Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und Zinsrechnung/Vermehrter und verminderter Grundwert: Unterschied zwischen den Versionen
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[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]] | |||
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}} | |||
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{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und_Zinsrechnung| Prozent-und Zinsrechnung Startseite]] | {{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und_Zinsrechnung| Prozent-und Zinsrechnung Startseite]] | ||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und_Zinsrechnung/Wiederholung:Grundwert,Prozentwert,Prozentsatz| 1) Wiederholung der Grundbegriffe: Grundwert G, Prozentwert W und Prozentsatz p%]]<br> | [[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und_Zinsrechnung/Wiederholung:Grundwert,Prozentwert,Prozentsatz| 1) Wiederholung der Grundbegriffe: Grundwert G, Prozentwert W und Prozentsatz p%]]<br> | ||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und_Zinsrechnung/Vermehrter_und_verminderter_Grundwert|2) Vermehrter und verminderter Grundwert]] | [[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und_Zinsrechnung/Vermehrter_und_verminderter_Grundwert|2) Vermehrter und verminderter Grundwert]]<br> | ||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und_Zinsrechnung/Zinsrechnung|3) Zinsrechnung]]}} | [[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und_Zinsrechnung/Zinsrechnung|3) Zinsrechnung]]<br> | ||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und Zinsrechnung/Monats- und Tageszinsen|4) Monats- und Tageszinsen]]<br> | |||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und Zinsrechnung/Tabellenkalkulation|5) Prozent-und Zinsrechnung mit einer Tabellenkalkulation]]}} | |||
==2) Vermehrter und verminderter Grundwert== | ==2) Vermehrter und verminderter Grundwert== | ||
{{Box|Einstiegsaufgabe 1 - Handykauf|[[Datei:Smartphone_-_The_Noun_Project.svg| | {{Box|Einstiegsaufgabe 1 - Handykauf|[[Datei:Smartphone_-_The_Noun_Project.svg|rechts|rahmenlos|150x150px]]Luis möchte sich ein Handy für 388€ kaufen. | ||
In einem Prospekt ist der Preis um 19% reduziert. <br> | In einem Prospekt ist der Preis um 19% reduziert. <br> | ||
Wie viel kostet das Handy nun?<br> | Wie viel kostet das Handy nun?<br> | ||
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Der Preis wird mit dem Rabatt '''um''' '''19%''' gesenkt. Das ist '''p%'''.<br> | Der Preis wird mit dem Rabatt '''um''' '''19%''' gesenkt. Das ist '''p%'''.<br> | ||
Du sparst '''73,72€'''. Das ist '''W'''.<br> | Du sparst '''73,72€'''. Das ist '''W'''.<br> | ||
Der Preis wird '''auf''' '''81%''' des ursprünglichen Preises gesenkt. Du musst also noch '''81%''' des ursprünglichen Preises bezahlen. | Der Preis wird '''auf''' '''81%''' des ursprünglichen Preises gesenkt. Du musst also noch '''81%''' des ursprünglichen Preises bezahlen. Das ist '''p<sup>-</sup>%'''<br> | ||
Du musst also noch '''314,28€''' bezahlen. Das ist '''G<sup>-</sup>'''. | Du musst also noch '''314,28€''' bezahlen. Das ist '''G<sup>-</sup>'''. | ||
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{{Box|Einstiegsaufgabe 2 - Miete|[[Datei:House-2492054 1280.png| | {{Box|Einstiegsaufgabe 2 - Miete|[[Datei:House-2492054 1280.png|rechts|rahmenlos|150x150px]]Familie Rabe wohnt in einem Haus zur Miete und zahlt monatlich 950€. Ab dem 01. Januar diesen Jahres verlangt der Vermieter 5% mehr.<br> | ||
Wie viel muss die Familie nun bezahlen?<br> | Wie viel muss die Familie nun bezahlen?<br> | ||
Finde verschiedene Möglichkeiten, die Höhe der neuen Miete auszurechnen!|Unterrichtsidee}} | Finde verschiedene Möglichkeiten, die Höhe der neuen Miete auszurechnen!|Unterrichtsidee}} | ||
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Die Miete steigt '''um''' '''5%'''. Das ist '''p%'''.<br> | Die Miete steigt '''um''' '''5%'''. Das ist '''p%'''.<br> | ||
Die Familie muss nun '''47,50€''' mehr bezahlen. Das ist '''W'''.<br> | Die Familie muss nun '''47,50€''' mehr bezahlen. Das ist '''W'''.<br> | ||
Die Miete wird '''auf''' '''105%''' des ursprünglichen Preises erhöht. | Die Miete wird '''auf''' '''105%''' des ursprünglichen Preises erhöht. Das ist '''p<sup>+</sup>%'''<br> | ||
