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3) Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen

Einstiegsaufgabe: Im Schwimmbad

Familie Müller, das sind zwei Erwachsene und ein Kind, zahlt im Freibad 13€ Eintritt.
Herr Schuster zahlt 11 € Eintritt für sich und seine zwei Kinder.

Lege die Bedeutung der Variablen fest, z.B. x - Preis pro Erwachsener, y - Preis pro Kind.
Stelle nun jeweils eine passende Gleichung auf. Nutze zur Lösung verschiedene Darstellungen: Wertetabellen und Graphen.

Gleichungen aufstellen:
I. 2x + y = 13
II. x + 2y = 11

Wertetabellen

Wo findest du die Lösung des Problems? Begründe.

Graphen

Wo findest du die Lösung des Problems? Begründe.

Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen

Um ein lineares Gleichungssystems mit zwei Variablen zeichnerisch zu lösen, zeichnet man die Graphen der Gleichungen in ein Koordinatensystem. Die Koordinaten des Schnittpunktes erfüllen beide Gleichungen, sie sind also die Lösung des linearen Gleichungssystems

Das Video fasst die Schritte noch einmal zusammen:

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Übung 1: Zeichnerisch die Koordinaten des Schnittpunktes bestimmen

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne pro Aufgabe ein eigenes Koordinatensystem.

• S. 46, Nr. 2
• S. 46, Nr. 3
• S. 47, Nr. 5

Wie zeichne ich den Graphen, wenn die Funktionsgleichung gegeben ist?
1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b)
2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten).
3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = $\tfrac{3}{5}$x - 1.

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Wie zeichne ich den Graphen zu einer Funktionsgleichung: Videos

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Lösung zu S.46 Nr. 3a Schritt für Schritt:
Originallink: https://www.geogebra.org/m/hmvzwfan

Applet von C.Buß-Haskert

Die LearningApps enthalten die Lösungsschritte. Bringe sie in die richtige Reihenfolge und vergleiche deine Lösung.

Stelle die Gleichungen zunächst nach y um.
1. Gleichung:
-x + 2y = 1   |+x
2y = x + 1   |:2
y = $\tfrac{1}{2}$x + $\tfrac{1}{2}$
Zeichne die Gerade zur 1. Gleichung.
2. Gleichung:
2x - y = 4   |-2x
-y = -2x + 4   |:(-1)
y = 2x - 4
Zeichne die Gerade zur 2. Gleichung.

Der Schnittpunkt der Geraden ist die Lösung des LGS.

Übung 2 - Funktiongsgraphen zeichnen und LGS lösen mit GeoGebra

Löse im Applet das Gleichungssystem zeichnerisch. Stelle dazu mithilfe der Punkte den Verlauf der Geraden so ein, dass sie zu den Gleichungen passen und lies den Schnittpunkt ab.

direkter Link: https://www.geogebra.org/m/kb3en6sj

Applet von just01120

Übung 3: Im Kino

Löse im Heft. Beachte das vereinbarte Vorgehen (wie im Bild oben).

Löse schrittweise, wie oben beschrieben:
1. Lege die Bedeutung der Variablen fest
2. Stelle zwei lineare Gleichungen auf und forme sie so um, dass sie die Form y=mx+b haben.
3. Zeichne die zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem und lies den Schnittpunkt ab. Die Koordinaten des Schnittpunktes sind die Lösung des Gleichungssystems.

1. Schritt: Bedeutung der Variablen
x = Preis für einen Erwachsenen
y = Preis für ein Kind

2. Schritt: Gleichungen aufstellen und in eine Funktionsgleichung umformen

3. Schritt: Graphen zeichnen und Schnittpunkt bestimmen

Übung 4 - Anwendungsaufgabe

Löse die Aufgabe aus dem Buch schrittweise.
1. Lege die Bedeutung der Variablen fest
2. Stelle zwei lineare Gleichungen auf und forme sie so um, dass sie die Form y=mx+b haben.
3. Zeichne die zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem und lies den Schnittpunkt ab. Die Koordinaten des Schnittpunktes sind die Lösung des Gleichungssystems.

• S.47, Nr.9

Löse schrittweise, wie oben beschrieben:
1. Lege die Bedeutung der Variablen fest
2. Stelle zwei lineare Gleichungen auf und forme sie so um, dass sie die Form y=mx+b haben.
3. Zeichne die zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem und lies den Schnittpunkt ab. Die Koordinaten des Schnittpunktes sind die Lösung des Gleichungssystems.

1. Schritt: Bedeutung der Variablen
x Anzahl der Dreibettzimmer
y Anzahl der Fünfbettzimmer

2. Schritt: Gleichungen aufstellen und in eine Funktionsgleichung umformen
Es gibt insgesamt 35 Zimmer, also gilt
I. x + y = 35
Es gibt insgesamt 145 Jugendliche, diese werden zu dritt (pro Dreibettzimmer) bzw. zu fünft (pro Fünfbettzimmer) aufgeteilt, also gilt
II. 3x + 5y = 145

Bringe die Gleichungen jeweils in die Form y = mx + b.

3. Schritt: Graphen zeichnen und Schnittpunkt bestimmen
I. y = -x + 35
II. y = -$\tfrac{3}{5}$x + 29

Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme

Wie viele Lösungen kann ein lineares Gleichungssystem haben?

Bei der zeichnerischen Lösung linearer Gleichungssysteme können verschiedene Fälle auftreten. Löse die folgenden drei linearen Gleichungssysteme zeichnerisch. Zeichne ein Koordinatenkreuz pro Gleichungssystem.
Wie viele Lösungen gibt es jeweils? Begründe!

Um ein Gleichungssystem zeichnerisch lösen zu können, musst du die Gleichungen in die Form y = mx + b bringen. Dann kannst du die Geraden mit dem y-Achsenabschnitt b und dem Steigungsdreieck (für m) zeichnen.

Beim 2. Fall sind die Gleichungen schon in der Form y = mx+b gegeben.

Du kannst deine Lösungen immer mit GeoGebra prüfen:Geogebra Grafikrechner.

Wie viele Lösungen haben die lineare Gleichungssysteme jeweils? Begründe!

Übung 5: Bestimme die Anzahl der Lösungen

Löse die Aufgabe aus dem Buch.

• S.47, Nr.8 (Prüfe mit GeoGebra!)

Bearbeite anschließend die LearningApp unten.

Nutze zur Überprüfung deiner Lösungen GeoGebra: Geogebra-Grafikrechner

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