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Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten

Der folgende Lernpfad hilft dir, dein Wissen über den Differenzial- und den Differenzenquotienten aufzufrischen.

• Das erste Kapitel bietet dir die Möglichkeit, die charakteristischen Merkmale des Differenzial- und des Differenzenquotienten in Form von Förderaufgaben zu wiederholen. Aufgabe 1 führt die wichtigsten Begriffe auf und in Aufgabe 2 wird der graphische Zusammenhang thematisiert.

• Im zweiten Kapitel gehen wir einen Schritt weiter. In Aufgabe 3, 4 und 5 könnt ihr an verschiedenen Sachverhalten den Umgang mit dem Differenzen- und dem Differenzialquotienten üben.

• Zum Schluss findet ihr in Kapitel 3 unter Aufgabe 6 eine Forderaufgabe, die einige Rechenaufgaben beinhaltet. Auch hier liegt nochmal ein anderer Sachzusammenhang vor.

Viel Spaß beim Bearbeiten der Aufgaben und viel Erfolg! :)

Umgang mit den Begriffen Differenzen- und Differenzialquotient (Förderaufgaben)

1. Unterschied zwischen Differenzen- und Differenzialquotient

Mit dem Differenzenquotienten berechnet man die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Abschnitt, mit dem Differenzialquotienten die Steigung zu einem gewissen Zeitpunkt

Differenzenquotient	Differenzialquotient
die Steigung zwischen zwei Punkten A und B	die Steigung im Punkt P
die durchschnittliche Steigung	die Ableitung an der Stelle $x_0$
die Sekante	die Tangente
durchschnittliche Änderungsrate	momentane Änderungsrate
$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$	$f'(x_0)$

2. Quiz zur Grenzwertbildung

Im Folgenden seht ihr einen Graphen. Darin dargestellt ist eine Funktion, auf der die Punkte P und A markiert sind. Die blaue Gerade stellt die Tangente an die Funktion im Punkt P dar. Die gelbe Gerade ist die Sekante durch die Punkte P und Q.

Ihr könnt sowohl die Punkte auf dem Graph verschieben als auch durch die Schieberegler den Abstand h zwischen den Punkten P und A verändern.

Guckt euch genau an, was durch eure Verschiebungen passiert und beantwortet danach die Quizfragen unter der Graphik (die Glühbirne oben links in der Ecke könnte hilfreich sein).

Differenzen- und Differenzialquotient im Sachkontext

3. Immer diese Erkältungen...

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Nutze Aufgabe 1, um dir die beiden Begriffe Differenzen- und Differenzialquotient deutlich zu machen.

Ein kleines Beispiel, wie du die Einheit der durchschnittlichen Änderung mit Hilfe des Differenzenquotienten bestimmen kannst: Sei $f(t)$ eine Funktion mit $t$ = Zeit in Stunden und $f(t)$ = Strecke in km . Der Differenzenquotient lautet ja ganz allgemein $\frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}$. Da $f(t)$ nach der Aufgabenstellung die Einheit km hat, steht im Zähler des Differenzenquotienten auch die Einheit km. Da $t$ die Einheit Stunden hat, steht im Nenner dementsprechend die Einheit Stunden. Es ergibt sich also für die durchschnittliche Änderung der Strecke die Einheit $\frac{km}{h}$

Hier findest du die Lösungen:

zu den ersten beiden Lücken: In einem Graphen ist die y-Achse immer in Abhängigkeit von der x-Achse.

3. und 4. Lücke: Der Differenzenquotient beschreibt die durchschnittliche Änderung in einem bestimmten Intervall.

5. Lücke: Man berechnet mit dem Differenzenquotienten $\frac {f(2) - f(0)}{2 h - 0 h} = \frac {0,55 mg/L - 0 mg/L}{2 h - 0 h} = 0,2665 \frac{mg}{L * h}$.

6. und 7. Lücke : Der berechnete Differenzenquotient entspricht der Steigung der Sekante im entsprechenden Intervall $[0,2]$.