Die Familie muss nun also '''997,50€''' bezahlen. Das ist '''G<sup>+</sup>'''. | Die Familie muss nun also '''997,50€''' bezahlen. Das ist '''G<sup>+</sup>'''. | ||
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{{h5p-zum|id=10428|height=200px}} | {{h5p-zum|id=10428|height=200px}} | ||
{{LearningApp|app=p0yoa5ba322|width=100%|height=600px}} | |||
{{LearningApp|app=pf1fi41aj22|width=100%|height=600px}} | |||
{{Box|1=Übung 3|2=Löse die Aufgaben aus dem Buch mit der Formel. Notiere so:<br> | {{Box|1=Übung 3|2=Löse die Aufgaben aus dem Buch mit der Formel. Notiere so:<br> | ||
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* S. 115 Nr. 4 | * S. 115 Nr. 4 | ||
* S. 115 Nr. 5|3=Üben}} | * S. 115 Nr. 5|3=Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Das Video zeigt dir | |||
{{#ev:youtube| | {{Lösung versteckt|1=Das Video zeigt dir zwei Beispielrechnung. Hier wird für den veränderten Prozentsatz p<sup>+/-</sup>% die Variable q verwendet.<br> | ||
{{#ev:youtube|tdxLUUZfsDU|800|center}}|2=Video mit Beispielrechnungen|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift!<br> | {{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift!<br> | ||
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8,16 €; 9,60 €; 10 €; 20 €; 30,40 €; 36 €; 48€; 68,80 €; 79,20 €; 88 €; 120 €;|Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 2|Verbergen}} | 8,16 €; 9,60 €; 10 €; 20 €; 30,40 €; 36 €; 48€; 68,80 €; 79,20 €; 88 €; 120 €;|Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 2|Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift!<br> | {{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift!<br> | ||
Lösungen zu Nr. 3 bunt gemischt:<br> | Lösungen zu Nr. 3 bunt gemischt (auf 2 Nachkommastellen gerundet):<br> | ||
84,70; 110,08; 127,57; 192 ; 399; 2003,45; 56367,6|Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 3|Verbergen}} | 84,70; 110,08; 127,57; 192 ; 399; 2003,45; 56367,6|Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 3|Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift!<br> | {{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift!<br> | ||
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* S. 116 Nr. 7|Üben}} | * S. 116 Nr. 7|Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Tipp zu Nr. 4|2=Verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=geg: G=alter Preis; G<sup>-</sup>=neuer Preis<br> | ||
ges: p<sup>-</sup>% und p%<br> | |||
Berechne zunächst durch Umstellen der Formel (oder mit dem Dreisatz) p<sup>-</sup>%.<br> | |||
Mit diesem Wert kannst du dann p% berechnen: p% = 100% - p<sup>-</sup>%.|2=Tipp zu Nr. 4|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|[[Datei:Beispielrechnung zu Nr. 4 (S.106).jpg|400px]]|2=Beispielrechnung zu Nr. 4|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 4 (bunt gemischt). Es ist immer p% angegeben, nicht der Zwischenschritt p<sup>-</sup>%. Falls nötig, berichtige oder notiere Fragen und hake mit einem andersfarbigen Stift ab.<br> | |||
p% = 16,7%; p% = 20%; p% = 27,4%; p% = 41,7%|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 4|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Das Plakat verspricht, dass du bis zu 80% sparen kannst. Stimmt das?<br> | |||
geg: alter Preis G = 2900€; neuer Preis G<sup>-</sup>= 790€<br> | |||
ges: p% (Wie viel Prozent spare ich?)<br> | |||
Mit den gegebenen Werten kannst berechnest du zunächst p<sup>-</sup>%, also '''auf''' wie viel Prozent der Preis gesunken ist. In einer zweiten Rechnung bestimmst du dann p%.<br> | |||
p<sup>-</sup>% = <math>\tfrac{G-}{G}</math> = <math>\tfrac{790}{2900}</math><math>\approx</math> 0,272 = 27,2%<br> | |||
Der Preis wurde auf 27,2% des ursprünglichen Preises gesenkt.<br> | |||
Berechne nun p%, also, um wie viel Prozent der Preis reduziert wurde:<br> | |||
p% = 100% - p<sup>-</sup>% = 100% - 27,2% = 72,7%.<br> | |||
Du sparst also 72,7%. Das ist viel, aber nicht die versprochenen 80%. Sparst du bei den anderen Angeboten mehr?<br> | |||
Rechne ebenso.<br> | |||
Lösungen (bunt gemischt): 76%; 80%; 80,8%; 81,9% <br> | |||
Der Händler gibt also tatsächlich einen so hohen Rabatt!|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 5|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Gegeben ist jeweils der alte Preis G und der reduzierte neue Preis G<sup>-</sup>.<br> | |||
Gesucht ist der Prozentsatz p%, nämlich, wie viel Prozent gespart wurde.<br> | |||
