Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Geometrie/4) Entfernung und Abstand

4. Entfernung und Abstand

Einstiegsaufgabe - Fähre

Zwischen der Insel und dem Festland soll bald eine Fähre fahren. Nun wird überlegt, wo genau der Anleger für diese Fähre gebaut werden soll.

1. Es gibt schon drei markierte Stellen A, B und C. Welche Stelle empfiehlst du? Begründe.
2. Der Kapitän wendet ein: "Alle drei Vorschläge für die Anlegestelle sind nicht ideal. Es gibt noch eine bessere Stelle."
   Wo liegt diese Anlegestelle D?
   Kannst du es auch mathematisch begründen?

Ein wichtiges Kriterium ist die Länge der Strecke: Damit die Fähre möglichst schnell am Festland ist und umgekehrt, sollte die zu fahrende Strecke möglichst kurz sein.

Finde die Anlegestelle D, die eine kürzere Strecke zwischen Festland und Insel ergibt. Hat diese eine besondere mathematische Eigenschaft?

Hier findest du die Lösung eingezeichnet. Beschreibe noch, welche mathematische Eigenschaft die Strecke hat.

Erklärvideo 9

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Übung 25: Entfernung und Abstand

Fülle die Lücken aus.

Die Entfernung zwischen zwei Punkten ist die Länge der Verbindungsstrecke zwischen ihnen.
Der Abstand zwischen einem Punkt P und einer Geraden g ist die Verbindungsstrecke, die am kürzesten ist. Das ist die Senkrechte zur Geraden g, die durch den Punkt P geht.
Der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden ist ebenfalls die Senkrechte zwischen diesen beiden Geraden. Hier wird kein besonderer Punkt benötigt, da der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden immer gleich ist.

Übung 26: Ist das der Abstand?

Bearbeite die folgenden LearningApps.

Übung 27 (im Heft)

Bearbeite die folgenden Aufgaben im Heft.

• S. 106, Nr. 1, 2, 3
• S. 107, Nr. 10, 11

Gehe wie folgt vor:

1. Zeichne das Koordinatensystem (x-Achse 14cm lang und y-Achse 13 cm lang; 2 Kästchen entsprechen dabei einer Einheit).
2. Trage die Punkte A bis D ein.
   z.B. A(2\12) --> 2 Schritte nach rechts; 12 Schritte nach oben.
3. Verbinde nun alle Punkte miteinander.
   z.B. A mit B, A mit C, A mit D; dann B mit C, B mit D; ...
4. Miss die einzelnen Strecken, die du gerade eingezeichnet hast und notiere die Länge.

Nachdem du das Koordinatensystem gezeichnet und die Punkte eingetragen hast, erhältst du die folgenden Entfernungen:
Falls du nur 1 Kästchen pro Einheit gewählt hast, sind die Entfernungen der Punkte nur halb so lang.

Übertrage die Abbildung von Nr. 2 in dein Heft. Zeichne zu beiden Geraden durch jeden Punkt die Senkrechten ein. Gehe wie folgt vor:

1. Lege das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade g.
2. Zeichne durch die einzelnen Punkte P, Q, R, S eine Senkrechte zu g.
   D.h. insgesamt 4 Senkrechte.
3. Lege das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade h und zeichne hier auch durch jeden Punkt P, Q, R, S eine Senkrechte zu h.
   D.h. wieder insgesamt 4 Senkrechte.
4. Miss nun die einzelnen Strecken, die du gerade eingezeichnet hast und notiere die Länge.

Für die im Heft gemessenen Abstände gilt:

• Die Punkte P, Q, R, S haben jeweils einen Abstand von 1,5 cm zur Geraden g.
• Die Punkte P, Q, R, S haben jeweils einen Abstand von 1,4 cm zur Geraden h.

Für im Buch gemessene Abstände gilt:

• Die Punkte P, Q, R, S haben jeweils einen Abstand von 1,2 cm zur Geraden g.
• Die Punkte P, Q, R, S haben jeweils einen Abstand von 1,1 cm zur Geraden h.

