Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen

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In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen anwenden und erweitern und dein Verständnis vertiefen. Das Kapitel behandelt die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, ihren Funktionsgleichungen, ihren Funktionsgraphen und darauf liegenden Punkten.

In Aufgaben, die gelb gefärbt sind, kannst du Gelerntes wiederholen und vertiefen.

Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.

Und Aufgaben mit grüner Hinterlegung sind Knobelaufgaben.

Das Kapitel beginnt mit einem kurzen Lückentext zur Wiederholung und endet mit drei Anwendungsaufgaben.

Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung

Aufgabe 1: Lückentext über Lineare Funktionen

Wiederhole die wichtigen Eigenschaften linearer Funktionen, indem du den folgenden Lückentext bearbeitest. Für jede Lücke gibt es nur eine richtige Antwort. Anschließend kannst du in der folgenden Grafik die Werte $m$ und $n$ verändern und beobachten, wie sich der Funktionsgraph verändert. Setze beispielsweise $m=0$ und variiere $n$.

Lineare Funktionen erkennen

Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?

Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?

Der Lückentext in Aufgabe 1 kann dir beim Lösen der Aufgabe helfen.

Bei Funktionen muss jeder Variablen auf der x-Achse genau ein Wert auf der y-Achse zugeordnet werden.

Wird jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet? Ist der Graph eine Gerade? Sind die Exponenten der Variablen in der Funktionsvorschrift maximal von Grad 1?

Keine Funktion:

Keine Funktion

Der Kreis und die zur y-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau zwei y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen. Vorlage:Absatz

Lineare Funktionen: Alle Geraden, die nicht parallel zur y-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent $0$ oder $1$ hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: $f(x)=mx+n$.

Andere Funktionen: Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.

Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen

Aufgabe 3: Eine Geradengleichung mithilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen

In den folgenden Teilaufgaben hast du jeweils die Steigung der Geraden und einen Punkt gegeben, durch den die Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form $f(x) = mx + n$.

Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form $f(x) = mx + n$ ein.

a) Die Steigung ist $m = -4$ und der Punkt $P(-7|-1)$.

1. Setze zunächst für die Steigung $m = -4$, sodass dein erstes Gerüst $f(x) = -4x + n$ entsteht.
2. Nutze die Angabe des Punktes $P(-7|-1)$, sodass du mit $x = -7$ und $f(x) = -1$ die Gleichung $-1 = -4\cdot(-7) + n$ erhältst.
3. Bestimme nun mit Auflösung nach $n$ den Wert $n = -29$, sodass sich schließlich die Geradengleichung $f(x) = -4x - 29$ ergibt.

b) Die Steigung ist $m = 3,5$ und der Punkt $P(2|5)$.

1. Setze zunächst für die Steigung $m = 3,5$ ein, sodass dein erstes Gerüst $f(x) = 3,5\cdot x + n$ entsteht.
2. Nutze die Angabe des Punktes $P(2|5)$, sodass du mit $x = 2$ und $f(x) = 5$ die Gleichung $5 = 3,5\cdot2 + n$ erhältst.
3. Bestimme nun mit Auflösung nach $n$ den Wert $n = -2$, sodass sich schließlich die Geradengleichung $f(x) = 3,5\cdot x - 2$ ergibt.

c) Die Steigung ist $m = \frac{5}{8}$ und der Punkt $P(-\frac{2}{7}|\frac{3}{4})$.

1. Setze zunächst für die Steigung $m = \frac{5}{8}$, sodass dein erstes Gerüst $f(x) = \frac{5}{8}x + n$ entsteht.
2. Nutze die Angabe des Punktes $P(-\frac{2}{7}|\frac{3}{4})$, sodass du mit $x = -\frac{2}{7}$ und $f(x) = \frac{3}{4})$ die Gleichung $\frac{3}{4}) = \frac{5}{8}\cdot(-\frac{2}{7}) + n$ erhältst.
3. Bestimme nun mit Auflösung nach $n$ den Wert $n = \frac{52}{56} = \frac{13}{14}$, sodass sich schließlich die Geradengleichung $f(x) = \frac{5}{8}x + \frac{13}{14}$ ergibt.