Berechne wie in den vorangegangenen Aufgaben zunächst p<sup>-</sup>% und damit dann p%.<br> | |||
Lösungen (bunt gemischt): 16,7%; 20,1%; 30,3%|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 7|3=Verbergen}} | |||
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* S. 115 Nr. 9 | * S. 115 Nr. 9 | ||
* S. 115 Nr. 10|Üben}} | * S. 115 Nr. 10|Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Das Video zeigt dir noch einmal anhand von zwei Beispielen, wie du rechnen kannst. Hier wird für den veränderten Prozentsatz p<sup>+/-</sup>% die Variable q verwendet.<br> | |||
{{#ev:youtube|04AbpjTSeEc|800|center}}|2=Video mit Beispielrechnungen|3=Verbergen}} | |||
<br> | |||
{{Lösung versteckt|1=Stelle dir eine Anwendungssituation zur Aufgabe vor: Beispiel:<br> | |||
Der Preis für ein Snowboard wurde '''um 18% erhöht''', es kostet '''jetzt 513,30 €'''. Wie teuer war es '''ursprünglich'''?<br> | |||
Kannst du jetzt angeben, was gegeben und was gesucht ist?|2=Tipp 1 zu Nr. 9|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=geg: G<sup>+</sup> = 513,30€; p% = 18%, also p<sup>+</sup>% = 100%+18%=118%=1,18 <br> | |||
ges: G<br> | |||
Wie lautet die Formel für G? Schau im Formeldreieck nach oder forme die Grundformel G<sup>+</sup> = G· p<sup>+</sup>% nach G um.|2=Tipp 2 zu Nr. 9|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|Die Lösungen der Aufgaben auf den grünen Seiten stehen immer hinten im Buch. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.|Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 9 und 10|Verbergen}} | |||
{{Box|Übung 7|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/prozent/grundwert-erhoeht---vermindert.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben | {{Box|Übung 7|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/prozent/grundwert-erhoeht---vermindert.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben | ||
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|Üben}} | |Üben}} | ||
'''Mehrwertsteuer:'''(Information zur Aufgabe 21)<br> | =====Mehrwertsteuer===== | ||
Wenn du einkaufen gehst sind die Preise in der Regel als '''Brutto'''preis angegeben. Das bedeutet, dass in diesem Preis die Mehrwertsteuer enthalten ist. <br> | '''Mehrwertsteuer:''' (Information zur Aufgabe 21)<br> | ||
Der '''Netto'''preis gibt den Preis ohne Mehrwertsteuer an. <br> | Wenn du einkaufen gehst, sind die Preise in der Regel als '''Brutto'''preis angegeben. Das bedeutet, dass in diesem Preis die Mehrwertsteuer enthalten ist. Der <span style="color:blue">'''Brutto'''</span>preis ist also der Preis <span style="color:blue">'''mit'''</span> Mehrwertsteuer. <br> | ||
Der <span style="color:green">'''Netto'''</span>preis gibt den Preis <span style="color:green">'''ohne'''</span> Mehrwertsteuer an. <br> | |||
Also gilt: <br> | Also gilt: <br> | ||
Bruttopreis = Nettopreis + Mehrwertsteuer<br> | Bruttopreis = Nettopreis + Mehrwertsteuer<br> | ||
Zeile 265: | Zeile 308: | ||
Die Abbildung verdeutlicht diesen Zusammenhang:<br> | Die Abbildung verdeutlicht diesen Zusammenhang:<br> | ||
[[Datei:Bild Balken Brutto und Nettopreis.png|rahmenlos|800x800px]]<br> | [[Datei:Bild Balken Brutto und Nettopreis.png|rahmenlos|800x800px]]<br> | ||
<br> | |||
{{Box|Übung 8 - Mehrwertsteuer|[[Datei:Woolworth-Quittung-2007.jpg|alternativtext=|rechts|349x349px]]1) Nimm den Kassenbon deines letzten Einkaufs und prüfe die Angaben zur berechneten Mehrwertsteuer.<br> | {{Box|Übung 8 - Mehrwertsteuer|[[Datei:Woolworth-Quittung-2007.jpg|alternativtext=|rechts|349x349px]]1) Nimm den Kassenbon deines letzten Einkaufs und prüfe die Angaben zur berechneten Mehrwertsteuer.<br> | ||
2) Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/prozent/grundwert-erhoeht---vermindert.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgabe | 2) Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/prozent/grundwert-erhoeht---vermindert.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgabe | ||
* 21 |Üben}} | * 21 | ||
* 23 | |||
|Üben}} | |||
Zeile 275: | Zeile 322: | ||
{{Lösung versteckt|1=Beispiel zu Nr. 5<br> | {{Lösung versteckt|1=Beispiel zu Nr. 5<br> | ||
Nimm an, du kaufst ein Fernsehgerät für 1000€ und sparst laut dem Angebot 19%. Wie viel musst du für den Fernseher dann bezahlen?<br> | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-2">Nimm an, du kaufst ein Fernsehgerät für 1000€ und sparst laut dem Angebot 19%. Wie viel musst du für den Fernseher dann bezahlen?<br> | |||
