissen===
===0) Vorwissen===




Bearbeite die Aufgaben in der Tabelle: (Buch: Schnittpunkt Mathematik - Differenzierende Ausgabe 9, Klett)




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! style="width:40%;" |Ich kann ...
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!Übungen online
!Übungen online
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| - mit Fachbegriffen umgehen.
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|{{LearningApp|app=pqkn3ntxn20|width=100%|height=200px}}
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und Sachsituationen aufstellen.
und Sachsituationen aufstellen.


|{{LearningApp|app=p6r74aay220|width=100%|height=70px}}{{LearningApp|app=ppkrnf4tv20|width=100%|height=70px}} {{LearningApp|app=p0w62mo0j20|width=100%|height=70px}}
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| - Werte von Termen berechnen.
| - Werte von Termen berechnen.


|{{LearningApp|app=p0zbh25na19|width=100%|height=200px}}
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| -Terme (mit Klammern) vereinfachen
| -Terme (mit Klammern) vereinfachen


|{{LearningApp|app=pd98orsfk19|width=100%|height=100px}}{{LearningApp|app=pfg7e1kwn19|width=100%|height=100px}}
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| -Lineare Gleichungen lösen.
| -Lineare Gleichungen lösen.


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| - eine Wertetabelle zu einer linearen Funktion aufstellen
| - eine Wertetabelle zu einer linearen Funktion aufstellen


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|{{LearningApp|app=p46y09b6n19|width=100%|height=200px}}
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| -Gleichung und Graphen linearer Funktionen einander zuordnen.
| -Gleichung und Graphen linearer Funktionen einander zuordnen.


|{{LearningApp|app=p2rwidw3t20|width=100%|height=200px}}{{LearningApp|app=ppn4q2oe320|width=100%|height=200px}}
|{{LearningApp|app=p2rwidw3t20|width=100%|height=200px}}{{LearningApp|app=ppn4q2oe320|width=100%|height=200px}}
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{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Lineare_Gleichungen_mit_zwei_Variablen_1.png]] <br>Alle Punkte (x<math>\mid</math>y) liegen auf der Geraden mit der Gleichung y= -<math>\frac{1}{2}</math>x+2,5.|2=Lösung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Lineare_Gleichungen_mit_zwei_Variablen_1.png]] <br>Alle Punkte (x<math>\mid</math>y) liegen auf der Geraden mit der Gleichung y= -<math>\frac{1}{2}</math>x+2,5.|2=Lösung|3=Verbergen}}
GeoGebra-Applet zur Einsteigsaufgabe: https://www.geogebra.org/m/wwaferxp
<ggb_applet id="wwaferxp" width="1294" height="788" border="888888" />
von C. Buß-Haskert
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{{Box|1=Lineare Gleichungen mit zwei Variablen|2=Die Gleichung für die Situation oben lautet x + 2y = 5. <br>
{{Box|1=Lineare Gleichungen mit zwei Variablen|2=Die Gleichung für die Situation oben lautet x + 2y = 5. <br>
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{{Box|Übung 4 Bunte Mischung|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Rechnungen ausführlich im Heft (Schreibweisen beachten!).
{{Box|Übung 4 (Buch)|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Rechnungen ausführlich im Heft (Schreibweisen beachten!).
*S. 11, Nr. 2
*S. 43, Nr. 2
*S. 11, Nr. 3
*S. 43, Nr. 3
*S. 11, Nr. 5
*S. 43, Nr. 4
*S. 11, Nr. 7
*S. 43, Nr. 5
*S. 11, Nr. 9. |Üben}}  
|Üben}}
 
