Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Volumen und Oberfläche des Prismas: Unterschied zwischen den Versionen
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==Prismen und andere Körper== | ==Prismen und andere Körper== | ||
{{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine | {{Box|1= Aufgabe 1: Prismen erkennen|2= Welche der angegeben Körper sind Prismen? Ordne die Körper richtig zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kästchen, um deine Zuordnung zu überprüfen. | ||
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}} | {{LearningApp|width=100%|height=500px|app=px79q1cut20}} | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
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{{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften: | {{Box|1= Aufgabe 3: Körpernetz zeichnen|2= Zeichne das Netz eines Prismas mit folgenden Eigenschaften: | ||
* Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen. | * Die Grundflächen sind Rechtecke, bei denen die langen Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen. | ||
* Das Prisma ist | * Das Prisma ist dreimal so hoch wie die langen Seite der Grundflächen lang sind. | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
* Zeichne | * Zeichne zunächst eine der Grundflächen ein. | ||
* Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat. | * Überlege, wie viele Seitenflächen das Prisma hat. | ||
|Tipps| Einklappen}} | |Tipps| Einklappen}} | ||
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|Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}} | |Beispiellösung| Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}} | ||
{{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. | {{Box |1= Veranschaulichung|2= Bewege den Regler "'''n'''", um die Grundflächen des Prismas zu verändern und den Regler "'''Öffnen'''", um zwischen Prisma und Körpernetz zu wechseln. Überlege dir, wie die Anzahl der Seitenflächen mit der Grundfläche zusammenhängt. <ggb_applet id="eUWDfCAb" width="800" height="600" border="888888" /> | ||
{{Lösung versteckt|Die Anzahl der Seitenflächen des Prismas stimmt mit der Anzahl der Ecken der Grundfläche überein. | |||
|Erklärung| Einklappen}}|3= Hervorhebung1}} | |||
{{Box|1= Aufgabe 4: | {{Box|1= Aufgabe 4: Zusammenfassung|2= Vielleicht sind dir bei den bisherigen Aufgaben schon Besonderheiten des Prismas und Unterschiede oder Gemeinsamkeiten zu anderen Körpern aufgefallen. Um dein Wissen zu vertiefen und das Erlernte zu festigen, fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken ziehst. | ||
<div class="lueckentext-quiz"> | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''. | Das Prisma besteht aus zwei '''Grundflächen''', die '''deckungsgleich und parallel''' zueinander liegen. Der Abstand der Grundflächen zueinander wird als '''Höhe''' des Prismas bezeichnet. Miteinander verbunden werden die Grundflächen durch '''Rechtecke''', die '''Seitenflächen''' genannt werden. Addierst du die '''Flächeninhalte''' aller Seitenflächen, erhältst du die '''Mantelfläche''' des Prismas. Im Vergleich mit anderen geometrischen Körpern fällt auf, dass alle '''Quader und Würfel''' Prismen sind, aber nicht jedes Prisma ein '''Quader oder Würfel''' ist. Und im Gegensatz zum '''Zylinder''', der runde Grundflächen hat, sind die Grundflächen des Prismas '''eckig'''. | ||
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==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten== | ==Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten== | ||
{{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein | {{Box |1= Aufgabe 5: Verständnis und Wiederholung |2= Das Arbeiten mit den Dimensionen Breite, Länge und Höhe kann manchmal ganz schön kompliziert sein. Wann nutzt man '''Addition''', wann '''Multiplikation'''? Warum haben einige Einheiten '''Exponenten''' (Hochzahlen)? Beantworte die folgenden Fragen, indem du auf das richtige Kästchen klickst! Hast du alle Fragen beantwortet, klicke auf "Prüfen". | ||
