Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke. Wenn kein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, musst du die Figur in rechtwinklige Teildreiecke zerlegen. Dann kannst du in diesen Teildreiecken fehlende Seitenlängen mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
3.1 Anwendungen in geometrischen Figuren
Einführungsbeispiel:
Bestimme den Umfang und den Flächeninhalt des rechtwinkligen Trapezes:
Um die Länge der Seite b zu bestimme gehe schrittweise vor:
1. Zerlege die Figur so, dass die gesuchte Seite b eine Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist.
2. Überlege, ob die Seite eine Kathete oder die Hypotenuse in diesem Dreieck ist und stelle den Satz des Pythagoras richtig auf.
Hefteintrag zu Nr. 1:
Beschrifte in der Skizze die zweite Kathete im linken rechtwinkligen Dreieck mit z.B. "a".
linkes Dreieck:
15² + a² = 39² |-15²
a² = 39² - 15² |
a = (Taschenrechner)
a = 36 (cm)
rechtes Dreieck:
a² + x² = 47²
36² + x² = 47² |-36²
x² = 47² - 36² |
x = (Taschenrechner)
x 30,2 (cm)
Die Figuren sind jeweils Trapeze. Wiederhole die Flächeninhaltsformel für das Trapez (Schulbegleiter).
In Aufgabenteil b) handelt es sich um ein gleichschenkliges Trapez, da die benachbarten Winkel gleich groß sind. Bestimme die Höhe h mithilfe von Pythagoras.
Zerlege die Figur in zwei rechtwinklige Dreiecke, indem du die Diagonale von links oben nach rechts unten zeichnest. Berechne dann zunächst die Länge der Diagonale und damit die Länge der fehlenden Seite.
Hilfsvideos zu den Aufgaben S. 114 Nr. 5 und S. 122 Nr. 4:
Übertrage die Figuren in dein Heft.Löse die Aufgaben ausführlich im Heft und prüfe deine Ergebnisse auf der Seite Aufgabenfuchs. Aufgaben:
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3.2 Anwendungen im Raum
Um rechtwinklige Teildreiecke in Körpern zu erkennen, ist es hilfreich, ein Kantenmodell dieses Körpers zu erstellen. Dies kannst du basteln mit Holzspießen und Erbsen oder Weingummi.
Kantenmodell eines Würfels:
Kantenmodell eines Quaders:
Kantenmodell einer quadratischen Pyramide:
Übung 5
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Suche rechtwinklige Teildreiecke und skizziere und beschrifte sie im Heft.
Bastle mit den Holzstäben und den Weingummi ein Kantenmodell einer quadratischen Pyramide. Ergänze auch Holzspieße für die Teildreiecke wie im Bild. Wo findest du rechtwinklige Dreiecke?
Hilfsdreieck 1: halber Parallelschnitt Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite und die Höhe der Pyramide hK. Die Hypotenuse ist die Höhe der Seitenfläche hS.
Hilfsdreieck 2: halber Seitenfläche Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite und die Höhe der Seitenfläche hS. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .
Hilfsdreieck 3: halber Diagonalschnitt Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Diagonale der Grundseite und die Höhe der Pyramide hK. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .
()² + hK² =s².
Schau die Videos zu Pythagoras in der quadratischen Pyramide an. Diese helfen dir bei der Bearbeitung der Übung 6.
Übertrage die Schrägbilder der Körper in dein Heft. Zeichne dann passende Teildreiecke und beschrifte sie.Löse die Aufgaben ausführlich im Heft und prüfe deine Ergebnisse auf der Seite Aufgabenfuchs. Aufgaben:
Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagors lösen
Um Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras zu lösen gehe schrittweise vor:
Notiere die gegebenen und die gesuchte Größe.
Erstelle eine Skizze zur Aufgabe.
Prüfe, ob ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt.
Zeichne gegebenenfalls Hilfslinien, mit denen du rechtwinklige Dreiecke erzeugst.
Wende den Satz des Pythagors im rechtwinkligen Dreieck an.
Denke an den passenden Antwortsatz
Beispiel:
Ein Baum ist bei einem Sturm umgeknickt. Der Teil des Stammes, der noch stehengeblieben ist, ist 5,80 m hoch. Die Baumkrone berührt in einem Abstand von 6,50 m vom Stamm den Boden.
Wie hoch war der Baum?
geg: Höhe Baumstamm 5,80m; Entfernung Baumkrone zum Baumstamm 6,50m
ges: Baumhöhe
Skizze (rechtwinkliges Dreieck)
Das Dreieck ist rechtwinklig, gegeben sind die beiden Katheten, gesucht ist die Hypotenuse x.
5,8² + 6,5² = x² | = x
8,71 x
Der abgeknickte Teil des Baumes ist ca. 8,70 m lang.
5,80 + 8,70 = 14,50
Der Baum war also ca. 14,50 m hoch.
Übung 7
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Beachte die nötigen Schritte bei der Lösung von Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras.