 
{{Lösung versteckt|1=Setze die Zahlenpaare passend in die Gleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt (Punktprobe).<br>
Beispiel:<br>
(1&#124;-6) einsetzen in a):<br>
1 + (-6) = 8<br>
1 - 6 = 8<br>
-5 = 8 (f)<br>
Diese Aussage ist falsch, also ist das Zahlenpaar keine Lösung der Gleichung.|2=Tipp zu Nr. 2|3=Verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Werte passend in die Gleichung ein und berechne die fehlende Zahl des Zahlenpaares.<br>
Beispiel:<br>
(-2&#124;___) einsetzen in a):<br>
2·(-2) + y = 6<br>
-4 + y = 6 &nbsp;&nbsp;&#124;+4<br>
y = 10 (f)<br>
Das Zahlenpaar lautet (-2&#124;10)|2=Tipp zu Nr. 3|3=Verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Erinnerung: Graphen linearer Funktionen zeichnen - Video
<br>
{{#ev:youtube|r6YopKFqk0c|800|center}}|2=Video zum Zeichnen von Graphen linearer Funktionen|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Beispiel: Aufgabenteil a)<br>
4x + 2y = 10<br>
1. Gleichung nach y auflösen:<br>
4x + 2y = 10 &nbsp;&nbsp;&#124;-4x<br>
2y = -4x + 10 &nbsp;&nbsp;&#124;:2<br>
y = -2x + 5<br>
2. Graphen zeichen:<br>
y = -2x + 5 schneidet die y-Achse im Punkt P(0&#124;5) und hat die Steigung m = -2. <br>
Zeichne passend. (Hilfe: GeoGebra).
[[Datei:Graph zu y=-2x+5 mit Punkten.png|rahmenlos]]|2=Tipp 1 zu Nr. 4|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Probe durch Rechnung:<br>
(-1&#124;7) ist Lösung der Gleichung 4x + 2y = 10, denn<br>
4·(-1) + 2·7 = 10<br>
-4 + 14 = 10<br>
10 = 10 (w)<br>
Es ergibt sich eine wahre Aussage, also erfüllt das Zahlenpaar die Gleichung.|2=Tipp 2 zu Nr. 4|3=Verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=1. Bedeutung der Variablen angeben:<br>
{{Lösung versteckt|1=1. Bedeutung der Variablen angeben:<br>
x eine Zahl<br>
x Anzahl der Weizenbrötchen<br>
y eine andere Zahl<br>
y Anzahl der Roggenbrötchen<br>
2. Gleichung aufstellen:<br>
2. Gleichung aufstellen:<br>
x+y=9<br>
x·0,30 + y·0,50 = 24<br>
3. Mögliche Lösung angeben:<br>
3. Mögliche Lösung angeben:<br>
(0;9); (1;8); ...<br>
(0;48); (5;45); ...<br>
Löse die übrigen Teilaufgaben ebenso in drei Schritten!|2=Schreibweise zu Nr. 2|3=Verbergen}}
|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Gleichung ist im Aufgabentext gegeben.<br>
 
a) Setze in die Gleichung für x den Wert 1 ein und berechne damit den Wert für y:<br>
 
y=-4x+3 für x=1<br>
{{Box|Übung 5 - komplexe Aufgabe|Löse die Aufgaben aus dem Buch.  
y=-4·1+3 (Tipp: Zwischen -4 und x muss ein Malzeichen ergänzt werden.)<br>
* S. 44 Nr. 10|Üben}}
y=-1 <br>
Löse b, c und f ebenso.<br>
Bei d und e ist der Wert für y gegeben. Setze hier für y ein und löse die Gleichung nach x auf.<br>
Prüfe zum Schluss alle deine Lösungen mithilfe von GeoGebra.|2=Tipp zu Nr. 3|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn du den Graphen einer linearen Funktion zeichnen möchtest, kannst du dies schnell mithilfe der Steigung m und des y-Achsenabschnitts b. Daher wandle die Gleichungen in die Form '''y = mx + b''' um.<br>
a) y - 2x = 5 &nbsp;&nbsp;&#124;+2x<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; y = 2x + 5<br>
Diese Gerade kannst du nun in ein Koordinatensystem zeichnen. (Steigung m = 2 und y-Achsenabschnitt b = 5)<br>
|2=Tipp zu Nr. 5 (Gleichung umformen)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Wie zeichne ich eine Gerade mit m und b? <br>
1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0&#124;b)<br>
2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten).<br>
3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.


Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = <math>{3 \over 5}</math>x - 1.
GeoGebra-Applet zur Aufgabe<br>
<div class="grid">
Originallink https://www.geogebra.org/m/v6fs4e6u
<div class="width-1-3">Schritt 1[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 1.png]]</div>
<ggb_applet id="v6fs4e6u" width="1224" height="787" border="888888" />
<div class="width-1-3">Schritt 2[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen 2. Schritt.png]]</div>
<small>Applet von C.Buß-Haskert</small><br>
<div class="width-1-3">Schritt 3[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 3.png]]</div>
</div>|2=Tipp zu Nr. 5 (Graph zeichnen) Text mit Bilderfolge|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Wie zeichne ich eine Gerade mit m und b? Das Video zeigt das Vorgehen noch einmal:<br>
{{#ev:youtube|ggEEG6QdqkE|800|center}}
|2=Tipp zu Nr. 5 (Graph zeichnen) Erklärvideo|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Punktprobe: Setze für x und y in der Gleichung die angegebenen Werte des Punktes ein und prüfe, ob eine wahre oder falsche Aussage entsteht. <br>
Bei einer wahren Aussage (w) erfüllt der Punkt die Gleichung und liegt auf dem Graphen, bei einer falschen Aussage (f) nicht.<br>
a) 2x-3y+3=0 &nbsp;&nbsp;&nbsp;Prüfe (4;2)<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2·4-3·2+3=0 &nbsp;&#124;Rechne die linke und rechte Seite aus.<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; 8-6+3=0<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; 5=0 (f), also erfüllt der Punkt die Gleichung nicht.<br>
Prüfe so auch die übrigen Punkte.|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Bei geometrischen Anwendungen hilft immer ein Skizze! Zeichne die angegebene Figur und beschrifte sie passend zur Aufgabenstellung. Gib die Bedeutung der Variablen an! Finde durch Probieren mindestens zwei Lösungen.<br>
{{Lösung versteckt|1=a  Länge
<br>b  Breite
<br>Umfang 28 = 2a + 2b oder 28 = 2(a + b)<br>
[[Datei:Parallelogramm.png|zentriert|mini]]|2=Tipp zu 9a)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=a - Länge der Deckseite<br>b - Seitenlänge<br>Umfang 30 = 3a + 2b<br>
[[Datei:Trapez zu S. 11 Nr. 9b.png|zentriert|mini]]|2=Tipp zu 9b)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=a - 1.Seitenlänge<br>b - 2.Seitenlänge<br>Umfang 32 = a + b + c = a + b + 2a = 3a + b<br>
[[Datei:Dreieck zu S. 11 Nr. 9c.png|zentriert|mini]]|2=Tipp zu 9c)|3=Verbergen}}
|Tipps zu Nr. 9|Verbergen}}




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{{Fortsetzung|weiter=3) Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen|weiterlink=Buss-Haskert/Lineare Gleichungssysteme/Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen}}
{{Fortsetzung|weiter=3) Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/AFR/Lineare Gleichungssysteme/Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen}}
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Kategorie:Lernpfad]]
__INHALTSVERZEICHNIS_ERZWINGEN__
__INHALTSVERZEICHNIS_ERZWINGEN__

Aktuelle Version vom 21. Juni 2023, 03:16 Uhr



Lernpfad Lineare Gleichungssysteme - Alles rund um Freizeit

In diesem Lernpfad lernst du, was lineare Gleichungssysteme (LGS) sind und welche Verfahren zur Lösung es gibt. Zu den verschiedenen Lösungsverfahren wirst du selbst Videos erstellen. Zudem wirst du Anwendungssituationen zu linearen Gleichungssystemen kennenlernen.

Die Übungen im Buch beziehen sich auf das Schülerbuch "Mathematik heute 9" des Schroedel-Verlages.

Diese Seite wurde kopiert aus dem Lernpfad der Herta-Lebenstein-Realschule, erstellt von C. Buß-Haskert [1] unter der CC BY SA Linzenz. Herzlichen Dank!

0) Vorwissen

Ich kann ... Übungen online
- mit Fachbegriffen umgehen.


-Terme zu mathematische Texten, geometrischen Situationen

und Sachsituationen aufstellen.


- Werte von Termen berechnen.


-Terme (mit Klammern) vereinfachen


-Lineare Gleichungen lösen.


- eine Wertetabelle zu einer linearen Funktion aufstellen


-Gleichung und Graphen linearer Funktionen einander zuordnen.






1) Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Pommes und Cola 1.png


Frage Was ist hier neu..png


Die Aufgabe kann mit einer Gleichung mit zwei Variablen gelöst werden. Die Variable x steht für den Preis einer Tüte Pommes, die Variable y für den Preis einer Dose Cola.


Löse durch Probieren
Die obige Situation lässt sich durch die Gleichung x + 2y = 5 beschreiben. Finde durch Probieren verschiedene Zahlenpaare (x;y), die diese Gleichung erfüllen. Wie viel könnten eine Tüte Pommes und eine Dose Cola kosten, damit die Gleichung passt? Notiere deine Werte in einer Tabelle.


Lineare GLeichungen mit zwei Variablen Wertetabelle.png


Schaubild/Graph
Trage deine Lösungen in ein Koordinatenkreuz ein. Fällt dir etwas auf?


Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 1.png
Alle Punkte (xy) liegen auf der Geraden mit der Gleichung y= -x+2,5.

GeoGebra-Applet zur Einsteigsaufgabe: https://www.geogebra.org/m/wwaferxp

GeoGebra

von C. Buß-Haskert


Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Die Gleichung für die Situation oben lautet x + 2y = 5.

Alle Zahlenpaare (x;y), die diese lineare Gleichung erfüllen, sind Lösungen der Gleichung.
Diese Lösungen stellen Punkte (xy) im Koordinatensystem dar und liegen auf der Geraden mit der Funktionsgleichung
y=mx+b.


Übung 1 Text - Gleichung
Ordne im Quiz und in der nachfolgenden LearningApp dem Text eine passende Gleichung mit zwei Variablen und eine mögliche Lösung zu.

