Benutzer:Buss-Haskert/Einführung Rationale Zahlen

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1) Einführung Rationale Zahlen
2) Vergleichen und ordnen von rationalen Zahlen
3) Rationale Zahlen im Koordinatensystem
4) Rationale Zahlen addieren und subtrahieren
5) Rationale Zahlen multiplizieren und dividieren
6) Verbindung der Rechenarten
7) Checkliste

Lernpfad: Einführung in die Rationalen Zahlen

Lernziele - Was lernst du in diesem Lernpfad?

In diesem Lernpfad lernst du negative Zahlen kennen. Nachdem du den Lernpfad bearbeitet hast, kannst du...

• mit den Begriffen "negative Zahlen" und "rationale Zahlen" umgehen,
• negative Zahlen vergleichen und ordnen,
• rationale Zahlen ins Koordinatenkreuz eintragen.

Die Buchseiten im Lernpfad beziehen sich auf das Lehrbuch "Schnittpunkt Mathematik 7 - Differenzierende Ausgabe" aus dem Klett-Verlag.

0) Vorwissen

Du kannst	Übungen im Buch	Erklärvideo	Übungen online
-natürliche Zahlen ordnen	S. 46 Nr. 1
-mit natürlichen Zahlen rechnen	S. 46 Nr. 2		Öffne die Seite matheaufgaben.net, dort findest du umfangreiche Übungen zum Kopfrechnen. Stelle den Schwierigkeitsgrad passend für dich ein. Übungen S. 173
-Brüchen ordnen	S. 46 Nr. 3
-mit Brüchen rechnen	S. 46 Nr. 4	Video laden YouTube YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie FortfahrenAusblenden	Öffne die Seite matheaufgaben.net Bruchrechnung, dort kannst du die Rechenart, die du üben möchtest, einstellen. Übungen S. 178/179
-mit Dezimalbrüchen rechnen	S. 46 Nr. 5		Öffne die Seite Aufgabenfuchs Dezimalzahlen und löse dort Nr. 13 bis Nr. 17. Übungen S. 179/180
-Punkte im Koordinatenkreuz ablesen und eintragen	S. 46 Nr. 6

Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch!

1) Einführung in die Rationalen Zahlen

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Frage

Was sind negative Zahlen und wo begegnen sie uns im Alltag?

Wo begegnen uns negative Zahlen?

Überlegt gemeinsam, wo uns negative Zahlen im Alltag begegnen. Notiert einige Beispiele auf dem Protokoll und löst dann das Suchsel, indem ihr die Lösungen markiert. Unter dem Suchsel könnt ihr euch Hilfen einblenden lassen.

Die Fotos geben dir Hinweise auf die gesuchten Wörter.

Die Anfangs- und Endbuchstaben geben dir Hinweise auf die gesuchten Wörter 

M_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ L
T_ _ _ _ _ _ _ _ R
K _ _ _ _ _ _ _ _ D
F _ _ _ _ _ _ _ L

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Merke

• Zahlen unter Null, wie z.B. am Thermometer, im Fahrstuhl oder bei Schulden werden mit einem Minus-Zeichen geschrieben und heißen negative Zahlen. Das Minus-Zeichen ist ein Vorzeichen.
• Zahlen über Null haben ein + als Vorzeichen und heißen positive Zahlen.
• Die Null ist weder positiv noch negativ.
• Die positiven und negativen Zahlen zusammen bilden die rationalen Zahlen, kurz ℚ.
  Dazu gehören sowohl Brüche (z.B. $\frac{1}{2}$; -$\frac{2}{3}$; -8,6) als auch ganze Zahlen (z.B. 8; -5; -178).

1.1) Die Zahlengerade

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Frage

Was ist der Unterschied zwischen der 4 unter der Null und der 4 über der Null?

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Vom Zahlenstrahl zur Zahlengeraden

Ordne den Satzanfängen das richtige Satzende zu. Übertrage die Zeichnung und die Sätze in dein Heft.
Wir erweitern unseren bekannten Zahlenstrahl zu einer Zahlengeraden:

Positive und negative Zahlen können wir an der Zahlengeraden darstellen:
Die negativen Zahlen liegen links von der Null.
Die positiven Zahlen liegen rechts von der Null.
Die Null liegt in der Mitte.

Übung 1

Finde zu jeder Situation eine passende ganze Zahl. Ordne die Situation an die richtige Stelle auf der Zahlengeraden.

Übung 2

Trage jeweils das passende Vorzeichen ein.

Übung 3

Wo begegnen uns negative Zahlen im Alltag? Bearbeite die nachfolgende App-Matrix.

Übung 4 Zahlengerade

Löse S. 48 Nr. 1 und S. 49 Nr. 3 und 4a,b,c.

Ergänze im Kopf die Zahlengerade so, dass du die Zahlen 0 und -1 eintragen kannst. Welche Bedeutung hat dann ein Abschnitt?

Zwischen der Zahl 0 und -1 sind 16 Teilabschnitte. Daher ist ein Abschnitt immer $\tfrac{1}{16}$.
Die Lösungen lauten also -$\tfrac{3}{16}$; -$\tfrac{7}{16}$; -$\tfrac{10}{16}$=-$\tfrac{5}{8}$; -$\tfrac{13}{16}$

Beachte die Aufgabenstellung: Einige Pfeile sind falsch beschriftet, welche?

Zähle die Abschnitte zwischen 0 und -1. Dies sind 5. Welche Bedeutung hat dann ein Teilstrich? $\tfrac{1}{5}$!
Also sind die Angaben -$\tfrac{1}{4}$ und -1$\tfrac{1}{2}$ falsch!