Merke "Das Steigungsdreieck"

Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mithilfe des Steigungsdreiecks. Dazu führt man folgende Schritte durch:

1. Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte $P(x_P|f_P (x))$ und $Q(x_Q|f_Q (x))$.
2. Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$.
   $H\ddot{o}henunterschied = f_Q (x) - f_P (x)$
3. Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$.
   $L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P$
4. Für die Steigung $m$ der Geraden gilt:
   $m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{f_Q (x) - f_P (x)}{x_Q - x_P}$

Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen

Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form $f(x) = mx + n$.

1. Berechne zunächst die Steigung $m$, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
2. Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt $n$, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form $f(x) = mx + n$ einsetzt.

Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:

• Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
  • Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten $m$ und $n$ auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ für $x$ und die y-Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ für $f(x)$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ einsetzt.
  • Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten $m$ und $n$ zu bestimmen.
  • Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein.
• Lösung mit Hilfe eines Graphen:
  • Zeichne die Punkte $P$ und $Q$ in ein Koordinatensystem ein.
  • Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte $P$ und $Q$ verläuft.
  • Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung $m$.
  • Lies den y-Achsenabschnitt $n$ am Graphen ab.
  • Setze alles in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein.

a) Gegeben seien die Punkte $P(1|2)$ und $Q(3|6)$.

Funktionsgleichung: $f(x) = 2x$

• Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte $P(1|2)$ und $Q(3|6)$ wie folgt berechnen:
  $H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4$
• Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte $P(1|2)$ und $Q(3|6)$ wie folgt berechnen:
  $L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2$
• Für die Steigung $m$ der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen:
  $m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2$
• Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung $m = 2$ und einen der Punkte in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein:
  • Falls du als Punkt $P$ gewählt hast, erhälst du also $f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n$
  • Falls du als Punkt $Q$ gewählt hast, erhälst du also $f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n$
• Als letztes setzt du $m = 2$ und $n = 0$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein.

• Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte $P(1|2)$ und $Q(3|6)$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ergeben sind $2 = m \cdot 1 + n$ und $6 = m \cdot 3 + n$.
• Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du $n$ eliminieren.
• Nun kannst du eine Gleichung nach $m$ auflösen und erhälst $m = 2$.
• Dies setzt du nun in die andere Gleichung für $m$ ein und erhälst $n = 0$.
• Als letztes setzt du $m = 2$ und $n = 0$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein.

Graphischer Lösungsweg

b) Gegeben seien die Punkte $P(2/1)$ und $Q(6/-5)$.

Funktionsgleichung: $f(x) = -1,5x + 4$

• Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte $P(2|1)$ und $Q(6|-5)$ wie folgt berechnen:
  $H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6$
• Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte $P(2|1)$ und $Q(6|-5)$ wie folgt berechnen:
  $L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4$
• Für die Steigung $m$ der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen:
  $m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5$
• Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung $m = -1,5$ und einen der Punkte in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein:
  • Falls du als Punkt $P$ gewählt hast, erhälst du also $f(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n$
  • Falls du als Punkt $Q$ gewählt hast, erhälst du also $f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n$
• Als letztes setzt du $m = -1,5$ und $n = 4$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein.

• Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte $P(2|1)$ und $Q(6|-5)$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ergeben sind $1 = m \cdot 2 + n$ und $-5 = m \cdot 6 + n$.
• Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du $n$ eliminieren.
• Nun kannst du eine Gleichung nach $m$ auflösen und erhälst $m = -1,5$.
• Dies setzt du nun in die andere Gleichung für $m$ ein und erhälst $n = 4$.
• Als letztes setzt du $m = -1,5$ und $n = 4$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein.

