Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|Katharinas Geburtstag|Katharina hat zum Geburtstag ein Sparkonto bekommen. Dort bekommt sie in einem Jahr <math>1\text{ }%</math> Zinsen gezahlt. Sie zahlt direkt all ihr Geburtstagsgeld von <math>100\text{ €}</math> auf das Sparkonto. Wie viel Geld hat sie an ihrem nächsten Geburtstag auf diesem Konto?|Hervorhebung1}} | {{Box|Katharinas Geburtstag|Katharina hat zum Geburtstag ein Sparkonto bekommen. Dort bekommt sie in einem Jahr <math>1\text{ }%</math> Zinsen gezahlt. Sie zahlt direkt all ihr Geburtstagsgeld von <math>100\text{ €}</math> auf das Sparkonto. Wie viel Geld hat sie an ihrem nächsten Geburtstag auf diesem Konto?|Hervorhebung1}} | ||
Lösung | {{Lösung versteckt|1= '''Gegeben:''' <math>K = 100</math> €, <math>p=1\text{ }%</math>. | ||
'''Gegeben:''' <math>K = 100</math> €, <math>p=1\text{ }%</math>. | |||
'''Gesucht:''' Kapital nach einem Jahr. | '''Gesucht:''' Kapital nach einem Jahr. | ||
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'''Rechnung:''' Um das Kapital nach einem Jahr zu bestimmen, berechnen wir zunächst die Zinsen: <math id="Zinsformel Bsp1">Z = 100\text{ €} \cdot \frac{1}{100} = 1\text{ €}</math>. Nach einem Jahr hat sie demnach das Kapital von ihrem Geburtstag plus die Zinsen, <math>100\text{ €} + 1\text{ €} = 101\text{ €}</math>, auf dem Konto. | '''Rechnung:''' Um das Kapital nach einem Jahr zu bestimmen, berechnen wir zunächst die Zinsen: <math id="Zinsformel Bsp1">Z = 100\text{ €} \cdot \frac{1}{100} = 1\text{ €}</math>. Nach einem Jahr hat sie demnach das Kapital von ihrem Geburtstag plus die Zinsen, <math>100\text{ €} + 1\text{ €} = 101\text{ €}</math>, auf dem Konto. | ||
'''Antwort:''' Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag <math>101\text{ €}</math> auf dem Konto. | '''Antwort:''' Katharina hat an ihrem nächsten Geburtstag <math>101\text{ €}</math> auf dem Konto.|3=Einklappen}} | ||
====<math>K</math> berechnen geht sogar noch schneller==== | ====<math>K</math> berechnen geht sogar noch schneller==== | ||
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{{Lösung versteckt|1= Maja hat mit 17 Jahren genügend Geld auf ihrem Konto für den Führerschein. Nach einem Jahr hat sie <math>954\text{ €}</math>, nach zwei Jahren <math>1011{,}24\text{ €}</math>, nach drei Jahren<math>1071{,}91\text{ €}</math> und nach vier Jahren dann <math>1136{,}22\text{ €}</math>.|2=Lösung zu 2. a)|3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Maja hat mit 17 Jahren genügend Geld auf ihrem Konto für den Führerschein. Nach einem Jahr hat sie <math>954\text{ €}</math>, nach zwei Jahren <math>1011{,}24\text{ €}</math>, nach drei Jahren<math>1071{,}91\text{ €}</math> und nach vier Jahren dann <math>1136{,}22\text{ €}</math>.|2=Lösung zu 2. a)|3=Einklappen}} | ||
'''b)''' Wieviel Geld hätte Maja mit 17 Jahren, wenn sie statt <math> 6\text{ }%</math> nur <math>4\text { % | '''b)''' Wieviel Geld hätte Maja mit 17 Jahren, wenn sie statt <math> 6\text{ }%</math> nur <math>4\text { }%</math> Zinsen bekommen würde? | ||
{{Lösung versteckt|1= Wo liegt der Unteschied zu Aufgabe 2 a)? |2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 b) |3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Wo liegt der Unteschied zu Aufgabe 2 a)? |2=kleiner Tipp zu Aufgabe 2 b) |3=Einklappen}} | ||
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Schauen wir uns nochmal die Situation von Maja aus der letzten Aufgabe an. | Schauen wir uns nochmal die Situation von Maja aus der letzten Aufgabe an. | ||
'''a)''' Angenommen Maja bekommt weiterhin <math>6</math> | '''a)''' Angenommen Maja bekommt weiterhin <math>6\text{ }%</math> Zinsen, aber macht doch kein Führerschein und spart das Geld einfach weiterhin. Wieviel Geld hätte sie dann nach <math>20</math> Jahren gespart? | ||
{{Lösung versteckt|1= Nutze die erweiterte Zinsformel.|2=kleiner Tipp zu 3 a)|3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Nutze die erweiterte Zinsformel.|2=kleiner Tipp zu 3 a)|3=Einklappen}} | ||
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<math>K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})^n= K_n</math> mit <math>K=900</math>, <math>z=6</math> und <math>n=20</math> lässt sich das dann so berechnen: | <math>K\cdot(1 + 1\cdot \frac{z}{100})^n= K_n</math> mit <math>K=900</math>, <math>z=6</math> und <math>n=20</math> lässt sich das dann so berechnen: | ||
<math>900\cdot(1 + 1\cdot \frac{6}{100})^{20}= 2886,42</math> | <math>900\cdot(1 + 1\cdot \frac{6}{100})^{20}= 2886,42</math> | ||
Maja hätte nach <math>20</math> Jahren <math>2886,42</math> | Maja hätte nach <math>20</math> Jahren <math>2886,42\text{ €}</math> gespart. |2=Lösung zu 3 a)|3=Einklappen}} | ||
'''b)''' Ein realistischer Zinssatz beträgt zurzeit eher <math>0{,}3</math> | '''b)''' Ein realistischer Zinssatz beträgt zurzeit eher <math>0{,}3\text{ }%</math> Zinsen. Könnte Maja jemals mit ihrem Erspartem bei so einem Zinssatz ihren Führerschein bezahlen? | ||
Wieviel Geld hätte sie mit <math>17</math> , <math>50</math> oder <math>100</math> Jahren? | Wieviel Geld hätte sie mit <math>17</math> , <math>50</math> oder <math>100</math> Jahren? | ||
{{Lösung versteckt|1= Nutze unbedingt die erweiterte Zinsformel.|2=kleiner Tipp zu 3 a)|3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Nutze unbedingt die erweiterte Zinsformel.|2=kleiner Tipp zu 3 a)|3=Einklappen}} | ||
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{{Lösung versteckt|1= Hier sind die Rechenwege mit der erweiterten Zinsformel. | {{Lösung versteckt|1= Hier sind die Rechenwege mit der erweiterten Zinsformel. | ||
Mit <math>17</math> Jahren hat Maja <math>900 </math> | Mit <math>17</math> Jahren hat Maja <math>900\text{ €}</math><math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{0{,}3}{100})^{4}= 910{,}85\text{ €}</math>. | ||
Mit <math>50</math> Jahren hat Maja <math>900 </math> | Mit <math>50</math> Jahren hat Maja <math>900\text{ €} </math><math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{0{,}3}{100})^{37}= 1005{,}49\text{ €}</math>. | ||
Mit <math>100</math> Jahren hat Maja <math>900 </math> | Mit <math>100</math> Jahren hat Maja <math>900\text{ €} </math><math>\cdot(1 + 1\cdot \frac{0{,}3}{100})^{87}= 1167{,}95\text{ €}</math>. | ||
Maja könnte mit dem Ersparten zwar noch ihren Führerschein bezahlen, jedoch ist sie dann schon im Rentenalter. |2=Lösung zu 3 a)|3=Einklappen}} | Maja könnte mit dem Ersparten zwar noch ihren Führerschein bezahlen, jedoch ist sie dann schon im Rentenalter. |2=Lösung zu 3 a)|3=Einklappen}} | ||
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | ||
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{{Box | Aufgabe 4: Coronabonus | | {{Box | Aufgabe 4: Coronabonus | | ||
Detlef arbeitet als Krankenpfleger. Daher hat er einen Corona-Bonus von <math>1000</math> | Detlef arbeitet als Krankenpfleger. Daher hat er einen Corona-Bonus von <math>1000\text{ €}</math> erhalten. Seine Frau ist Professorin, deshalb sind sie als Familie finanziell gut abgesichert. Er möchte deswegen <math>800\text{ €}</math> des Corona-Bonuses sparen. | ||
'''a)''' Seine Bankberaterin bei der SparBank sagt ihm: "Bei uns bekommen Sie so viel Zinsen, dass Sie nach vier Jahren schon ungefähr 136 Euro mehr haben." Wie hoch liegt der Zinssatz bei der SparBank? | '''a)''' Seine Bankberaterin bei der SparBank sagt ihm: "Bei uns bekommen Sie so viel Zinsen, dass Sie nach vier Jahren schon ungefähr 136 Euro mehr haben." Wie hoch liegt der Zinssatz bei der SparBank? | ||
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{{Lösung versteckt|1= Manchmal hilft es abzuschätzen und dann auszuprobieren|2=kleiner Tipp zu 4 a)|3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Manchmal hilft es abzuschätzen und dann auszuprobieren|2=kleiner Tipp zu 4 a)|3=Einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Die Zinsen bei einer Bank liegen irgendwo zwischen <math>2</math> | {{Lösung versteckt|1= Die Zinsen bei einer Bank liegen irgendwo zwischen <math>2\text{ }%</math> und <math>7\text{ }%</math>. Du kannst dich durch Ausprobieren an die Lösung herantasten.|2=großer Tipp zu 4 a)|3=Einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= mögliche Rechnung: <math>800\cdot(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4= 935{,}89</math> | {{Lösung versteckt|1= mögliche Rechnung: <math>800\cdot(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4= 935{,}89</math> | ||
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Detlef erhält vier Prozent Zinsen pro Jahr. |2=Lösung zu 4 a)|3=Einklappen}} | Detlef erhält vier Prozent Zinsen pro Jahr. |2=Lösung zu 4 a)|3=Einklappen}} | ||
'''b)''' Detlef entscheidet sich dafür sein Geld bei der SparBank anzulegen. Er erhält durch den zweiten Lockdown eine weitere Bonuszahlung, sodass er nach vier Jahren schon ungefähr <math>1170\euro</math> hätte. Wie groß ist diese Bonuszahlung? | '''b)''' Detlef entscheidet sich dafür sein Geld bei der SparBank anzulegen. Er erhält durch den zweiten Lockdown eine weitere Bonuszahlung, sodass er nach vier Jahren schon ungefähr <math>1170\text{ }\euro</math> hätte. Wie groß ist diese Bonuszahlung? | ||
{{Lösung versteckt|1= Wie groß ist der Unterschied zwischen dem Geld nach vier Jahren mit und ohne Bonuszahlung? Was sagt dieser Unterschied über die Bonuszahlung aus?|2=kleiner Tipp zu 4 b)|3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Wie groß ist der Unterschied zwischen dem Geld nach vier Jahren mit und ohne Bonuszahlung? Was sagt dieser Unterschied über die Bonuszahlung aus?|2=kleiner Tipp zu 4 b)|3=Einklappen}} | ||
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umstellen nach <math>x</math>: <math>(800+x)= 1170:(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4</math> | umstellen nach <math>x</math>: <math>(800+x)= 1170:(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4</math> | ||
Daraus folgt <math>x= 1170:(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4-800=200{,}121</math> | Daraus folgt <math>x= 1170:(1 + 1\cdot \frac{4}{100})^4-800=200{,}121</math> | ||
Der zweite Bonus beträgt ungefähr <math>200</math> | Der zweite Bonus beträgt ungefähr <math>200\text{ €}</math>. |2=Lösung zu 4 b)|3=Einklappen}} | ||
'''c)''' Detlef ruft danach noch bei der GrünBank an. Die Bankberaterin der GrünBank unterbreitet ihm folgendes Angebot: "Bei uns können Sie zwischen zwei Angeboten auswählen. Wir können ihnen einerseits das kurzsparer Angebot, bei dem Sie jedes halbe Jahr zwei Prozent Zinsen erhalten, anbieten. Sie können alternativ das langsparer Angebot annehmen, bei dem Sie nach 5 Jahren <math>22</math> | '''c)''' Detlef ruft danach noch bei der GrünBank an. Die Bankberaterin der GrünBank unterbreitet ihm folgendes Angebot: "Bei uns können Sie zwischen zwei Angeboten auswählen. Wir können ihnen einerseits das kurzsparer Angebot, bei dem Sie jedes halbe Jahr zwei Prozent Zinsen erhalten, anbieten. Sie können alternativ das langsparer Angebot annehmen, bei dem Sie nach 5 Jahren <math>22\text{ }%</math> Zinsen erhalten, wenn ihr Geld die vollen fünf Jahre auf ihrem Konto verweilt." Zu welchem Angebot würdest du Detlef raten, um seine <math>1000\text{ €}</math> anzulegen? Zur Auswahl stehen das von der Sparbank, das kurzsparer Angebot und das langsparer Angebot der GrünBank? | ||
{{Lösung versteckt|1= Wo bekommt er mehr Geld? Gibt es noch andere Aspekte die wichtig sein können?|2=kleiner Tipp zu 4 c)|3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Wo bekommt er mehr Geld? Gibt es noch andere Aspekte die wichtig sein können?|2=kleiner Tipp zu 4 c)|3=Einklappen}} | ||
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|2=Lösung zu 4 c)|3=Einklappen}} | |2=Lösung zu 4 c)|3=Einklappen}} | ||
'''d)''' Die Pflegekräfte leisten sowohl in der Pandemie, als auch in Zeiten ohne Pandemie Herausragendes und werden schlecht bezahlt. Deswegen gibt es zusätzlich zu den Bonuszahlungen eine längst überfällige Lohnerhöhung. Da Detlef nur eine halbe Stelle hat, weil er sich um die Tochter kümmert, bekommt er <math>15</math> | '''d)''' Die Pflegekräfte leisten sowohl in der Pandemie, als auch in Zeiten ohne Pandemie Herausragendes und werden schlecht bezahlt. Deswegen gibt es zusätzlich zu den Bonuszahlungen eine längst überfällige Lohnerhöhung. Da Detlef nur eine halbe Stelle hat, weil er sich um die Tochter kümmert, bekommt er <math>15\text{ €}</math> zusätzlich im Monat. Diese <math>15\text{ €}</math> spart er zusätzlich zu den <math>1000\text{ €}</math>. Wieviel Geld hat er jetzt insgesamt nach drei Jahren auf seinem Konto, wenn er bei der SparBank spart? | ||
{{Lösung versteckt|1= Aus welchen Teilen setzt sich Detlefs Kontostand am Ende jeden Jahres zusammen?|2=kleiner Tipp zu 4 d)|3=Einklappen}} | {{Lösung versteckt|1= Aus welchen Teilen setzt sich Detlefs Kontostand am Ende jeden Jahres zusammen?|2=kleiner Tipp zu 4 d)|3=Einklappen}} | ||
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nach zwei Jahren: <math>(1227{,}2+15\cdot 12)\cdot\left(1 + 1\cdot \frac{4}{100}\right)= 1463{,}49</math> | nach zwei Jahren: <math>(1227{,}2+15\cdot 12)\cdot\left(1 + 1\cdot \frac{4}{100}\right)= 1463{,}49</math> | ||
nach drei Jahren: <math>(1463{,}49+15\cdot 12)\cdot\left(1 + 1\cdot \frac{4}{100}\right)= 1709{,}23</math> | nach drei Jahren: <math>(1463{,}49+15\cdot 12)\cdot\left(1 + 1\cdot \frac{4}{100}\right)= 1709{,}23</math> | ||
Detlef hat nach drei Jahren mit der Lohnerhöhung <math>1709{,}23</math> | Detlef hat nach drei Jahren mit der Lohnerhöhung <math>1709{,}23\text{ €}</math> auf seinem Konto | ||
|2=Lösung zu 4 d)|3=Einklappen}} | |2=Lösung zu 4 d)|3=Einklappen}} | ||
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | ||
Aktuelle Version vom 18. Dezember 2020, 15:05 Uhr
Einführung
Das wirst du heute lernen:
- Was Zinsen, Zinseszins, Zinssatz und Kapital sind.
- Was die Zinsformel ist und wieso sie so lautet.
- Wie du die Zinsformel im Alltag benutzen kannst.
- Wie du die Zinsformel in Sachaufgaben anwenden kannst.
Das solltest du schon können
Damit du da alles hier möglichst schnell lernen kannst, erklären wir einige Dinge weniger ausführlich. Die setzen wir dann voraus.
- Bruchrechnung: Du solltest grob wissen, wie man mit Brüchen rechnet.
- Prozentrechnung: Du solltest wissen, wie du den Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz berechnen kannst.
- Potenzrechnung: Du solltest wissen, was Potenzen in der Mathematik sind.
- Termumformungen: Du solltest Terme mithilfe von Termumformungen nach einer Unbekannten auflösen können.
Prozentrechnung
Zinsen zu berechnen ist eigentlich nur Prozentrechnung - mit etwas anderem Namen. Die Formel aus der Prozentrechnung kennst du ja schon:
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Dabei ist der Prozentwert, der Grundwert und der Prozentsatz. Möchtest du zum Beispiel wissen, was Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 3\text{ }%} von g Mehl sind, rechnest du das mit genau dieser Formel aus:
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Zinsrechnung Alltagsbeispiele
Hier wirst du anhand von zwei Beispielen lernen, wo Zinsen im Alltag zu finden sind.
Du bist im Alltag bestimmt schon einmal Zinsen begegnet. Heutzutage hat jeder ein Konto und/oder ein Sparbuch. Das Geld, dass du dort einzahlst, wird verzinst. D.h. du erhälst Geld dafür, dass das Geld bei deiner Bank ist. Diese Zinsen sind natürlich nicht sehr hoch. Die Zinsformel wirst du später noch genauer kennen lernen.
Außerdem, wenn du oder jemand in deinem Umfeld etwas Größeres kaufen möchte, spielen auch hier Zinsen eine große Rolle. Beim Kauf eines Hauses, einer Wohnung, einem Auto, einem Motorrad, einem Computer, einer Solaranlage und und und wird in der Regel ein Kredit benötigt, denn nur die wenigsten haben beispielsweise 100.000 € irgendwo rumliegen. Zinsen von Krediten musst du der Bank zusätzlich bezahlen. Sie sind sozusagen der Preis für den Kredit.
Zinsformel
In der Zinsrechnung berechnen wir nun ebenfalls den Prozentwert von einem bestimmten Geldbetrag. Statt Prozentsatz sagen wir also Zinssatz und anstelle von Grundwert sprechen wir nun von Kapital. Zuletzt sind die Zinsen dann der Prozentwert. Statt mit aufwändigen Worten zu rechnen, kürzen wir diese Begriffe nun (wie in der Mathematik üblich) mit einem Buchstaben ab:
Dabei sind die Zinsen, das Kapital und der Zinssatz. Als Formel ergibt sich somit:
Beispielaufgabe zur Zinsformel mit Lösung
Probieren wir die Zinsformel doch mal zusammen anhand eines Beispiels aus:
berechnen geht sogar noch schneller
In der Beispielaufgabe haben wir am Ende das Kapital noch mit den Zinsen verrechnet. Das können wir auch direkt in einer einzelnen Rechnung machen:
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.
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In eurem Buch wird als (Zinsfaktor) abgekürzt. Es ist allerdings euch überlassen, ob ihr das lieber ausschreiben möchtet oder eben abkürzen wollt.
Probieren wir diese Formel doch direkt mal aus mit € und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle p=1\text{ }%} aus der Beispielaufgabe "Katharinas Geburtstag" aus.
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Damit können wir mit dieser Formel also das berechnen der Zinsen, sowie das addieren der Zinsen zu dem bestehenden Kapital überspringen. Wie in der Lösung kommen wir also auch auf .
Aufgaben
Zinseszins
Erweiterte Zinsformel
Appendix für den Fall das auffällt, dass ein Kapitel für eine einzige Seite zu viel ist
Diese Seite dient zur Übersicht zu allen Seiten des Lernpfads Zinsrechnung.
Um mit dem Lernpfad zu starten, beginne mit der Einführung.
Einführung: Das müsst ihr können:
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Einführung
Alltagsbeispiele: Hier begegnen euch Zinsen im Alltag:
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Alltagsbeispiele
Zinsformel: Hier wird euch die Formel erklärt:
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Zinsformel
Zinseszins: Jetzt wird es spannend:
Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Zinsrechnung/Zinseszins
Projekt von Ole W., David B. und Alexander A.