geg: G= 1000€; p% = 19%, also p<sup>-</sup>% = 100% - 19% = 81% = 0,81<br> | geg: G= 1000€; p% = 19%, also p<sup>-</sup>% = 100% - 19% = 81% = 0,81<br> | ||
ges: G<sup>-</sup> (neuer Preis)<br> | ges: G<sup>-</sup> (neuer Preis)<br> | ||
Zeile 281: | Zeile 329: | ||
= 1000 ∙ 0,81<br> | = 1000 ∙ 0,81<br> | ||
= 810 (€)<br> | = 810 (€)<br> | ||
Mit 19% Rabatt musst du 810 € bezahlen.<br> | Mit 19% Rabatt musst du 810 € bezahlen.</div> | ||
<div class="width-1-2">Du hättest auch zuerst die Ersparnis ausrechnen können:<br> | |||
W = G ∙ p%<br> | |||
W = 1000 ∙ 0,19<br> | |||
W = 190 (€)<br> | |||
Du sparst also 190€.</div> | |||
</div> | |||
<br> | <br> | ||
<div class="grid"> | |||
Wie viel Mehrwertsteuer ist im Preis von 1000€ enthalten?<br> | <div class="width-1-2">Wie viel Mehrwertsteuer ist im Preis von 1000€ enthalten?<br> | ||
geg: G<sup>+</sup> = 1000€ (Bruttopreis: Preis mit Mehrwertsteuer); p<sup>+</sup>% = 119% = 1,19<br> | geg: G<sup>+</sup> = 1000€ (Bruttopreis: Preis mit Mehrwertsteuer); p<sup>+</sup>% = 119% = 1,19<br> | ||
ges: G (Nettopreis)<br> | ges: G (Nettopreis)<br> | ||
Zeile 291: | Zeile 345: | ||
G = <math>\tfrac{1000}{1,19}</math><br> | G = <math>\tfrac{1000}{1,19}</math><br> | ||
<math>\approx</math> 840,34 (€)<br> | <math>\approx</math> 840,34 (€)<br> | ||
Der Preis ohne Mehrwertsteuer beträgt 840,34 €.<br> | Der Preis ohne Mehrwertsteuer beträgt 840,34 €.</div> | ||
<div class="width-1-2"> | |||
1000 - 840,34 = 159,66 (€)<br> | |||
Es sind also 159,66 € Mehrwertsteuer im Preis enthalten.</div> | |||
</div> | |||
|2=Beispiel zu Nr. 5|3=Verbergen}} | |2=Beispiel zu Nr. 5|3=Verbergen}} | ||
===2.4 Vermischte Übungen - Anwendungsaufgaben=== | ===2.4 Vermischte Übungen - Anwendungsaufgaben=== | ||
Zeile 301: | Zeile 358: | ||
{{Box|Übung 10|Lies die Aufgabe genau. Notiere, welche Größen gegeben sind und welche gesucht ist. Löse dann die Aufgabe mit der Formel oder dem Dreisatz. Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch. | {{Box|1=Übung 10|2=Lies die Aufgabe genau. Notiere, welche Größen gegeben sind und welche gesucht ist. Löse dann die Aufgabe mit der Formel oder dem Dreisatz. Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch. | ||
* S. 115 Nr. 6 | * S. 115 Nr. 6 | ||
* S. 115 Nr. 7 | * S. 115 Nr. 7 | ||
* S. 115 Nr. 8|Üben}} | * S. 115 Nr. 8 (Vorsicht: Druckfehler im Buch: p% = 5%, nicht 0,5%)|3=Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Welche Größen sind gegeben, welche gesucht? <br> | |||
G; G<sup>+</sup>; G<sup>-</sup>; p%; p<sup>+</sup>%; P<sup>-</sup>%<br> | |||
Berechne die fehlende Größe mit der Formel (diese musst du teils umstellen) und/oder mit dem Dreisatz.<br> | |||
Formel: G<sup>+</sup> = G ∙ p<sup>+</sup>% bzw. G<sup>-</sup> = G ∙ p<sup>-</sup>% <br> | |||
(Kontrolliere deine umstellte Formel mithilfe des Formeldreiecks.)|2=Tipp|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=a) geg: G=2650€; p%=3,7% = 0,037 also ...<br> | |||
ges: p<sup>+</sup>%; G<sup>+</sup><br> | |||
b) geg: "nach" der Erhöhung..., also G<sup>+</sup> = 1971€; p% = 4,5% = 0,045 | |||
ges: G; p<sup>+</sup>%|2=Tipp zu Nr. 6|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=geg: p% = 12% = 0,12; G<sup>-</sup> = 396 ("gesenkt"; "danach")<br> | |||
ges: G; (p<sup>-</sup>)|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=geg: p% = 5% = 0,05; G = 72<br> | |||
ges: G<sup>+</sup>; G<sup>-</sup>; (p<sup>+</sup>%;p<sup>-</sup>%)|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}} | |||
{{Box|Übung 11|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/prozent/grundwert-erhoeht---vermindert.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben | {{Box|Übung 11|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/prozent/grundwert-erhoeht---vermindert.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben | ||
Zeile 330: | Zeile 401: | ||
Dies ist der neue Grundwert für die nächste Reduzierung! Nun erhältst du also auf diesen Preis (180€) noch einmal 50% Ermäßigung!<br>(2. Schritt:...)|2=Tipp 2|3=Verbergen}} | Dies ist der neue Grundwert für die nächste Reduzierung! Nun erhältst du also auf diesen Preis (180€) noch einmal 50% Ermäßigung!<br>(2. Schritt:...)|2=Tipp 2|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Der Preis wird in zwei Schritten reduziert.<br> | {{Lösung versteckt|1=Der Preis wird in zwei Schritten reduziert.<br> | ||