Graphischer Lösungsweg

c) Gegeben seien die Punkte $P(-7/4)$ und $Q(11/-3)$.

Funktionsgleichung: $f(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}$

• Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte $P(-7|4)$ und $Q(11/-3)$ wie folgt berechnen:
  $H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7$
• Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte $P(-7|4)$ und $Q(11/-3)$ wie folgt berechnen:
  $L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18$
• Für die Steigung $m$ der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen:
  $m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}$
• Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung $m = -\frac{7}{18}$ und einen der Punkte in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein:
  • Falls du als Punkt $P$ gewählt hast, erhälst du also $f(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n$
  • Falls du als Punkt $Q$ gewählt hast, erhälst du also $f(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n$
• Als letztes setzt du $m = -\frac{7}{18}$ und $n = \frac{23}{18}$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein.

• Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte $P(-7/4)$ und $Q(11/-3)$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ergeben sind $4 = m \cdot -7 + n$ und $-3 = m \cdot 11 + n$.
• Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du $n$ eliminieren.
• Nun kannst du eine Gleichung nach $m$ auflösen und erhälst $m = -\frac{7}{18}$.
• Dies setzt du nun in die andere Gleichung für $m$ ein und erhälst $n = \frac{23}{18}$.
• Als letztes setzt du $m = -\frac{7}{18}$ und $n = \frac{23}{18}$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein.

Graphischer Lösungsweg

Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen

Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen

Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken!
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte

• Auf dem Graphen der Funktion $f(x) = 2x + 3$ liegen die Punkte: $(-1|1)$, $(0|3)$, $(2|7)$, $(1|5)$.
• Auf dem Graphen der Funktion $f(x) = -x + 12$ liegen die Punkte: $(2|10)$, $(12|0)$, $(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})$, $(9|3)$.
• Auf dem Graphen der Funktion $f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}$ liegen die Punkte: $(-1|-1)$, $(5|-5)$.
• Auf dem Graphen der Funktion $f(x) = \frac{3}{8}$ liegen die Punkte: $(4|\frac{3}{8})$, $(9|\frac{9}{24})$.

Beispielhafter Lösungsweg:

• Wir setzen die x-Koordinate des Punktes $(-1|1)$ in die Funktion $f(x) = 2x + 3$ ein und berechnen den Funktionswert:
  • $f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$.
  • Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
• Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes $(2|10)$ ein und berechnen wieder den Funktionswert:
  • $f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$.
  • Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
  • Der Punkt $(2|10)$ liegt also nicht auf dem Graphen.

Eine lineare Gleichung einer Geraden zuordnen

Aufgabe 6: Funktionen zeichnen

Zeichne die folgenden drei Funktionen alle in ein Koordinatensystem. Überlege dir vorher, wie groß das Koordinatensystem für diese Funktionen sein muss, damit man jeden Schnitt zwischen jeweils zwei Geraden erkennt.

a) $f(x) = 4x + 1$

b) $g(x) = 0,5x - 2,5$

c) $h(x) = -3x + 1$

Für $f(x) = mx + n$ ist $n$ der $y$-Achsenabschnitt und $m$ die Steigung.

Mit den Reglern kannst du die Werte für die Steigung (m) und den y-Achsenabschnitt (b) ändern und so dein Ergebnis überprüfen.

Aufgabe 7: Finde Paare

Ordne den gegebenen linearen Gleichungen die zugehörige Gerade zu. Beachte: Nicht zu jeder Gleichung ist eine Gerade gegeben.

Nicht vergessen: Für $f(x) = mx + n$ ist $n$ der $y$-Achsenabschnitt und $m$ die Steigung. Vielleicht erkennst du alleine anhand des $y$-Achsenabschnitts schon einige der Funktionen?

Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen

Aufgabe 8: Bestimme den Schnittpunkt

Zeichne zunächst beide Graphen in ein Koordinatensystem in dein Heft. Bestimme anschließend den x-Wert und den y-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden.

