Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung

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Allgemeine Hinweise

Lernpfad: Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung

Zuerst erklären wir Dir wichtige Begriffe und Zusammenhänge. Danach kannst Du selbständig die Aufgaben bearbeiten. Du benötigst Papier und Stifte, Lineal und Taschenrechner. Zu jedem Kapitel wurden Aufgaben beigefügt, die Dir dabei helfen das Wissen besser zu verstehen und zu vertiefen. Bei diesen Aufgaben handelt es sich um 3 verschiedene Schwierigkeitsstufen, die farblich gekennzeichnet sind:

• Schwierigkeitsstufe I mit gelbem Titel: leichte Aufgaben.
• Schwierigkeitsstufe II mit blauem Titel: mittelschwere Aufgaben.
• Schwierigkeitsstufe III mit grünem Titel: schwere Aufgaben

Die mit einem Sternchen markierten Aufgaben sind insbesondere für den LK gedacht.

Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Lernpfades!

Monotonie

Extrema

Wendepunkte

Verhalten im Unendlichen und Nahe Null

Wendepunkte

Wendepunkte

Merke: Definition

Ein Wendepunkt beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das Krümmungsverhalten des Graphes ändert. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben

Gib die Wendepunkte im Graphen an.

Merke: Definition 2

An einem Wendepunkt $x_W$ einer Funktion $f(x)$ ist die Steigung in der näheren Umgebung maximal bzw. minimal. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion $f'(x)$ im Punkt $x_W$ einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion $f''(x)$ in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

Zusammenfassung:

• notwendiges Kriterium: $f''(x_W)=0$
• hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W) \neq 0$, Wobei gilt: $f'''(x_W) > 0 \Rightarrow$RLW oder $f'''(x_W) < 0 \Rightarrow$LRW

Berechnen des Wendepunktes

• Notwendiges Kriterium: Nullstellen $x_W$ der zweiten Ableitung berechnen

• Hinreichendes Kriterium: Einsetzen der berechneten Funktionstherms $x_W$ in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

• Berechnen des Funktionswertes durch einsetzen des Funktionstherms $x_W$ in die Ursprüngliche Funktion

Beispiel: Gegeben sei die Funktion $f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2$

• Notwendiges Kriterium: $f''(x_W)=0$

$f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x$

$f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10$

$f'''(x)=14x$

$f''(x_W)=7x_W^2-10=0$

$\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7}$

$\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}$

$\Rightarrow x_{W1}=+\sqrt{\frac{10}{7}}$ und $x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}$

• Hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W)\neq 0$

$f'''(x_{W1})=20>0$ und $f'''(x_{W2})=-20<0$

$\Rightarrow$An $x_{W1}$ liegt eine Recht-links-Wendestelle und $\Rightarrow$ an $x_{W2}$ eine Links-rechts-Wendestelle vor.

Und nun du...

Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen

Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktion

$g(x) = \frac{2x^5}{25}-x^3+\frac{25x}{8}$

Rechnung: Notwendiges Kriterium: $g''(x_W)=0$

$g'(x)=\frac{10x^4}{25}-3x^2+\frac{25}{8}$

$g''(x)=\frac{40x^3}{25}-6x=\frac{8}{5}x^3-6x$

$g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6$

$g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0$

$\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0$

$\Rightarrow x_{W1}=0$ und $(\frac{8}{5}x_{W2/3}^2-6)=0$

$\Rightarrow x_{W2/3}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}$

$\Rightarrow x_{W2}=+\sqrt{\frac{30}{8}}$ und $x_{W3}=-\sqrt{\frac{30}{8}}$

• Hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W)\neq 0$

$f'''(x_{W1})=-6<0$ und $f'''(x_{W2})=12>0$ und $f'''(x_{3})=-24<0$

$\Rightarrow$An $x_{W1}$ liegt eine Links-rechts-Wendestelle, an $x_{W2}$ eine Rechts-links-Wendestelle und an $x_{W3}$ eine Links-rechts-Wendestelle vor.

Verhalten im Unendlichen und nahe Null

Merke

Das Verhalten einer Funktion $f$ im Unendlichen beschreibt, wie sich der Funktionswert $f(x)$ verhält, wenn $x$ gegen $\pm\infty$ geht, also für sehr große positive und negative Werte von $x$. Bei ganzrationalen Funktionen der Form $f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0$ kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von $x$ anschaut. Betrachte also $g(x)=a_n x^n$. Im Unendlichen verhalten sich $f$ und $g$ gleich, du musst also nur das Verhalten im Unendlichen von $g$ untersuchen. Es gibt vier Fälle, die du dabei unterscheiden musst:

$n$ gerade	$n$ ungerade
$n$ gerade und $a_n>0$: $f$ verläuft "von links oben nach rechts oben", $f(x)\rightarrow \infty$ für $x\rightarrow\pm\infty$	$n$ ungerade und $a_n>0$: $f$ verläuft "von links unten nach rechts oben", $f(x)\rightarrow -\infty$ für $x\rightarrow -\infty$, $f(x)\rightarrow \infty$ für $x\rightarrow\infty$
$n$ gerade und $a_n<0$: $f$ verläuft "von links unten nach rechts unten", $f(x)\rightarrow -\infty$ für $x\rightarrow\pm\infty$	$n$ ungerade und $a_n<0$: $f$ verläuft "von links oben nach rechts unten", $f(x)\rightarrow \infty$ für $x\rightarrow -\infty$, $f(x)\rightarrow -\infty$ für $x\rightarrow\infty$