Nach der ersten Reduzierung kostet das Snowboard noch 180€, dies ist der neue Grundwert für die zweite | Nach der ersten Reduzierung kostet das Snowboard noch 180€, dies ist der neue Grundwert für die zweite Rechnung:<br> | ||
2. Schritt:<br> | 2. Schritt:<br> | ||
geg: '''G = 180€'''; p% = 50%, also p<sup>-</sup>% = 100% - 50% = 50% = 0,5<br> | geg: '''G = 180€'''; p% = 50%, also p<sup>-</sup>% = 100% - 50% = 50% = 0,5<br> | ||
Zeile 339: | Zeile 410: | ||
Also kostet das Snowboard nach der zweiten Reduzierung 90€.|2=Tipp 3|3=Verbergen}}<br> | Also kostet das Snowboard nach der zweiten Reduzierung 90€.|2=Tipp 3|3=Verbergen}}<br> | ||
{{Box|Mehrfach veränderter Grundwert|Beispielaufgabe: Ein Preis von 50 € wird zweimal hintereinander um 10 % ermäßigt. | {{Box|Mehrfach veränderter Grundwert|Beispielaufgabe: Ein Preis von 50 € wird zweimal hintereinander um 10% ermäßigt. | ||
Eine zweimalige Reduzierung um 10% ist aber nicht das Gleiche wie eine Reduzierung um 20%, da der Grundwert sich nach der ersten Ermäßigung verändert hat. | Eine zweimalige Reduzierung um 10% ist aber nicht das Gleiche wie eine Reduzierung um 20%, da der Grundwert sich nach der ersten Ermäßigung verändert hat. | ||
[[Datei:Mehrfach verminderter Grundwert.png|links|rahmenlos|600x600px]]|Arbeitsmethode}} | [[Datei:Mehrfach verminderter Grundwert.png|links|rahmenlos|600x600px]]|Arbeitsmethode}} | ||
Zeile 347: | Zeile 418: | ||
{{Lösung versteckt|1=Eine zweimalige Reduzierung um 10% entspricht einer einmaligen Ermäßigung um 19 %, denn der Endpreis beträgt 81% des ersten Grundwertes 0,9 ∙ 0,9 = 0,81 = 81%.|2=Tipp für Schnelldenker|3=Verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Eine zweimalige Reduzierung um 10% entspricht einer einmaligen Ermäßigung um 19 %, denn der Endpreis beträgt 81% des ersten Grundwertes 0,9 ∙ 0,9 = 0,81 = 81%.|2=Tipp für Schnelldenker|3=Verbergen}} | ||
{{Box|Übung 12|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/prozent/ | {{Box|Übung 12|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/prozent/textaufgaben.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben | ||
* 20 | * 20 | ||
* | * 21 | ||
* 18 | |||
* 27 (schwer) | |||
|Üben}} | |Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Rechne schrittweise:<br> | |||
Zuerst wird der Preis reduziert. Dieser reduzierte Preis wird dann aber wieder erhöht.<br> | |||
① geg: G = 2800€; p% = -8%, also p<sup>-</sup>% = 92% = 0,92 | |||
ges: G<sup>-</sup><br> | |||
G<sup>-</sup> = G · p<sup>-</sup>%<br> | |||
... (Werte einsetzen)<br> | |||
... = 2576(€)<br> | |||
Nach der Reduzierung kostet der Kaffeevollautomat also noch 2576€. Dieser Preis wird nun wieder erhöht.<br> | |||
② geg: G = 2576€; p% = 5%, also p<sup>+</sup>% = 105% = 1,05<br> | |||
ges: G<sup>+</sup><br> | |||
....<br> | |||
Der Preis nach der Erhöhung beträgt 2704,80 €. Nun kannst du den Unterschied zwischen diesem Preis und dem Anfangspreis berechnen.|2=Lösungsansätze zu Aufgabe 20|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Rechne schrittweise: | |||
Zuerst wird der Preis erhöht. Dieser erhöhte Preis wird dann noch einmal erhöht.<br> | |||
① geg: G = 15€; p% = 8%, also p<sup>+</sup>% = 108% = 1,08 | |||
ges: G<sup>+</sup><br> | |||
G<sup>+</sup> = G · p<sup>+</sup>%<br> | |||
... (Werte einsetzen)<br> | |||
... = 16,20(€)<br> | |||
Nach der Erhöhung kostet der Kaffee also 16,20€. Dieser Preis wird nun wieder erhöht.<br> | |||
② geg: G = 16,20€; p% = 5%, also p<sup>+</sup>% = 105% = 1,05<br> | |||
ges: G<sup>+</sup><br> | |||
....<br> | |||
Der Preis nach beiden Erhöhungen 17,01 €.|2=Lösungsansätze zu Aufgabe 21a|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Der Kaffee wurde um 0,86€ teurer, das ist W. Wie teuer war er also?<br> | |||
geg: W = 0,86 €; p% = 5% = 0,05<br> | |||
ges: G<br> | |||
W = G · p%<br> | |||
Stelle die Formel nach G um.|2=Lösungsansatz zu Aufgabe 21b|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Rechne schrittweise "rückwärts":<br> | |||
Er wiegt nach dem zweiten Abnehmen noch 69,92kg. Also gilt hier:<br> | |||
① geg: G<sup>-</sup>=69,92kg; p% = 5%, also p<sup>-</sup>% = 95% = 0,95<br> | |||
ges: G (Wie viel wog er vor dem Abnehmen)<br> | |||
G<sup>-</sup> = G·p<sup>-</sup>%<br> | |||
... (Formel umstellen, Werte einsetzen)<br> | |||