Addiert man zu einer Zahl 6, so erhält man das Dreifache der anderen Zahl.x + 6 = 3∙y
Addiert man zur zweiten Zahl 6, so erhält man das Vierfache der ersten Zahl.y + 6 = 4∙x
Die Summe zweier Zahlen ist 52.x + y = 52
Das Doppelte der ersten ist gleich dem Dreifachen der zweiten Zahl.2∙x = 3∙y
Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Umfang von 41 cm.2x + y = 41
In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Basis (Grundseite) nur ein Drittel so lang wie die Schenkel.y = x
Der Umfang eines Rechtecks ist 80 cm.2x + 2y = 80
Der Flächeninhalt eines Rechtecks beträgt 64cm².x∙y = 64
Andreas hat 6 CDs mehr als Karin.y = x - 6




Übung 2 Punktprobe
Bestimme die fehlende Zahl des Wertepaares bzw. prüfe, ob die angegebenen Wertepaare Lösungen der linearen Gleichung sind.





Übung 3 Funktionsgleichung und Wertetabelle
Löse die Gleichung nach y auf und schreibe sie in der Form y=mx+b. Zeichne die zugehörige Gerade der Funktion f(x).




Übung 4 (Buch)

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Rechnungen ausführlich im Heft (Schreibweisen beachten!).

  • S. 43, Nr. 2
  • S. 43, Nr. 3
  • S. 43, Nr. 4
  • S. 43, Nr. 5


Setze die Zahlenpaare passend in die Gleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt (Punktprobe).
Beispiel:
(1|-6) einsetzen in a):
1 + (-6) = 8
1 - 6 = 8
-5 = 8 (f)

Diese Aussage ist falsch, also ist das Zahlenpaar keine Lösung der Gleichung.

Setze die gegebenen Werte passend in die Gleichung ein und berechne die fehlende Zahl des Zahlenpaares.
Beispiel:
(-2|___) einsetzen in a):
2·(-2) + y = 6
-4 + y = 6   |+4
y = 10 (f)

Das Zahlenpaar lautet (-2|10)

Erinnerung: Graphen linearer Funktionen zeichnen - Video

Beispiel: Aufgabenteil a)
4x + 2y = 10
1. Gleichung nach y auflösen:
4x + 2y = 10   |-4x
2y = -4x + 10   |:2
y = -2x + 5
2. Graphen zeichen:
y = -2x + 5 schneidet die y-Achse im Punkt P(0|5) und hat die Steigung m = -2.
Zeichne passend. (Hilfe: GeoGebra).

Graph zu y=-2x+5 mit Punkten.png

Probe durch Rechnung:
(-1|7) ist Lösung der Gleichung 4x + 2y = 10, denn
4·(-1) + 2·7 = 10
-4 + 14 = 10
10 = 10 (w)

Es ergibt sich eine wahre Aussage, also erfüllt das Zahlenpaar die Gleichung.

1. Bedeutung der Variablen angeben:
x Anzahl der Weizenbrötchen
y Anzahl der Roggenbrötchen
2. Gleichung aufstellen:
x·0,30 + y·0,50 = 24
3. Mögliche Lösung angeben:

(0;48); (5;45); ...


Übung 5 - komplexe Aufgabe

Löse die Aufgaben aus dem Buch.

  • S. 44 Nr. 10

GeoGebra-Applet zur Aufgabe
Originallink https://www.geogebra.org/m/v6fs4e6u

GeoGebra

Applet von C.Buß-Haskert


2) Lineare Gleichungssysteme

Pommes und Cola.pngFrage Was ist hier neu..png

Im Imbiss
Was ist hier gesucht? Übertrage die Aufgabe in dein Heft. Löse allein und vergleiche anschließend mit deinem Partner

Lege die Bedeutung der Variablen fest, z.B. x - Preis pro Getränk, y - Preis pro Portion Pommes.
Stelle nun jeweils eine passende Gleichung auf. Nutze zur Lösung verschiedene Darstellungen: Wertetabellen und Graphen

Gleichungen aufstellen:
I. 2x + y = 5,00
II. x + 3y = 7,50
Wertetabellen
Im Imbiss Wertetabellen.png

Wo findest du die Lösung des Problems? Begründe.
Graphen
Im Imbiss Graphen.png

Wo findest du die Lösung des Problems? Begründe.


Lineare Gleichungssysteme (LGS)
Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus zwei linearen Gleichungen. Diese haben jeweils zwei Variablen. Das Wertepaar (x;y), das beide Gleichungen erfüllt, ist die Lösung des linearen Gleichungssystems.
Diese Lösung kannst du z.B. durch Probieren erhalten (Wertetabelle).