<div class="multiplechoice-quiz"> | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit | Gegeben sei die Breite eines Rechtecks. Du willst einen Flächeninhalt berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge des Rechtecks addieren) (Die Breite mit der Länge des Rechtecks multiplizieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas addieren) (!Die Breite mit dem Grundflächeninhalt eines Prismas multiplizieren) | ||
Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit einer | Gegeben sei die Breite eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils addieren) (Die Breite mit der Länge und der Höhe des Quaders jeweils multiplizieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils addieren) (!Die Breite mit dem Flächeninhalt einer Seitenfläche und einer Grundfläche des Quaders jeweils multiplizieren) | ||
Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit | Gegeben sei eine Seitenfläche aus Länge und Höhe eines Quaders. Du möchtest ein Volumen berechnen! Was musst du tun? (!Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt addieren) (Die Breite mit dem Seitenflächeninhalt multiplizieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenfläche mit einer Grundfläche addieren) (!Die Flächeninhalte der Seitenflächen mit einer Grundfläche multiplizieren) | ||
Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige | Gegeben seien unterschiedliche Seitenlängen, Flächeninhalte und Volumen! Ergeben sich sinnvolle Ergebnisse, wenn man zwei beliebige Größen miteinander addiert? (!Ja, ohne Einschränkungen) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten unbedingt völlig gleich sein, z.B. cm mit m ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm mit dm usw.) (!Um sinnvoll zu sein, müssen alle Einheiten gleich sein, aber der Exponent darf anders sein, z.B. cm mit m<sup>2</sup> ergibt nichts Sinnvolles, dafür dm<sup>2</sup> mit dm<sup>3</sup> usw.) (Sinnvoll addieren kann man nur Seitenlängen mit Seitenlängen, Flächeninhalte mit Flächeninhalten oder Volumen mit Volumen) (!Nein, niemals) | ||
Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich) | Die Exponenten bei den Einheiten ... (!dienen nur der besseren Unterscheidung) (!erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Additionen, maximal drei Additionen) (erhöhen sich mit der gleichen Anzahl an Multiplikationen, maximal drei Multiplikationen) (!sind willkürlich) | ||
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==Oberfläche eines Prismas== | ==Oberfläche eines Prismas== | ||
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen ''' | {{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit den unterschiedlichen Flächen des Prismas. Die '''Oberfläche eines Prismas''' ergibt sich aus den '''''vielen'' Seitenflächen''', auch '''Mantelfläche''' genannt, zusammen mit den '''''beiden'' Grundflächen'''. Fügst du diese zu einem Körper zusammen, wird ''umgangssprachlich'' auch von einem '''''Hohlkörper''''' gesprochen. | ||
|3= Merksatz}} | |3= Merksatz}} | ||
{{Box |1= | {{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen. | ||
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> | {{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> | ||
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{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math> | {{Lösung versteckt|1= Fläche <math> A </math> = <math>\frac{\text{ Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{2}</math> | ||
|2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}} | |2= Berechnung Fläche eines Dreiecks|3= Berechnung Fläche eines Dreiecks}} | ||
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}} | |Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}} | ||
{{Box | 1=Aufgabe 7: Rechnen | 2= Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche in den beiden Aufgaben: <br /> | |||
{{Box | 1=Aufgabe | '''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines Dreiecks: <math>a=2{,}5</math> cm, <math>b=2{,}6</math> cm, <math>c=2{,}16</math> cm und der Höhe des Dreiecks <math>h_a=2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. | ||