73,6(kg) = G<br> | |||
Er wog also vor dem zweiten Abnehmen 73,6 kg. <br> | |||
Dies ist also ebenso das Gewicht, das er nach dem ersten Abnehmen hatte.<br> | |||
② geg: G<sup>-</sup> = 73,6 kg; p% = 8%, also p<sup>-</sup>% = 92% = 0,92<br> | |||
ges: G<br> | |||
Berechne wie oben...<br> | |||
G = 80(kg)<br> | |||
Er wog also vor dem zweimaligen Abnehmen 80kg.|2=Lösungsansätze zu Aufgabe 18|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Rechne schrittweise:<br> | |||
Leichter kannst du die Aufgabe lösen, wenn du eine bestimmte Anzahl für die Wahlberechtigten festlegst, z.B. 1000. (Dieser Wert ist natürlich viel zu klein, mit dieser Zahl kannst du aber leichter rechnen.)<br> | |||
① geg: G = 1000 (Wahlberechtigte); p% = 70,8% = 0,708<br> | |||
ges: W (Wie viele Wahlberechtigte haben tatsächlich gewählt?)<br> | |||
W = G · p%<br> | |||
... (Werte einsetzen)<br> | |||
W = 708 (haben ihre Stimme abgegeben)<br> | |||
Die Regierung wurde dann von 48,4% der Stimmen gebildet. <br> | |||
② geg: G =708 (Stimmen insgesamt); p% = 48,4% = 0,484<br> | |||
ges: W<br> | |||
Berechne wie oben...<br> | |||
W = 343 (Stimmen)<br><br> | |||
Wie viel Prozent sind dies von allen Wahlberechtigten?<br> | |||
③ geg: G = 1000 (Wahlberechtigte); W = 343 | |||
p% = <math>\tfrac{W}{G}</math> = <math>\tfrac{343}{1000}</math> = 0,343 = 34,3%.|2=Lösungsansätze zu Aufgabe 27|3=Verbergen}} | |||
{{Box|Übung 13 - mehrfach veränderter Grundwert|Löse die Aufgaben aus dem Buch. | {{Box|Übung 13 - mehrfach veränderter Grundwert|Löse die Aufgaben aus dem Buch. | ||
* S. 116 Nr. 3 oder S. 116 Nr. 9 | * S. 116 Nr. 3 oder S. 116 Nr. 9 | ||
Zeile 378: | Zeile 507: | ||
Der ursprüngliche Preis wird also auf 0,6 ∙ 0,65 ∙ 0,65 = 0,2535 = 25,35% reduziert. <br> Er spart also 100% - 25,35% = 74,65%. |2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}}</div> | Der ursprüngliche Preis wird also auf 0,6 ∙ 0,65 ∙ 0,65 = 0,2535 = 25,35% reduziert. <br> Er spart also 100% - 25,35% = 74,65%. |2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}}</div> | ||
</div> | </div> | ||
{{Lösung versteckt|1=1. Schritt:<br> | {{Lösung versteckt|1=1. Schritt:<br> | ||
Zeile 386: | Zeile 514: | ||
{{Lösung versteckt|Berechne mit einem Beispiel: Wähle als Preis den Wert 100€. Erhöhe den Preis um 10%. Ziehe von diesem neuen Preis 10% ab. Was antwortest du Sabine?|Tipp zu Nr. 15|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|Berechne mit einem Beispiel: Wähle als Preis den Wert 100€. Erhöhe den Preis um 10%. Ziehe von diesem neuen Preis 10% ab. Was antwortest du Sabine?|Tipp zu Nr. 15|Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|Schau deine Rechnungen aus Aufgabe 16 an.|Tipp zu Nr. 17|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|Schau deine Rechnungen aus Aufgabe 16 an.|Tipp zu Nr. 17|Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben:<br> | |||
201,49€; 202,50€; 225,00€ 839,50€; 969,03€; 999.00€<br> | |||
74,65%; 99%<br> | |||
72; 88; 132;|2=Vergleiche deine Lösungen zu Übung 13|3=Verbergen}} | |||
Das Video zeigt weitere Beispiel. Stoppe das Video vor der Rechnung, überlege selbst und schau dann, ob du richtig gedacht hast. | |||
{{#ev:youtube|N8wbwuJ9kIE|800|center}} | |||
Aktuelle Version vom 20. März 2023, 16:59 Uhr
1) Wiederholung der Grundbegriffe: Grundwert G, Prozentwert W und Prozentsatz p%
2) Vermehrter und verminderter Grundwert
3) Zinsrechnung
4) Monats- und Tageszinsen
2) Vermehrter und verminderter Grundwert
2.1 Vermehrten und verminderten Grundwert berechnen
Beispiele:
Rechnung mit Formel
geg: G=950€; p%=5%, also p+%=100%+p%=105% = 1,05
ges: G+
G+ = G ∙ p+%
= 950 ∙ 1,05
geg: G=388€; p%=19%, also p-%=100%-p%=81% = 0,81
ges: G-
G- = G ∙ p-%
= 388 ∙ 0,81
= 314,28 [€]
Du kannst für die Berechnung des vermehrten bzw. verminderten Grundwertes auch den Dreisatz benutzen:
Rechnung mit Dreisatz:
Ergänze die Lücken:
Miete:
Prozentsatz | Mietkosten (€) |
100% | 950 |
1% | ____ |
105% | _____ |
Preis Handy:
Prozentsatz | Preis (€) |
100% | 388 |
1% | ____ |
81% | _____ |
Prozentsatz p% | Mietkosten (€) |
---|---|
100% | 950 |
1% | 9,50 |
105% | 997,50 |
Prozentsatz p% | Preis (€) |
---|---|
100% | 388 |
1% | 3,88 |
81% | 314,28 |
Du kennst schon das Formeldreieck für die Prozentrechnung mit der Formel W = G ∙ p%. Nun ersetzt du in diesem Formeldreieck den Prozentwert W durch den vermehrten/verminderten Grundwert G+/-.