Um die Geraden zu zeichnen, betrachte zunächst den y-Achsenabschnitt. Falls du dir unsicher bist, was der y-Achsenabschnitt ist, scrolle hoch zum Lückentext in Aufgabe 1.

Anschließend betrachte die Steigung der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck (Hilfe im Lückentext in Aufgabe 1) und zeichne eine Gerade mit Hilfe der Steigung. Nun hast du zwei Punkte, die auf der Geraden liegen (den y-Achsenabschnitt und einen Punkt auf dem Steigungsdreieck). Verbinde diesen beiden Punkte und du erhälst die Gerade.

Um die Koordinaten des Schnittpunktes zu bestimmten, setzte die beiden Geraden gleich und löse dann nach x auf.

a) Gegeben sind die beiden Geraden $f(x)=2x+4$ und $g(x)=3x$.

Der Schnittpunkt liegt bei x= 4 und y = 12. Wie komme ich zu meiner Lösung? Ich setze die beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ gleich. Dann erhalte ich 2x+4=3x. Nun löse ich nach x auf. Ich erhalte den Wert x = 4. Jetzt kann ich den Wert x=4 in eine der beiden Gleichungen einsetzen und den y-Wert berechnen.

b) Gegeben sind die beiden Geraden $f(x)=4x-5$ und $g(x)=-3x+9$.

Der Schnittpunkt liegt bei x= 2 und y = 3. Wie komme ich zu meiner Lösung? Ich setze die beiden Funktionen $g(x)$ und $h(x)$ gleich. Dann erhalte ich $4x-5=-3x+9$.Dann löse ich nach x auf. Ich erhalte den Wert x = 2. Jetzt kann ich den Wert x=2 in eine der beiden Gleichungen einsetzen und den y-Wert berechnen

c) Gegeben sind die beiden Geraden $f(x)= \frac{3}{2}x-3$ und $g(x)= \frac{1}{2}x+17$.

Der Schnittpunkt liegt bei x= 20 und y = 27. Wie komme ich zu meiner Lösung? Ich setze die beiden Funktionen $f(x)$ und $h(x)$ gleich. Dann erhalte ich $\frac{3}{2}x-3=\frac{1}{2}x+17$. Nun löse ich nach x auf. Ich erhalte den Wert x = 20. Jetzt kann ich den Wert x=20 in eine der beiden Gleichungen einsetzen und den y-Wert berechnen.

Anwendungsaufgaben

Aufgabe 9: Was man nicht alles für Freundinnen tut.

Susanne ist 13 Jahre alt und geht in die 7. Klasse. Heute ist sie um 13.45 Uhr von der Schule nach Hause gekommen. Beim Mittagessen erzählt sie für 30 Minuten von ihrem Schultag. Bevor sie zum Sport geht, soll sie noch ihre Hausaufgaben erledigen. Jedoch fängt sie nicht sofort an, sondern spielt erst noch 60 Minuten. Dann beginnt sie jedoch mit ihren Hausaufgaben.
Dafür muss sie noch ein 15-seitiges Kapitel in einem Roman lesen. Als sie nach 5 Minuten die dritte Seite fertig gelesen hat, schaut sie auf ihr Handy. Sie hat nur noch 20 Minuten bis sie sich für ihr Fußball-Training fertig machen muss. Gleichzeitig sieht sie eine Nachricht von ihrer Freundin Marie, die schreibt: "Hey, hast du Deutsch schon fertig? Kannst du mir das beim Sport zusammenfassen?"
Kann Susanne Marie versprechen, das Kapitel beim Fußball zu erklären?

Überlege welche Zeitangaben für die Lösung der Aufgabe notwendig sind.

Trage die relvanten Informationen als Punkte in ein Koordinatensystem.

Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst?

Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen:
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie liest mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass $x$ die Einheit $\frac{Seiten}{5 Minuten}$ hat.
Also lautet unsere Gleichung:
$f(x)=3+3x$
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für $f(x)=15$ (Seiten) ein.
$15=3+3x |-3$
$\Leftrightarrow 12=3x | :3$
$\Leftrightarrow x=4$.

Also braucht Susanne noch $4$ mal $5$ Minuten, also insgesamt 20min. Wenn sie sich beeilt, kann sie es also noch schaffen.

Aufgabe 10: Wasser für die Katze

Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren einwöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Typen von Wasserspendern, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen $8l$ Wasser und er ist nach $30$ Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen $6l$ und er ist schon nach $10$ Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von $500ml$. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welche Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?

Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Hast du schon alle notwendigen Infos gegeben?

Welchen Wasserspender sollten die beiden kaufen?

Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an.

Die Punkte für den Wasserspender A sind $(0|8)$ und $(30|0)$. Die Punkte für den Wasserspender B sind $(0|6)$ und $(10|0)$. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein.

Um den täglichen Wasserbedarf einer Katze herauszufinden, kann dir eine kurze Internetrecherche helfen.

Durch eine Internetrecherche können wir herausfinden, dass Katzen 200-250ml Wasser am Tag zu sich nehmen sollten. Damit die Katzen auf jeden Fall ausreichend viel Wasser haben, nehmen wir an, dass Findus und Sabbel zusammen $500ml=0,5l$ benötigen.
Wasserspender A:

Wir haben die Punkte $(0|8)$ und $(30|0)$ und die allgemeine Funktionsgleichung $f(x) = m\cdot x+b$. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

$(0|8)$: $f(0) = m\cdot 0+b = 8$, wodurch $b=8$ folgt.

$(30|0)$: $f(30) = m\cdot 30+b=0$. Da wir schon wissen, dass $b=8$ ist, folgt hieraus, dass $m=-\frac{8}{30}=-\frac{4}{15}$ ist.

Setzt man nun $m$ und $b$ in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir $f(x) = -\frac{4}{15} \cdot x + 8$

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender A ist also $m=-\frac{4}{15}=$. Wasserspender A gibt also jeden Tag etwas mehr Wasser als 250ml und somit lediglich ausreichend viel Wasser für eine Katze ab. Außerdem ist Wasserspender A nach 7 Tagen noch nicht leer:
$f(7)= -\frac{4}{15} \cdot 7 + 8 = \frac{92}{15}=6 \frac{2}{15} > 0$

Wasserspender B:

Wir haben die Punkte $(0|6)$ und $(10|0)$ und die allgemeine Funktionsgleichung $g(x) = n\cdot x+a$. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

$(0|6)$: $g(0) = n\cdot 0+a = 6$, wodurch $a=6$ folgt.

$(10|0)$: $g(10) = n\cdot 10+a=0$. Da wir schon wissen, dass $a=6$ ist, folgt hieraus, dass $n=-\frac{3}{5}$ ist.

Setzt man nun $n$ und $a$ in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir $g(x) = -\frac{3}{5} \cdot x + 6$

Die Steigung der Funktionsvorschrift von Wasserspender B ist $n=-\frac{3}{5}$. Wasserspender B gibt also jeden Tag $600ml$ und somit ausreichend viel Wasser für beide Katzen ab.

Nun können wir nachvollziehbarerweise annehmen, dass Claudia und Marc möglichst wenig Geld ausgeben wollen. Zwei Wasserbehälter A kosten $2 \cdot 10$€ also $5$€ weniger als ein Wasserspender B ($25$€).

Abschließende Antwort

Zwar könnte ein Wasserspender der Sorte B für die beiden Katzen eine Woche genug Wasser bereitstellen, aber zwei Wasserspender der Sorte A sind zusammen immer noch preisweiter und können gemeinsam immer noch genügend Wasser für die beiden Katzen bereitstellen. Claudia und Marc sollten also zwei Wasserspender des Typs A kaufen.