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines | {{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} | |||
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br> | {{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br> | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
G = \frac{a \cdot | G = \frac{a \cdot h_a}{2} = \frac{2 \text{ cm} \cdot 2,5 \text{ cm}}{2} = 2,5 \text{ cm}^2. | ||
\end{align}</math> <br> | \end{align}</math> <br> | ||
A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br> | A: Der Flächeninhalt einer Grundfläche beträgt <math>2,5 \text{ cm}^2</math>. <br> | ||
Berechnung der Mantelfläche: <br> | Berechnung der Mantelfläche: <br> | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2, | M = a \cdot h + b \cdot h + c \cdot h = 2{,}5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2{,}6 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} + 2{,}16 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 30 \text{ cm}^2 + 31{,}2 \text{ cm}^2 + 25{,}92 \text{ cm}^2 = 87{,}12 \text{ cm}^2. | ||
\end{align}</math> <br> | \end{align}</math> <br> | ||
A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math> | A: Der Flächeninhalt der Mantelfläche beträgt <math>87{,}12 \text{ cm}^2</math> . <br> | ||
Berechnung der Oberfläche:<br> | Berechnung der Oberfläche:<br> | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2,5 \text{ cm}^2 + | O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}^2 + 87{,}12 \text{ cm}^2 = 92{,}12 \text{ cm}^2. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math> | A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>92{,}12 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | ||
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> | '''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> | ||
{{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} | {{Lösung versteckt| 1= Zeichnet euch den Körper auf. | 2= Tipp | 3=Tipp einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br> | {{Lösung versteckt| 1= Berechnung der Grundfläche:<br> | ||
Zeile 163: | Zeile 143: | ||
A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }} | A: Der Oberflächeninhalt beträgt <math>306 \text{ cm}^2</math>. <br> | 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> | 3=Arbeitsmethode }} | ||
{{Box| 1=Aufgabe | {{Box| 1=Aufgabe 8: Berechne die fehlende Größe | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt und <math>O</math> der Oberflächeninhalt. Berechne die fehlende Größe. Es seien <br/> | ||
<math>O = 18 | <math>O = 18 </math> dm<sup>2</sup> und <br/> | ||
<math>G = 250 | <math>G = 250 </math> cm<sup>2</sup>. | ||
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} | {{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3=1.Tipp einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den | {{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Oberflächeninhalt nach <math>M</math> um. | 2= 2.Tipp | 3=2.Tipp einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/> | {{Lösung versteckt| 1= Die Größen auf eine Maßeinheit bringen: <br/> | ||
Zeile 178: | Zeile 158: | ||
\end{align} </math> | \end{align} </math> | ||
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach M umgestellt: | |||
Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>M</math> umgestellt: | |||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
&\quad& O &= 2 \cdot G + | &\quad& O &= 2 \cdot G + M \\ | ||
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + | &\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot 250 \text{ cm}^2 + M \\ | ||
&\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + | &\Leftrightarrow& 1800 \text{ cm}^2 &= 500 \text{ cm}^2 + M \\ | ||
&\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= | &\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= M \\ | ||