8. Lücke: Im Schnitt nimmt die Medikamentenkonzentration in den ersten zwei Stunden mit einer Geschwindigkeit von $0,2665 \frac{mg}{L}$ pro Stunde zu.

9. und 10. Lücke: Momentane Änderungsraten bestimmst du mit dem Differenzailquotienten (Ableitung).

11. Lücke: Die momentane Änderungsrate hat die gleiche Einheit wie die durchschnittliche Änderungsrate ( $\frac{mg}{L}$ pro Stunde ).

12. und 13. Lücke: Die momentane Änderungsrate in einem Punkt entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Aus der Skizze kann man entnehmen, dass die Tangentensteigung in den ersten zwei Stunden durchgehend positiv ist.

4. Besucherzahl im Bundestag

Nachdem im Politikunterricht das deutsche politische System behandelt wurde, soll nun ein Ausflug zum Deutschen Bundestag geplant werden. Doch bevor der Kursausflug startet, sollen die Besucherzahlen zwischen 10.00 Uhr und 18.00 Uhr analysiert werden.

Die nachfolgende Tabelle stellt die Besucherzahlen zwischen 10.00 Uhr und 18.00 Uhr dar:

Uhrzeit	10.00	11.00	12.00	13.00	14.00	15.00	16.00	17.00	18.00
Besucherzahl	375	270	400	475	512	520	520	350	320

a)

b) Deine nächste Aufgabe ist, mithilfe des Graphen ungefähr zu bestimmen in welchen Zeitintervallen die Besucherzahlen zu- sowie abnehmen. Notiere die Lösung auf einem Zettel.

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Überlege dir zunächst, was Intervalle sind. Im Anschluss bilde die einzelnen Intervalle.

Hier ein Beispiel, wie du berechnen kannst, ob etwas zu- oder abnimmt:

Zwischen 13.00 Uhr und 15.00 Uhr gilt (520-475):2= 22,5, also eine Zunahme der Besucherzahl zwischen den beiden Uhrzeiten.

Vergleiche deine Lösung hier:

Von 10 bis 12 Uhr nimmt die Besucherzahl zu. Dann steigt die Anzahl der Besucher bis 15.00 Uhr, dies lässt sich gut erkennen, da sich die Besucherzahl um jede weitere Stunde erhöht. Von 15.00 bis 16.00 bleibt die Anzahl der Besucher konstant, um 15.00 und 16.00 sind nach der Tabelle jeweils 520 Besucher im Bundestag.

Ab 16.00 fällt erneut die Anzahl der Besucher.

c)

Schau dir die Tabelle und den Graphen noch einmal anschauen und achte dabei auf Besonderheiten. Was fällt dir besonders auf? Weiter stell Vermutungen auf, was mögliche Gründe für stärker und schwächer besuchte Uhrzeiten sind.

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Beachte die Uhrzeiten und werde kreativ beim Erklären, weshalb der Graph zu bestimmten Uhrzeiten ab- oder zunimmt.

Besonders könnte beispielsweise sein, wenn zu einem bestimmten Zeitpunkt viele Menschen den Bundestag besuchen wollen. Überlege dir zum Beispiel, welche Programme für die Besucher zu dieser Uhrzeit dort angeboten werden können.

Vergleiche deine Lösung hier:

Lösungsvorschlag: Auffällig ist unter anderem, dass viele Besucher bereits um 10.00 Uhr oder zwischen Mittag und Nachmittag den Deutschen Bundestag besichtigen.

Gründe dafür könnten sein, dass zu diesen Uhrzeiten Sonderführungen angeboten werden. Ebenfalls könnte ein Grund sein, dass zu diesen Zeiten der Deutsche Bundestag tagt und dieses ein besonderes Erlebnis für die Besucher sein könnte.

Über die weniger stark besuchten Uhrzeiten lässt sich spekulieren.

An dieser Stelle sei angemerkt, dass dies nur ein Lösungsvorschlag ist. Solange logisch argumentiert wurde, ist jede Vermutung richtig.