Zähle die Abschnitte zwischen 0 und -1. Dies sind 9. Welche Bedeutung hat dann ein Teilstrich? $\tfrac{1}{9}$!
Also sind die Angaben -$\tfrac{1}{6}$ und -$\tfrac{2}{3}$ falsch!

a) Zeichne eine Zahlengerade von -6 bis +4. 1 Einheit entspricht 1 cm. Trage dann die Zahlen ein.
b) Zeichne eine Zahlengerade von -8 bis +1. 1 Einheit entspricht 1 cm. Trage dann die Zahlen ein.

c) Zeichne eine Zahlengerade von -70 bis +50. 1 Einheit entspricht 1 mm, also 10 Einheiten 1cm. Trage dann die Zahlen ein.

d) Zeichne eine Zahlengerade von -5 bis +3. 1 Einheit entspricht 1 cm. Wandle dann die Brüche in Dezimalbrüche um, indem du die Brüche jeweils auf den Nenner 10 oder 100 erweiterst:

+2$\frac{2}{5}$=+2$\frac{4}{10}$=+2,4.

Übung 5 Höhenmeter

Löse S. 49 Nr. 6.

Lösung: 0,8; – 0,3; – 1,2; – 2,3; 1,1; – 1,2

Übung 6 Neue Zahlen

Löse S. 49 Nr. 8 gemeinsam mit deinem Sitznachbarn. Begründet eure Entscheidung!

a) Die Aussage ist richtig, denn Brüche sind Teilmengen der rationalen Zahlen.
b) Die Aussage ist richtig, negativ bedeutet ja "nicht positiv".
c) Die Aussage ist falsch, denn Null gehört zu den ganzen Zahlen.
d) Die Aussage ist richtig, es liegen sogar unendlich viele rationale Zahlen dazwischen.

e) Die Aussage ist falsch. Man kann von der Null etwas abziehen, dann kommt man in den Bereich der negativen Zahlen.

Übung 7

Welche Zahl liegt in der Mitte zwischen -8 und 6?
Benutze die Zahlengerade, um die Aufgabe zu lösen.
Beschreibe im Heft, wie du die Aufgabe gelöst hast.

Übung 8

Von den beiden folgenden Aufgaben wähle eine aus. Die linke Aufgabe ist etwas leichter als die rechte Aufgabe. Nutze für beide Aufgaben die Zahlengerade.

Welche Zahl liegt genau in der Mitte der angegebenen Zahlen?

(Die Sternchen-Aufgaben sind schwerer als die anderen.)

a) 7 und 17
b) -8 und 0
c) -8 und 12
d) -2 und 6
e) -100 und -36 (*)
f) -28 und 12 (*)

Die gesuchte Zahl muss zu beiden Zahlen denselben Abstand haben.

a) 12 b) -4 c) 2 d) 2 e) -68 f) -8

Übung 9

Löse Buch S. 49 Nr. 7

Wie viele Anschnitte müssten zwischen den Zahlen gezeichnet werden? An welcher Stelle läge dann die gesuchte Zahl? Ergänze eventuell im Heft.

Zwischen -2 und 6 sind 8 Schritte Unterschied. Wo ist dann die Mitte?

Zwischen -7,5 und 2,5 liegen 10 (ganze) Schritte. Wo ist dann die Mitte?
Zwischen -2,4 und 0,6 liegen 3 (ganze) Schritte. Wo ist dann die Mitte? Im gleichen Abstand ist die Markierung links von -2,4.

Lösungen (bunt gemischt):– 6; -3,9; -2,5; -0,9; 2

Die Mitte zwischen zwei Zahlen

Welche Zahlen kannst du für die Fragezeichen einsetzen? Löse und begründe deine Antwort im Heft.

Man kann für die Fragezeichen alle Zahlen einsetzen, die sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden, also z.B. -3 & 3, -18 & 18, -5 & 5,… , da diese Zahlenpaare denselben Abstand zur 0 haben.

1.2) Gegenzahl und Betrag

Gegenzahl und Betrag

Zwei Zahlen, die ein entgegengesetztes Vorzeichen, aber zur Null denselben Abstand haben, heißen entgegengesetzte Zahlen oder Gegenzahlen.

Der Abstand einer Zahl zur 0 heißt Betrag und wird mit Betragsstrichen gekennzeichnet, z.B. |-4| = 4; |+4| = 4.

Übung 10

1. Schreibe den Merkkasten in dein Heft ab.
   
2. Notiere im Heft drei Beispiele zu entgegengesetzten Zahlen und zwei Beispiele zum Betrag. Du darfst Beispiele aus den Aufgaben nehmen.
   
3. Löse die LearningApps.

1.3) Weitere Erklärungen zum Betrag

Der Betrag gibt den Abstand von einer Zahl zur 0 an. Sowohl von der -9 als auch von der 9 muss man 9 Schritte bis zur 0 gehen. Deswegen haben -9 und 9 denselben Abstand, also auch denselben Betrag. Der Betrag ist immer positiv, hat also immer ein "+" als Vorzeichen, weil man ja nicht z.B. -9 Schritte gehen kann. Der Betrag der 0 ist 0, da man ja keine Schritte mehr laufen muss, um zur 0 zu gelangen.

Übung 11

Bearbeite die nachfolgende LearningApp zum Betrag einer Zahl.

Zwischentest 1

Bist du fit?

Hast du alle Hefteinträge abgeschrieben und alle Aufgaben gelöst? Dann bearbeite den Test 1.
Bearbeite den Test allein.

Wie viele Punkte hast du erreicht? Wähle den passenden Link unten aus.

weniger als 0-7 Punkte: weitere Übungen

8-10 Punkte: 2) Vergleichen und ordnen von rationalen Zahlen