&\Leftrightarrow& | &\Leftrightarrow& 1300 \text{ cm}^2 &= M | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Damit ist die fehlende Größe <math>M = | Damit ist die fehlende Größe <math>M = 1300 \text{ cm}^2 = 13 \text{ dm}^2</math>. | ||
| 2= Lösungsweg | 3=Lösungsweg einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }} | |||
| 2= | {{Box |1= Aufgabe 9: Vermutung anstellen|2= Betrachte das Fünfeck und das Sechseck. Welche Regelmäßigkeiten vermutest du für beliebige <math> n </math>-Ecke im Hinblick auf die Flächenberechnung? <br> | ||
[[Datei:Fünfeck.png|mini|Fünfeck|center]][[Datei:Sechseck.png|mini|Sechseck|center]] <br> | |||
{{Lösung versteckt|1=1. Man kann jedes regelmäßige <math> n </math>-Eck in <math> n </math> gleiche Dreiecke unterteilen. | |||
2. Wenn die Länge der Grundlinie bekannt ist, kann man nach Bestimmung des Mittelpunkts und dessen Abstand zum Mittelpunkt der Grundlinie den Flächeninhalt jeden Dreiecks bestimmen.|2=2 wichtige Vermutungen|3=2 wichtige Vermutungen}} | |||
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}} | |||
{{Box |1= Berechnung der Oberfläche eines Prismas mit regelmäßigem <math> n </math>-Eck als Grundfläche |2= Die Oberfläche jeden Prismas berechnet sich durch die Addition der zwei Grundflächen und der <math> n </math> Seitenflächen. Mathematisch ausgedrückt: <br> | |||
'''Oberflächeninhalt <math>O</math> = Grundflächeninhalt 1 + Grundflächeninhalt 2 + Rechteckflächeninhalt 1 + Rechteckflächeninhalt 2 + ... + Rechteckflächeninhalt <math>n</math>''' <br> | |||
Die Grundflächeninhalte sind nach Definition eines Prismas beide gleich groß. '''Besonderheit:''' Wegen des regelmäßigen <math> n </math>-Ecks als Grundfläche haben die <math> n </math> Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Darum dürfen wir zusammenfassen und es ergibt sich die allgemeine Formel | |||
'''Oberflächeninhalt = 2 <math> \cdot</math> Grundflächeninhalt + <math> n </math> <math> \cdot </math> Rechteckflächeninhalt''' bzw. ''' <math> O </math> = 2 <math> \cdot </math> <math> G </math> + <math>n </math> <math> \cdot </math> <math> A </math>''' <br> | |||
{{Lösung versteckt|1= Fläche <math> n</math>-Eck <math> A_n </math> = Fläche Dreieck <math> A_D </math> <math> \cdot </math> Anzahl Dreiecke im <math> n</math>-Eck <math> n </math> = <math> \frac{ \text{Grundseite } g \cdot \text{ Höhe zur Grundseite } h_g}{ 2} </math> <math> \cdot </math> <math> n </math> | |||
|2=Berechnung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechung Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Mantelfläche <math> M </math> = Fläche Rechteck <math> A </math> <math> \cdot </math> Anzahl Seiten des <math> n </math>-Ecks <math> n </math> | |||
= Seitenlänge <math> a </math> <math> \cdot </math> Seitenlänge <math> b </math> <math> \cdot </math> <math> n </math> | |||
|2=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks|3=Berechnung Mantelfläche eines Prismas mit der Grundfläche eines regelmäßigen n-Ecks}} | |||
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}} | |||
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Hervorhebung1}} | |||
==Volumen eines Prismas== | ==Volumen eines Prismas== | ||
{{ Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem | {{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit dem Volumen eines Prismas. Du berechnest den '''Rauminhalt eines Prismas''', indem du den Flächeninhalt '''''einer'' Grundfläche''' mit der '''Höhe''' des Prismas multiplizierst. Du kannst dir hier einen Körper vorstellen, den man mit Wasser oder anderen Materialien füllt, ''umgangssprachlich'' einen '''''massiven Körper'''''.|3= Merksatz}} | ||
{{Box |1= Erinnerung| 2= Falls | {{Box |1= Erinnerung| 2= Falls du einige der Grundlagen nicht mehr weißt, kannst du die Formeln hier nochmal nachschlagen. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_W</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>a</math>|2=Berechnung Volumen eines Würfels|3=Berechnung Volumen eines Würfels}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_Q</math> = Seitenlänge <math>a</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>b</math> <math>\cdot</math> Seitenlänge <math>c</math>|2=Berechnung Volumen eines Quaders|3=Berechnung Volumen eines Quaders}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= Volumen <math>V_P</math> = Grundfläche <math>G</math> <math>\cdot</math> Körperhöhe <math>h</math> |2=Berechnung Volumen eines Prismas|3=Berechnung Volumen eines Prismas}} | ||