5. Studenten und Geschwindigkeit

Schaue dir die Graphen an und beantworte mithilfe des Differenzen- und Differentialquotienten die anschließenden Fragen. Führe die dazu nötigen Rechnungen in deinem Heft durch. Falls du Schwierigkeiten hast, schaue dir den Tipp am Ende der Aufgabe an.

a)

b)

Die ersten Fragen von 5a und 5b kannst du jeweils durch Annäherung des Differentialquotienten beantworten. Die jeweils letzten Fragen werden durch den Differenzenquotienten berechnet.

Rechenbeispiel (Forderaufgabe)

6. Preis- und Nachfrageberechnung mithilfe von Differenzen- und Differenzialquotient

Passend zum Winter wollen sich die Leute mit Schals eindecken. Die Menge $M$ der Schals, die zum Preis $p$ verkauft werden kann, lässt sich durch folgende Beziehung beschreiben: $M(p)=-250p^2+156250$. Je größere Werte die Funktion $M(p)$ annimmt, desto höher ist also die Nachfrage der Konsumenten nach Schals.

a) Bestimme, wie stark die Nachfrage sinkt, wenn der Preis von 10€ auf 12€ bzw. von 15€ auf 20€ erhöht wird. Wie hoch ist in beiden Fällen die durchschnittliche Abnahme je € Preissteigerung? Rechne die Lösung dazu zuerst in deinem Heft aus. Danach kannst du sie in die Felder unten eintragen und überprüfen, ob die Lösung stimmt.

Die Formel für den Differenzenquotienten lautet: $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. Aber Achtung: Sie wird nicht für jede Rechnung benötigt.

Überlege dir genau, was du mit dem Differenzenquotienten ausgerechnet hast und erinnere dich an die Beschreibung "durchschnittliche Änderungsrate".

Um den Nachfragerückgang zu berechnen bildet man die Differenz der Nachfragen bei verschiedenen Preisen. Man rechnet für die ersten beiden Lücken beispielhaft: $M(12)-M(10)=-250 \cdot 12^2+156250-(-250*10^2+156250)=-11000$. Das Ergebnis -11000 bedeutet, dass die Nachfrage um 11000 Stück zurückgegangen ist. Für den Rückgang je € benötigt man den Differenzenquotienten. Den Zähler habt ihr bereits berechnet, daher ist das vorherige Ergebnis nur noch durch $x-x_0$ zu teilen (im Beispiel (12-10)). Somit ergibt sich für die Lücken:

1. Lücke: 11000

2. Lücke: 43750

3. Lücke: 5500

4. Lücke: 8750

b) Mit welchem Nachfragerückgang muss man bei einem Preis von 8€ (15€, 20€) rechnen? Bei welchem Preis werden die Schals unverkäuflich? Rechne auch hier zuerst in deinem Heft. Danach kannst du die Lösung in die Felder unten eintragen und überprüfen, ob sie stimmt.

Hier muss mit der momentanen Änderungsrate, also der Ableitung, gearbeitet werden.

Die Ableitung ist gegeben durch: $M'(p)=-500p$

Überlege dir, was es heißt, dass die Ware unverkäuflich ist. Welchen Wert muss die Funktion für M(p) annehmen?

1. Lücke: 4000

2. Lücke: 7500

3. Lücke: 10000

Die Ware ist unverkäuflich, wenn $M(p)=0$ gilt. Die Gleichung muss dann nach $p$ aufgelöst werden. Damit:

4. Lücke: 25

Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:

• Suche dir aus den in den folgenden Abschnitten genannten Themen eines (oder mehrere) aus. Zu jedem Thema gibt es neben Förder- auch Forderaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:

• bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zu: Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate
• bei den Aufgaben 4 - 7, gehe zu: Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten
• bei den Aufgaben 8 - 11, gehe zu: Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt
• bei den Aufgaben 12 - 14, gehe zu: Graphisches Ableiten
• bei den Aufgaben 15 - 17, gehe zu: Die Ableitung im Sachkontext

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