Das Video zeigt dir zwei Beispielrechnung. Hier wird für den veränderten Prozentsatz p+/-% die Variable q verwendet.
Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift!
Lösungen zu Nr. 2 bunt gemischt:
Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift!
Lösungen zu Nr. 3 bunt gemischt (auf 2 Nachkommastellen gerundet):
Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift!
2.2 Prozentsatz p% aus dem Grundwert und dem vermehrten/verminderten Grundwert berechnen
geg: G=alter Preis; G-=neuer Preis
ges: p-% und p%
Berechne zunächst durch Umstellen der Formel (oder mit dem Dreisatz) p-%.
geg: G=alter Preis; G-=neuer Preis
ges: p-% und p%
Berechne zunächst durch Umstellen der Formel (oder mit dem Dreisatz) p-%.
Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 4 (bunt gemischt). Es ist immer p% angegeben, nicht der Zwischenschritt p-%. Falls nötig, berichtige oder notiere Fragen und hake mit einem andersfarbigen Stift ab.
Das Plakat verspricht, dass du bis zu 80% sparen kannst. Stimmt das?
geg: alter Preis G = 2900€; neuer Preis G-= 790€
ges: p% (Wie viel Prozent spare ich?)
Mit den gegebenen Werten kannst berechnest du zunächst p-%, also auf wie viel Prozent der Preis gesunken ist. In einer zweiten Rechnung bestimmst du dann p%.
p-% = = 0,272 = 27,2%
Der Preis wurde auf 27,2% des ursprünglichen Preises gesenkt.
Berechne nun p%, also, um wie viel Prozent der Preis reduziert wurde:
p% = 100% - p-% = 100% - 27,2% = 72,7%.
Du sparst also 72,7%. Das ist viel, aber nicht die versprochenen 80%. Sparst du bei den anderen Angeboten mehr?
Rechne ebenso.
Lösungen (bunt gemischt): 76%; 80%; 80,8%; 81,9%
Gegeben ist jeweils der alte Preis G und der reduzierte neue Preis G-.
Gesucht ist der Prozentsatz p%, nämlich, wie viel Prozent gespart wurde.
Berechne wie in den vorangegangenen Aufgaben zunächst p-% und damit dann p%.
2.3 Grundwert G aus dem vermehrten/verminderten Grundwert berechnen
geg: p%=15%=0,15, also ist p-% = ...; G-=93,50€
ges: G
Du musst dem Text entnehmen können, welche Größen gegeben und welche gesucht sind. Bearbeite dazu die nachfolgende LearningApp.
Das Video zeigt dir noch einmal anhand von zwei Beispielen, wie du rechnen kannst. Hier wird für den veränderten Prozentsatz p+/-% die Variable q verwendet.
Stelle dir eine Anwendungssituation zur Aufgabe vor: Beispiel:
Der Preis für ein Snowboard wurde um 18% erhöht, es kostet jetzt 513,30 €. Wie teuer war es ursprünglich?
geg: G+ = 513,30€; p% = 18%, also p+% = 100%+18%=118%=1,18
ges: G
Mehrwertsteuer
Mehrwertsteuer: (Information zur Aufgabe 21)
Wenn du einkaufen gehst, sind die Preise in der Regel als Bruttopreis angegeben. Das bedeutet, dass in diesem Preis die Mehrwertsteuer enthalten ist. Der Bruttopreis ist also der Preis mit Mehrwertsteuer.
Der Nettopreis gibt den Preis ohne Mehrwertsteuer an.
Also gilt:
Bruttopreis = Nettopreis + Mehrwertsteuer
G+ = G + W
Die Abbildung verdeutlicht diesen Zusammenhang:
Beispiel zu Nr. 5
geg: G= 1000€; p% = 19%, also p-% = 100% - 19% = 81% = 0,81
ges: G- (neuer Preis)
G- = G ∙ p-%
= 1000 ∙ 0,81
= 810 (€)
W = G ∙ p%
W = 1000 ∙ 0,19
W = 190 (€)
geg: G+ = 1000€ (Bruttopreis: Preis mit Mehrwertsteuer); p+% = 119% = 1,19
ges: G (Nettopreis)
G+ = G ∙ p+% |: p+%
= G
G =
840,34 (€)
1000 - 840,34 = 159,66 (€)
2.4 Vermischte Übungen - Anwendungsaufgaben
Welche Größen sind gegeben, welche gesucht?
G; G+; G-; p%; p+%; P-%
Berechne die fehlende Größe mit der Formel (diese musst du teils umstellen) und/oder mit dem Dreisatz.
Formel: G+ = G ∙ p+% bzw. G- = G ∙ p-%
a) geg: G=2650€; p%=3,7% = 0,037 also ...
ges: p+%; G+
b) geg: "nach" der Erhöhung..., also G+ = 1971€; p% = 4,5% = 0,045
geg: p% = 12% = 0,12; G- = 396 ("gesenkt"; "danach")
geg: p% = 5% = 0,05; G = 72
2.5 Mehrfach veränderter Grundwert
Der Preis wird in zwei Schritten reduziert:
1. Schritt:
geg: G=360€; p%=50% also p-% = 100% - 50% = 50% = 0,5
ges: G-
G- = G ∙ p-%
=360 ∙ 0,5
= 180 (€)
(2. Schritt:...)
Der Preis wird in zwei Schritten reduziert.
Nach der ersten Reduzierung kostet das Snowboard noch 180€, dies ist der neue Grundwert für die zweite Rechnung:
2. Schritt:
geg: G = 180€; p% = 50%, also p-% = 100% - 50% = 50% = 0,5
ges: G-
G- = G ∙ p-%
=180 ∙ 0,5
= 90 (€)
Im Vergleich dazu wäre der Endpreis bei einer Ermäßigung um 20%: G- = G ∙ p-% = 50 ∙ 0,8 = 40 (€).
Rechne schrittweise:
Zuerst wird der Preis reduziert. Dieser reduzierte Preis wird dann aber wieder erhöht.
① geg: G = 2800€; p% = -8%, also p-% = 92% = 0,92
ges: G-
G- = G · p-%
... (Werte einsetzen)
... = 2576(€)
Nach der Reduzierung kostet der Kaffeevollautomat also noch 2576€. Dieser Preis wird nun wieder erhöht.
② geg: G = 2576€; p% = 5%, also p+% = 105% = 1,05
ges: G+
....
Rechne schrittweise:
Zuerst wird der Preis erhöht. Dieser erhöhte Preis wird dann noch einmal erhöht.
① geg: G = 15€; p% = 8%, also p+% = 108% = 1,08
ges: G+
G+ = G · p+%
... (Werte einsetzen)
... = 16,20(€)
Nach der Erhöhung kostet der Kaffee also 16,20€. Dieser Preis wird nun wieder erhöht.
② geg: G = 16,20€; p% = 5%, also p+% = 105% = 1,05
ges: G+
....
Der Kaffee wurde um 0,86€ teurer, das ist W. Wie teuer war er also?
geg: W = 0,86 €; p% = 5% = 0,05
ges: G
W = G · p%
Rechne schrittweise "rückwärts":
Er wiegt nach dem zweiten Abnehmen noch 69,92kg. Also gilt hier:
① geg: G-=69,92kg; p% = 5%, also p-% = 95% = 0,95
ges: G (Wie viel wog er vor dem Abnehmen)
G- = G·p-%
... (Formel umstellen, Werte einsetzen)
73,6(kg) = G
Er wog also vor dem zweiten Abnehmen 73,6 kg.
Dies ist also ebenso das Gewicht, das er nach dem ersten Abnehmen hatte.
② geg: G- = 73,6 kg; p% = 8%, also p-% = 92% = 0,92
ges: G
Berechne wie oben...
G = 80(kg)
Rechne schrittweise:
Leichter kannst du die Aufgabe lösen, wenn du eine bestimmte Anzahl für die Wahlberechtigten festlegst, z.B. 1000. (Dieser Wert ist natürlich viel zu klein, mit dieser Zahl kannst du aber leichter rechnen.)
① geg: G = 1000 (Wahlberechtigte); p% = 70,8% = 0,708
ges: W (Wie viele Wahlberechtigte haben tatsächlich gewählt?)
W = G · p%
... (Werte einsetzen)
W = 708 (haben ihre Stimme abgegeben)
Die Regierung wurde dann von 48,4% der Stimmen gebildet.
② geg: G =708 (Stimmen insgesamt); p% = 48,4% = 0,484
ges: W
Berechne wie oben...
W = 343 (Stimmen)
Wie viel Prozent sind dies von allen Wahlberechtigten?
③ geg: G = 1000 (Wahlberechtigte); W = 343
geg: G = 298,50€; erste Ermäßigung p% = 25%, also p-% = 100% - 25% = 75% = 0,75
Berechne den verminderten Grundwert G-.
Dies ist der neue Grundwert für die neue Reduzierung um 10%.
geg: G = 223,88 €; p% = 10%, also p-% = 100% - 10% = 90% = 0,90
Berechne erneut den verminderten Grundwert G-.
Die ursprünglichen Kosten werden zunächst um 40% reduziert, also p-% = 100% - 40% = 60% = 0,6
Dieser reduzierte Zwischenwert wird dann 35% reduziert, also also p-% = 100% - 35% = 65% = 0,65 und
dann wird dieser neue Wert nochmals um 35% reduziert, also also p-% = 65% = 0,65
Ursprüngliche Kosten G- Endpreis
Er spart also 100% - 25,35% = 74,65%.
1. Schritt:
Der angegebene Preis ist der um 10% ermäßige Preis, also G- = 899,10€ und p-% = 100% - 10% = 90% = 0,9. Bestimme zunächst den Preis ohne die Reduzierung, also den Grundwert G.
2. Schritt: Dieser Preis ist der Bruttopreis G+, darin sind also 19% Mehrwertsteuer enthalten. Also p+% = 119% = 1,19.
Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben:
201,49€; 202,50€; 225,00€ 839,50€; 969,03€; 999.00€
74,65%; 99%
Das Video zeigt weitere Beispiel. Stoppe das Video vor der Rechnung, überlege selbst und schau dann, ob du richtig gedacht hast.