|3= | |Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}} | ||
{{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /> | {{Box | 1=Aufgabe 10: Rechnen | 2= Berechne das Volumen der beiden Körper: <br /> | ||
'''a)''' Prisma mit der Grundfläche eines | '''a)'''Prisma mit der Grundfläche eines Dreiecks: <math>a=2{,}5</math> cm, <math>b=2{,}6</math> cm, <math>c=2{,}16</math> cm und der Höhe des Dreiecks <math>h_a=2</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=12</math> cm des Prisma. | ||
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe | {{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 7 a) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br> | {{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br> | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
Zeile 224: | Zeile 223: | ||
'''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> | '''b)''' Prisma mit der Grundfläche eines Parallelogramm: <math>a=8</math> cm, <math>b=5</math> cm , <math> h_a=4{,}5</math> cm und mit der Körperhöhe <math>h=9</math> cm des Prisma. <br> | ||
{{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe | {{Lösung versteckt| 1= Schaue dir Aufgabe 7 b) an.| 2= Tipp | 3=Lösung einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br> | {{Lösung versteckt| 1= Berechnen des Volumens:<br> | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
V = | V = 36 \text{ cm}^2 \cdot 9 \text{ cm} = 324 \text { cm}^3 | ||
\end{align}</math> <br> | \end{align}</math> <br> | ||
A: Das Volumen beträgt <math> | A: Das Volumen beträgt <math>324 \text{ cm}^3</math>.| 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> <br /> | 3=Arbeitsmethode }} | ||
{{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind G der Flächeninhalt einer Grundfläche, M der Mantelflächeninhalt, O der Oberflächeninhalt, h die Höhe und V das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> | {{Box| 1=Aufgabe 11: Berechne die fehlenden Größen | 2= Bei einem Prisma sind <math>G</math> der Flächeninhalt einer Grundfläche, <math>M</math> der Mantelflächeninhalt, <math>O</math> der Oberflächeninhalt, <math>h</math> die Höhe und <math>V</math> das Volumen des Körpers. Berechne die fehlenden Größen. <br/> | ||
<math> \begin{align} | <math> \begin{align} | ||
O &= 35 \text{ dm}^2, \\ | |||
M &= | M &= 2800 \text{ cm}^2 \text{ und} \\ | ||
V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br> | V &= 35000 \text{ cm}^3. \end{align}</math> <br> | ||
{{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} | {{Lösung versteckt| 1= Schreibe zunächst die Formel für den Oberflächeninhalt auf. | 2= 1.Tipp | 3= 1.Tipp einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach G um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} | {{Lösung versteckt| 1= Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt nach <math>G</math> um. | 2= 2.Tipp | 3= 2.Tipp einklappen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen | 2= 3.Tipp | 3= 3. | {{Lösung versteckt| 1= Mache das Gleiche mit der Formel für das Volumen. | 2= 3.Tipp | 3= 3. | ||
Tipp einklappen}} | Tipp einklappen}} | ||
Zeile 253: | Zeile 252: | ||
</math> | </math> | ||
Einsetzen der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>G</math> umgestellt: | |||
<math>\begin{alignat}{2} | <math>\begin{alignat}{2} | ||
&\quad& O &= 2 \cdot G + | &\quad& O &= 2 \cdot G + M \\ | ||
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2\\ | |||
&\Leftrightarrow& \ 3500 \text{ cm}^2 &= 2 \cdot G + 2800 \text{ cm}^2 \\ | |||
&\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\ | &\Leftrightarrow& \ 700 \text { cm}^2 &= 2 \cdot G \\ | ||