Merke

Das Verhalten einer Funktion $f$ nahe Null beschreibt, wie sich der Funktionswert $f(x)$ verhält, wenn $x$ gegen Null geht, also für sehr kleine Werte von $x$. Eine ganzrationale Funktion der Form $f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0$ verhält sich nahe Null wie die Summe aus dem absoluten Glied $a_0$ und dem Summanden mit der geringsten Potenz von x, die im Funktionsterm auftaucht.

Beispiel 1

$f(x)=5x^2-3x+4$ verhält sich im Unendlichen wie $g(x)=5x^2$. Für $x\rightarrow -\infty$ geht $f(x)\rightarrow\infty$ und für $x\rightarrow \infty$ geht $f(x)\rightarrow\infty$, da $n=2$ eine gerade Zahl ist und $a_n=5>0$. Nahe Null verhält sich $f$ wie $h(x)=-3x+4$. Wenn man sich ein kleines Intervall um $x=0$ anschaut, sieht der Graph von $f$ dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von $f$ ist daher auch 4.

Beispiel 2

$f(x)=x^5+4x^2-7$ verhält sich im Unendlichen wie $g(x)=x^5$. Für $x\rightarrow -\infty$ geht $f(x)\rightarrow -\infty$ und für $x\rightarrow \infty$ geht $f(x)\rightarrow\infty$, da $n=5$ eine ungerade Zahl ist und $a_n=1>0$ . Nahe Null verhält sich $f$ wie $h(x)=4x^2-7$, also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (und y-Achsenabschnitt) bei $(0,-7)$.

Aufgabe 1 - Quiz zum Verhalten im Unendlichen

Öffne das Quiz im Vollbildmodus und wähle die jeweils richtigen Antworten aus. Es können eine oder mehrere Antworten richtig sein. Es kann helfen, dir Notizen zu machen.

Aufgabe 2 - Beschreibe das Verhalten

Beschreibe in deinem Heft das Verhalten der nachfolgenden Funktionen und Funktionenscharen im Unendlichen und nahe Null. Gehe dazu vor wie in den Merkboxen oben.

a) $f(x)=x^2-\frac{4}{3}x^2-3x+9$

Beachte, dass du manchmal den Funktionsterm erst zusammenfassen musst.

Zusammengefasst ist $f(x)=-\frac{1}{3}x^2-3x+9$. $f$ verhält sich daher im Unendlichen wie $g(x)=-\frac{1}{3}x^2$. Da $n=2$ eine gerade Zahl ist und $a_n=-\frac{1}{3}<0$, geht $f(x)\rightarrow-\infty$ für $x\rightarrow \pm\infty$. Der Graph von $f$ verläuft also von links unten nach rechts unten.

$f$ verhält sich nahe Null wie $h(x)=-3x+9$, also wie eine fallende Gerade mit Steigung $-3$ und y-Achsenabschnitt $9$.

b)* $f_a(x)=-7x^5+ax^3$ mit $a>0$

Gehe bei Funktionenscharen genau so vor wie bei normalen Funktionen.

$f_a$ verhält sich im Unendlichen wie $g(x)=-7x^5$. Da $n=5$ eine ungerade Zahl ist und $a_n=-7<0$, geht $f(x)\rightarrow\infty$ für $x\rightarrow -\infty$ und $f(x)\rightarrow-\infty$ für $x\rightarrow \infty$. Der Graph von $f$ verläuft also von links oben nach rechts unten.

$f_a$ verhält sich nahe Null wie $h_a(x)=ax^3$, also wie eine Funktion dritten Gerades, die von links unten nach rechts oben geht, da $a$ positiv ist. Der y-Achsenabschnitt ist $0$, da das absolute Glied im Funktionsterm von $f$ nicht auftaucht und daher Null ist.

c)* $f_a(x)=-ax^3+2x^2-\frac{4}{7}$ mit $a<0$

Überlege dir zunächst, welches Vorzeichen $a_n$ hat, wenn $a$ negativ ist.

$f_a$ verhält sich im Unendlichen wie $g_a(x)=-ax^3$. Da $n=3$ eine ungerade Zahl ist und $a_n=-a>0$, da $a<0$ ist, geht $f(x)\rightarrow-\infty$ für $x\rightarrow -\infty$ und $f(x)\rightarrow\infty$ für $x\rightarrow \infty$. Der Graph von $f$ verläuft also von links unten nach rechts oben.

$f_a$ verhält sich nahe Null wie $h(x)=2x^2-\frac{4}{7}$, also wie eine nach oben geöffnete Parabel mit y-Achsenabschnitt $-\frac{4}{7}$.

Zusammenfassung

Lückentext

Vollständige Kurvendisskusion