Zeichne für jedes Seil einer Seite ein passendes Teildreieck. Das Seil ist die Hypotenuse, die Länge der Straße eine Kathete und die Höhe die andere Kathete. Du musst für die Kathetenlängen die angegebenen Werte addieren.
Diese Aufgabe entspricht der Einstiegsaufgabe bei den Anwendungsaufgaben. Denke daran, zur berechneten Länge den stehengebliebenen Teil des Baumes zu addieren.
Das rechtwinklige Dreieck muss wie folgt beschriftet werden:
Die Hälfte der Seillänge berechnest du dann mit dem Satz des Pythagoras:
1,5² + 7,5² = x² usw.(runde auf zwei Nachkommastellen, also auf cm genau).
Das gesamte Seil muss also 15,3 m lang sein.
Übung 9
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Beachte die nötigen Schritte bei der Lösung von Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras.
Wenn der Schrank gekippt wird, muss die Diagonale des Schrankes kleiner sein als die Raumhöhe. Achte bei der Beschriftung des Teildreiecks auf gleiche Einheiten! Prüfe nach!
a) Die längsten Strecken an den Wänden sind die Flächendiagonalen eines Quaders. Zeichne die passenden Teildreiecke und berechne.
b) Die längste Strecke im Raum ist die Raumdiagonale. Zeichne ein passendes Teildreieck (Hier ist eine Kathete eine Flächendiagonale und die andere Kathete eine Streckenlänge des Klassenzimmers).
Zeichne zunächst eine Skizze des Hauses und der Dachsparren. Finde dort passende rechtwinklige Teildreiecke. Zeichne dann das Teildreieck und beschrifte es. Dann kannst du den Satz des Pythagoras anwenden.
Die Folie ist im Bild grau dargestellt. Die Fläche setzt sich aus zwei Rechtecken zusammen mit einer Länge von 22m und einer Breite von 5m. Die Bahnen sind 1,50m breit und müssen sich 15cm überlappen. Wie viele Bahnen werden benötigt? Wie viele Quadratmeter Folie sind das?
Du musst den Satz des Pythagoras zweimal anwenden: Bestimme zunächst die Entfernung entlang des Bodens. (Skizze 1). Danach bestimmst du die Länge der Strecke, den der Ball mindestens durch die Luft zurücklegt, wenn er in 1,50m Höhe den Pfosten trifft. (Skizze 2).
Geschwindigkeit = ; v =
Gegeben ist die Geschwindigkeit v und die Strecke aus Teil a. Wandle die Geschwindigkeit von km/h in m/s um (:3,6).
Gesucht ist die Zeit.
Stelle die Formel nach t um und setze die Werte ein.
Übertrage das rechtwinklige Dreieck in dein Heft.
a) Die Länge der Hypotenuse beträgt Erdradius + 45m, also 6370km + 0,045km = 6370,045km.
b) Berechne ebenso die Länge der Hypotenuse für eine Augenhöhe von 1,80m.
c) Nun ist die Länge der Kathete mit 100 Stadien = 100 ∙ 225m = 22500 m = 22,5 km gegeben und wieder die Länge der Hypotenuse gesucht. Danach subtrahiere vom Ergebnis den Erdradius.
d) Die Länge der Hypotenuse beträgt (r+h). Stelle damit den Satz des Pythagoras auf:
r² + s² = (r+h)² Löse die Klammer mit der 1. binomischen Formel auf und stelle die Gleichung nach s um.
Die Dachfläche setzt sich zusammen aus zwei Trapezen und zwei Dreiecken. Für die Flächeninhaltsformeln benötigst du die jeweiligen Höhen. Bestimme diese mit dem Satz des Pythagoras in geeigneten Teildreiecken.
Die Dachfläche setzt sich zusammen aus 4 Rechtecken, wobei jeweils zwei Rechtecke gleich groß sind. Die Länge ist immer 12,20 m. Bestimme mit dem Satz des Pythagoras die jeweilige Breite.
Vielfältiges zusätzliches Übungsmaterial mit Lösungen findest du auf der Seite Selbstlernmaterial von T. Unkelbach. Srcolle ein wenig nach unten, dort findest du Karteikartenaufgaben in leicht, mittel und schwer. Wähle aus.
3.4 Pythagoras im Koordinatensystem
Pythagoras im Koordinatensystem
Bestimme Streckenlängen im Koordinatensystem. Verändere dazu im nachfolgenden Applet die Lage der Punkte A und B und bestimme die Länge der Strecke . Aktiviere bei Bedarf die Hilfen. Erkläre dein Vorgehen.
Applet von C.Buß-Haskert
Übung 12
Löse nun die Aufgaben aus dem Buch. Übertrage die Zeichnungen in dein Heft und ergänze die Teildreiecke.
Nutze zur Kontrolle das obige Applet. Stelle die jeweiligen Strecken ein und vergleiche mit deiner Zeichnung und Rechnung.
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