Aufgabe 11: Schulbus

Nach der Schule verpasst Isolde den Bus und müsste nun den Weg von 11km nach Hause laufen. Sie ruft ihre Mutter an und bittet sie, sie abzuholen. Ihre Mutter fährt ihr auf der Landstraße mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 72 km/h entgegen. Isolde geht ihrer Mutter entgegen und geht dabei durchschnittlich 75m pro Minute. Beide machen sich gleichzeitig nach dem Telefonat auf den Weg.

a) Stelle eine Funktionsvorschrift für Isoldes Entfernung von zu Hause und eine Funktionsvorschrift für die Entfernung der Mutter von zu Hause in Abhängigkeit von der Zeit auf.

Lineare Funktionen haben immer die Form $f(x)= mx + n$. Hierbei ist $m$ die Steigung und $n$ der $y$-Achsenabschnitt. Welche Informationen aus der Aufgabe entsprechen welchen Eigenschaften der gesuchten Funktionen?

Achte auch darauf, dass die Funktionen die Entfernung in der gleichen Einheit angeben und auch für die Zeit beide die gleiche Einheit verwenden sollten. Das erleichtert das spätere Rechnen mit den Funktionen.

Überlege dir, dass du zwei Funktionen aufstellen musst: Eine Funktion stellt den Abstand zum Haus für Isolde dar und eine den Abstand ihrer Mutter. Für Isolde gilt, dass sie 11 km entfernt ist. Dies stellt den y-Achsenabschnitt dar. Die Distanz zu ihrem Haus verringert sich um 75m pro Minute. Die ist die (negative) Steigung in Isoldes Funktion, denn sie kommt den Haus ja näher und der Abstand von 11.000 m verringert sich. Mit dem gleichen Verfahren erkennst du auch die Funktion für ihre Mutter. Nur sie startet bei 0 und die Steigung ist positiv. Achte jedoch auf die Einheiten, denn vielleicht musst du umrechnen.

Wir geben die Zeit in Minuten und die Entfernung in Metern an. Die Funktion $f(x)=ax+b$ soll Isoldes Entfernung von zu Hause und die Funktion $g(x)=cx+d$ die Entfernung der Mutter von zu Hause beschreiben.
Isolde ist zu Beginn 11km, also 11000m von zu Hause entfernt. Der y-Achsenabschnitt von f ist demnach a=11000. Isolde legt pro Minute 75m zurück. Dabei entfernt sie sich nicht von zu Hause, sondern nähert sich. Die Steigung b ist deshalb negativ und beträgt -75. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift $f(x)=-75x+11000$.
Die Mutter startet zu Hause, der y-Achsenabschnitt d von g(x) ist also gleich 0. Sie fährt mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, was 1200m pro Minute entspricht. Damit entfernt sie sich von zu Hause, die Steigung d ist deshalb positiv und beträgt 1200. Insgesamt ergibt sich die Vorschrift $g(x)=1200x$.

b) Berechne, wie lange es dauert, bis die beiden sich treffen.

Welchem Punkt der Funktionsgraphen von f und g entspricht dem Treffpunkt der beiden Funktionen? Wie berechnet man diesen Punkt?

Erinnere dich daran, dass die x-Achse die Zeit angibt, die verstrichen ist, seitdem Isolde losgegangen ist. Die y-Achse gibt den Abstand an, den die Mutter ihrer Tochter bereits entgegen gefahren ist. Dieser Abstand verringert sich dadurch, dass Isolde ihrer Mutter entgegengeht, somit hat die Funktion von Isolde eine negative Steigung. Der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen gibt auf dem x-Wert an, wann sich die beiden treffen. Wir setzen die Funktionsvorschriften gleich, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen.
$\begin{align} -75x+11000 & = 1200x \quad | +75x \\ 11000 & = 1275x \quad | : 1275 \\ \frac{440}{51} & = x \approx 8,6\end{align}$.

Es dauert ungefähr 9 Minuten, bis die beiden sich treffen.