Applet von C.Buß-Haskert

Gehe wie folgt vor:

1. Zeichne eine beliebige Gerade g. (nicht auf den Gitterlinien deines Heftes)
2. Zeichne oberhalb und unterhalb der Geraden g eine parallele Linie mit dem Abstand 2 cm.
3. Zeichne oberhalb und unterhalb der Geraden g eine parallele Linie mit dem Abstand 4 cm.
4. Zeichne oberhalb und unterhalb der Geraden g eine parallele Linie mit dem Abstand 6 cm.

z.B.

Zeichne das Dreieck durch Abzählen der Kästchen in dein Heft. Gehe anschließend wie folgt vor:

1. Suche dir einen Eckpunkt aus, z.B. A.
2. Lege nun das Geodreieck mit der Mittellinie auf die gegenüberliegende Seite des Eckpunktes A. (Das ist hier die Strecke zwischen den Punkten B und C.)
3. Schiebe dein Geodreieck auf der Strecke nun so weit vor oder zurück, bis du mit der Zeichenkante an den Punkt A gelangst.
4. Zeichne nun die Senkrechte ein.
5. Gehe genauso bei den anderen Eckpunkten vor.

Zeichne die Gerade und die Punkte durch Abzählen der Kästchen in dein Heft. Gehe anschließend wie folgt vor:

1. Zeichne durch die Punkte A, B und C jeweils eine Parallele zu der Geraden a. (d.h. insgesamt 3 parallele Geraden)
   Tipp: Parallele zu a durch A zeichnen:
   Lege hierfür dein Geodreieck mit den parallelen Hilfslinien auf die Gerade a. Schiebe dein Geodreieck so weit hoch/ runter, bis die Zeichenkante des Geodreiecks durch den Punkt A geht. Zeichne nun die Parallele. (Gehe genauso bei den Punkten B und C vor.)
2. Nun musst du die Abstände zwischen den einzelnen parallelen Geraden und der Geraden a bestimmen. Zeichne hierfür Senkrechte ein.
   Tipp: Senkrechte zu den parallelen Geraden von a und der durch A gehenden Parallelen zeichnen: Lege hierfür das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade a und zeichne eine Senkrechte zwischen den Geraden ein.
   Miss anschließend die Länge dieser Senkrechten und notiere diese.

Übung 28 (im Heft)

Übertrage durch Abzählen der Kästchen ins Heft und bestimme die Abstände der Punkte von der Geraden g.

1. Zeichne die Gerade und die Punkte durch Abzählen der Kästchen in dein Heft. Beginne bei den blauen Punkten, um die Gerade abzuzeichnen. Um die einzelnen Punkte zu übertragen, kannst du das Abzählen der Kästchen auch immer beim blauen Punkt starten.
2. Um den Abstand zu bestimmen, musst du eine Senkrechte von jedem einzelnen Punkt zu der Geraden g zeichnen.
3. Lege hierfür dein Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade g und schiebe es so weit vor oder zurück, bis es mit der Zeichenkante durch den entsprechenden Punkt geht und du die Senkrechte einzeichnen kannst.
4. Miss nun die Länge der eingezeichneten Strecke mit dem Geodreieck und du hast den Abstand bestimmt.

Knobelaufgabe

Schaffst du auch die folgende Aufgabe? Sie ist etwas kniffliger.

• S. 106, Nr. 9

Zeichne zu beiden Geraden jeweils parallele Geraden ein. Gehe wie folgt vor:

1. Lege das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade g und zeichne oberhalb als auch unterhalb der Geraden g eine Parallele mit dem Abstand 2 cm. Zeichne die parallelen Geraden mit einem farbigen Stift.
2. Lege das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade h und zeichne oberhalb als auch unterhalb der Geraden h eine Parallele mit dem Abstand 3 cm. Zeichne die parallelen Geraden mit einem anderen farbigen Stift.
3. Die 4 Schnittpunkte der parallelen Geraden sind die möglichen Punkte, die von g einen Abstand von 2 cm und gleichzeigt von h einen Abstand von 3 cm haben.

Die Punkte P, Q, R, S sind die möglichen Punkte, die von g einen Abstand von 2 cm und gleichzeitig von h einen Abstand von
3 cm haben.

3) Koordinatensystem

5) Symmetrie