&\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2 | &\Leftrightarrow& \ G &= 350 \text{ cm}^2 | ||
\end{alignat}</math> | \end{alignat}</math> | ||
Einsetzten der | Einsetzten der bekannten Größen in die bekannte Gleichung und anschließend wird nach <math>h</math> umgestellt: | ||
<math>\begin{alignat}{2} | <math>\begin{alignat}{2} | ||
&\quad& V &= h \cdot G \\ | &\quad& V &= h \cdot G \\ | ||
&\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot | &\Leftrightarrow& 35000 \text{ cm}^3 &= h \cdot 350 \text{ cm}^2\\ | ||
&\Leftrightarrow& | &\Leftrightarrow& 100 \text{ cm} &= h | ||
\end{alignat}</math> <br> | \end{alignat}</math> <br> | ||
A: Die Höhe beträgt <math> | A: Die Höhe beträgt <math>100 \text{ cm}</math> und die Grundfläche ist <math>350 \text{ cm}^2 </math>. | ||
<br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }} | <br /> | 2= Lösungsweg | 3=Lösung einklappen}} <br /> |Farbe={{Farbe|grün}}| 3=Arbeitsmethode }} | ||
==Ausblick== | |||
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit weiterführenden Inhalten, die später wichtig werden können. Zum Beispiel gibt es auch '''Prismen mit unregelmäßigen Grundflächen'''. Außerdem wirst du auch '''schräge Prismen''' kennenlernen, die dann aber eine etwas abgeänderte Definition bei Prismen erfordern.|3= Merksatz}} | |||
{{Box |Aufgabe 12: | {{Box | 1= Aufgabe 12: Unregelmäßige Grundflächen|2= Du hast bereits mit Prismen mit unregelmäßiger Form der Grundflächen gearbeitet, dir darüber aber kaum Gedanken gemacht, weil du rechtwinklige Dreiecke oder Parallelogramme kennst und recht einfach berechnen kannst. Aber es gibt auch kompliziertere Fälle. Viele von diesen sind Kombinationen bekannter Flächen, z. B. unterschiedlichen Rechtecken und/oder Dreiecken. Später kann es sehr wichtig werden, diese unregelmäßigen Grundflächen zur leichteren Berechnung wieder in einzelne Teilflächen zu zerlegen. Finde im Applet zur passenden unregelmäßigen Grundform eine mögliche Zerlegung und "klebe" sie aneinander! Bist du fertig, klicke auf das blaue Häkchen unten rechts. | ||
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11748288}} | |||
|Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}} | |||
{{ | {{Box |1= Aufgabe 13: Gedankenexperiment | 2= Stelle dir vor, du hast vier gleiche Kartenspiele. '''1. Schritt:''' Du stapelst sie genau übereinander und erhälst dadurch ein Prisma! '''2. Schritt:''' So gerade nach oben findest du es aber langweilig, deshalb verschiebst du jede einzelne Karte immer ein wenig mehr auf eine Seite und bringst so den Stapel in eine Schräge. Du bekommst so ein schräges Prisma! '''Frage:''' Was verändert sich? Was bleibt gleich? Bist du fertig, klicke auf das blaue Häkchen unten rechts. | ||
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Bilder1.png|mini]] | 2= Hilfe, falls du es dir nicht vorstellen kannst | 3= Hilfe einklappen}} | |||
<br | {{Lösung versteckt| 1= Gleich bleiben Winkel in den Grundflächen, da wir die oberste und unterste Karte nicht verändern und sie "Rechtecke" bleiben. Das Volumen bzw. die Höhe würden sich nur ändern, wenn man Karten wegnimmt oder dazulegt. <br> | ||
Die veränderte Form des Körpers bzw. der Oberfläche ist eine logische Folge der Verschiebungen der Karten, was du auch auf dem zweiten Bild der Hilfe sehen kannst. Bei den bisher bekannten "geraden" Prismen haben wir zwischen Grundflächen und Seitenflächen immer rechte Winkel von 90°. Bei "schrägen" Prismen muss es aber Winkel geben, die ungleich 90° sind. [[Datei:Vorderansichten Seitenflächen von "geraden" und "schrägen" Prismen.png|center|mini]] | |||
| 2= Hinweise zur Lösung | 3= Hinweise einklappen }} | |||
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p48z32tft20}} | |||
|Farbe={{Farbe|green}}|3= Arbeitsmethode}} |
Aktuelle Version vom 18. Dezember 2020, 16:30 Uhr
Das Prisma
Prismen und andere Körper
Vor dem Rechnen: Verständnis, Größen und Einheiten
Oberfläche eines Prismas
Volumen eines Prismas
Ausblick