Benutzer:Buss-Haskert/AFR/Lineare Gleichungssysteme

0) Vorwissen
1) Lineare Gleichungen mit zwei Variablen
2) Lineare Gleichungssysteme
3) Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen

Lernpfad Lineare Gleichungssysteme - Alles rund um Freizeit

In diesem Lernpfad lernst du, was lineare Gleichungssysteme (LGS) sind und welche Verfahren zur Lösung es gibt. Zu den verschiedenen Lösungsverfahren wirst du selbst Videos erstellen. Zudem wirst du Anwendungssituationen zu linearen Gleichungssystemen kennenlernen.

Die Übungen im Buch beziehen sich auf das Schülerbuch "Mathematik heute 9" des Schroedel-Verlages.

Diese Seite wurde kopiert aus dem Lernpfad der Herta-Lebenstein-Realschule, erstellt von C. Buß-Haskert [1] unter der CC BY SA Linzenz. Herzlichen Dank!

0) Vorwissen

Ich kann ...	Übungen online
- mit Fachbegriffen umgehen.
-Terme zu mathematische Texten, geometrischen Situationen und Sachsituationen aufstellen.
- Werte von Termen berechnen.
-Terme (mit Klammern) vereinfachen
-Lineare Gleichungen lösen.
- eine Wertetabelle zu einer linearen Funktion aufstellen
-Gleichung und Graphen linearer Funktionen einander zuordnen.

1) Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Die Aufgabe kann mit einer Gleichung mit zwei Variablen gelöst werden. Die Variable x steht für den Preis einer Tüte Pommes, die Variable y für den Preis einer Dose Cola.

Löse durch Probieren

Die obige Situation lässt sich durch die Gleichung x + 2y = 5 beschreiben. Finde durch Probieren verschiedene Zahlenpaare (x;y), die diese Gleichung erfüllen. Wie viel könnten eine Tüte Pommes und eine Dose Cola kosten, damit die Gleichung passt? Notiere deine Werte in einer Tabelle.

Schaubild/Graph

Trage deine Lösungen in ein Koordinatenkreuz ein. Fällt dir etwas auf?

Alle Punkte (x$\mid$y) liegen auf der Geraden mit der Gleichung y= -$\frac{1}{2}$x+2,5.

GeoGebra-Applet zur Einsteigsaufgabe: https://www.geogebra.org/m/wwaferxp

von C. Buß-Haskert

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Die Gleichung für die Situation oben lautet x + 2y = 5.

Alle Zahlenpaare (x;y), die diese lineare Gleichung erfüllen, sind Lösungen der Gleichung.
Diese Lösungen stellen Punkte (x$\mid$y) im Koordinatensystem dar und liegen auf der Geraden mit der Funktionsgleichung
y=mx+b.

Übung 1 Text - Gleichung

Ordne im Quiz und in der nachfolgenden LearningApp dem Text eine passende Gleichung mit zwei Variablen und eine mögliche Lösung zu.

Addiert man zu einer Zahl 6, so erhält man das Dreifache der anderen Zahl.x + 6 = 3∙y
Addiert man zur zweiten Zahl 6, so erhält man das Vierfache der ersten Zahl.y + 6 = 4∙x
Die Summe zweier Zahlen ist 52.x + y = 52
Das Doppelte der ersten ist gleich dem Dreifachen der zweiten Zahl.2∙x = 3∙y
Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Umfang von 41 cm.2x + y = 41
In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Basis (Grundseite) nur ein Drittel so lang wie die Schenkel.y = $\frac{1}{3}$x
Der Umfang eines Rechtecks ist 80 cm.2x + 2y = 80
Der Flächeninhalt eines Rechtecks beträgt 64cm².x∙y = 64
Andreas hat 6 CDs mehr als Karin.y = x - 6

Übung 2 Punktprobe

Bestimme die fehlende Zahl des Wertepaares bzw. prüfe, ob die angegebenen Wertepaare Lösungen der linearen Gleichung sind.

Übung 3 Funktionsgleichung und Wertetabelle

Löse die Gleichung nach y auf und schreibe sie in der Form y=mx+b. Zeichne die zugehörige Gerade der Funktion f(x).

Übung 4 (Buch)

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Rechnungen ausführlich im Heft (Schreibweisen beachten!).

• S. 43, Nr. 2
• S. 43, Nr. 3
• S. 43, Nr. 4
• S. 43, Nr. 5

Setze die Zahlenpaare passend in die Gleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt (Punktprobe).
Beispiel:
(1|-6) einsetzen in a):
1 + (-6) = 8
1 - 6 = 8
-5 = 8 (f)

Diese Aussage ist falsch, also ist das Zahlenpaar keine Lösung der Gleichung.

Setze die gegebenen Werte passend in die Gleichung ein und berechne die fehlende Zahl des Zahlenpaares.
Beispiel:
(-2|___) einsetzen in a):
2·(-2) + y = 6
-4 + y = 6   |+4
y = 10 (f)

Das Zahlenpaar lautet (-2|10)

Erinnerung: Graphen linearer Funktionen zeichnen - Video

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Beispiel: Aufgabenteil a)
4x + 2y = 10
1. Gleichung nach y auflösen:
4x + 2y = 10   |-4x
2y = -4x + 10   |:2
y = -2x + 5
2. Graphen zeichen:
y = -2x + 5 schneidet die y-Achse im Punkt P(0|5) und hat die Steigung m = -2.
Zeichne passend. (Hilfe: GeoGebra).

Probe durch Rechnung:
(-1|7) ist Lösung der Gleichung 4x + 2y = 10, denn
4·(-1) + 2·7 = 10
-4 + 14 = 10
10 = 10 (w)

Es ergibt sich eine wahre Aussage, also erfüllt das Zahlenpaar die Gleichung.

1. Bedeutung der Variablen angeben:
x Anzahl der Weizenbrötchen
y Anzahl der Roggenbrötchen
2. Gleichung aufstellen:
x·0,30 + y·0,50 = 24
3. Mögliche Lösung angeben:

(0;48); (5;45); ...

Übung 5 - komplexe Aufgabe

Löse die Aufgaben aus dem Buch.

• S. 44 Nr. 10

GeoGebra-Applet zur Aufgabe
Originallink https://www.geogebra.org/m/v6fs4e6u

Applet von C.Buß-Haskert

2) Lineare Gleichungssysteme

Im Imbiss

Was ist hier gesucht? Übertrage die Aufgabe in dein Heft. Löse allein und vergleiche anschließend mit deinem Partner

Lege die Bedeutung der Variablen fest, z.B. x - Preis pro Getränk, y - Preis pro Portion Pommes.
Stelle nun jeweils eine passende Gleichung auf. Nutze zur Lösung verschiedene Darstellungen: Wertetabellen und Graphen

Gleichungen aufstellen:
I. 2x + y = 5,00
II. x + 3y = 7,50

Wertetabellen

Wo findest du die Lösung des Problems? Begründe.

Graphen

Wo findest du die Lösung des Problems? Begründe.

Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus zwei linearen Gleichungen. Diese haben jeweils zwei Variablen. Das Wertepaar (x;y), das beide Gleichungen erfüllt, ist die Lösung des linearen Gleichungssystems.
Diese Lösung kannst du z.B. durch Probieren erhalten (Wertetabelle).

3) Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen