Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisumfang

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Kreis und Zylinder - Startseite

1 Kreisumfang
2 Kreisfläche
3 Kreisteile

1 Kreisumfang u

1.1 Kreisumfang entdecken

Kreisumfang entdecken

Was ist größer? Die Höhe oder der Umfang des Glases?

Schau in der folgenden LearningApp das Video dazu an.

Kreisumfang entdecken

a) Miss den Durchmesser d und den Umfang u von verschiedenen kreisförmigen Gegenständen. Beschreibe, wie du vorgehst.
b) Trage die Werte in eine Tabelle ein:

c) Was fällt dir auf? Notiere Stichpunkt im Heft.

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Prüfe deine Vermutung aus dem Teil c) mithilfe des nachfolgenden Applets. Wähle den Vollbildmodus zur Bearbeitung.

Applet von Pöchtrager

Stelle deine Werte aus der Tabelle in einem d-u-Diagramm dar. Was fällt dir auf?

Das Diagramm ist eine Ursprungsgerade, also ist die Zuordnung proportional. Das heißt auch, dass der Quotient $\tfrac{u}{d}$ immer gleich ist.

Der Umfang u eines Kreises ist proportional zu seinem Durchmesser d.
Der Quotient $\tfrac{u}{d}$ beträgt immer ca. 3,1.

Dieses Verhältnis wird Kreiszahl π genannt. $\tfrac{u}{d}$ = π.

Kreisumfang

Den Umfang u eines Kreises mit Durchmesser d (Radius r)
berechnen wir mit der Formel:

u = π · d   oder u = 2· π · r  (denn d = 2·r)

Zusammenfassung:

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1.2 Exkurs: Kreiszahl π

Beim Kreis ist das Verhältnis von Umfang u und Durchmesser d ist immer gleich.

Dieses Verhältnis wird Kreiszahl π genannt. $\tfrac{u}{d}$ = π = 3,141... Dieser Dezimalbruch endet nie.

Dorfuchs hat die ersten 200 Nachkommastellen von π mit einer Fußballjonglage verbunden: Beeindruckend!

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Das folgende Näherungsverfahren für die Kreiszahl π geht auf Archimedes (282 v.Chr. Bis 212 v.Chr.) zurück. Es beruht auf der Betrachtung von regelmäßigen Vielecken, die dem Kreis umschrieben bzw. einbeschrieben sind.

Applet von Pöchtrager

Und nun noch einige kurze Infos zur Kreiszahl π:

• eine der bekanntesten und sagenumwobensten Zahlen der Mathematik
• Ansätze ihrer Berechnung wurden schon im 17 Jahrhundert v. Chr. im Rechenbuch des Ahmes angedeutet
• mathematisch relativ genau als erstes von dem griechischen Mathematiker und Philosoph Archimedes im Jahr 250 v .Chr. bestimmt worden, mit 2 Dezimalstellen (3,14)
• Mittlerweile (2010) von dem Mathematiker Shigero Kondo auf ca. 5 000 000 000 000  Dezimalstellen berechnet
• beschreibt das Verhältnis vom Umfang des Kreise zu seinem Durchmesser, welches bei allen Kreisen gleich ist:

π = $\tfrac{u}{d}$ = 3,14159...

• Ein Kreis mit dem Durchmesser 1 hat somit einen Umfang von π.

Tastenkombination für die Kreiszahl π für Berechnungen mit dem Taschenrechner:

1.3 Kreisumfang - Berechnungen

Kreisumfang - Berechnungen

Theo und Lara sollen den Durchmesser des Stammes eines Baumes in einer Höhe von einem Meter über dem Boden ermitteln.

Vervollständige den Gedanken von Lara.

Sie nehmen eine lange Schnur, führen diese einmal um den Baum herum und messen dann mit einem Maßband, wie lang die Schnur ist. So haben sie den Umfang u des Stammes gemessen. Nun berechnen sie mit der Formel für den Kreisumfang den zugehörigen Durchmesser.

Kreisumfang - Berechnungen

Bei gegebenem Durchmesser d oder Radius r kannst du den Umfang u berechnen mit den Formeln
u = π · d   oder u = 2· π · r
Durch Umstellen der Formeln nach d bzw. r kannst du bei gegebenem Umfang den Durchmesser bzw. den Radius bestimmen.

Schreibe die Formeln in dein Heft und stelle sie nach d bzw. r um.

Kreisumfang - Berechnungen

Übertrage die folgenden Beispiele in dein Heft

Beispiele:

Umfang u berechnen:

geg: d = 3,0 cm
ges: u
u = π · d   |Wert einsetzen
   = π · 3,0

   = 9,4 (cm)

geg: r = 1,0 cm
ges: u
u = 2 · π · r   |Wert einsetzen
   = 2 · π · 1,0

   = 6,3 (cm)

Durchmesser d berechnen:

geg: u = 15,7 cm
ges: d
u = π · d   |: π
$\tfrac{u}{\pi}$ = d   |Wert einsetzen
$\tfrac{15,7}{\pi}$= d

5,0 (cm) = d (cm)

Radius r berechnen:

geg: u = 22,0 cm
ges: r
u = 2 · π · r   |: (2·π)
$\tfrac{u}{2\pi}$ = r  Wert einsetzen
$\tfrac{22,0}{2\pi}$ = r

3,5 (cm) = r

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Übung 1 - online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 5
• 6
• 7
• 8

Übung 2 - Grundlagen

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere übersichtlich mit den Schreibweisen wie in den Beispielen.

• S. 129 Nr. 1 (Wähle je eine Aufgabe aus a-c und eine Aufgabe aus d-e aus.)
• S. 129 Nr. 2 (Wähle eine Aufgabe aus.)
• S. 129 Nr. 3 (Wähle drei Aufgaben aus.)

Prüfe deine Ergebnisse mit dem nachfolgenden Applet.

Kreisumfang - "Pi mal Daumen"

Handwerker benutzen zur Kreisumfangsberechnung oft die folgende Faustformel: Kreisumfang = Durchmesser mal 3 plus 5 Prozent.

a) Berechne mit der Faustformel den Umfang für

• d = 40 cm
• d = 8 cm
• r = 3 cm.

b) Berechne nun die Umfänge aus Teil a) mit dem genauen Wert für π und vergleiche.

c) Berechne den Näherungswert für π, der bei dieser Faustformel verwendet wird. Notiere deine Rechnung.

Formel: Durchmesser mal 3 plus 5%:
Für d = 40 cm:
"Durchmesser mal 3"   40·3 = 120 (cm)
"plus 5%"    5% von 120 = 6 (cm) (Rechne mit Formel oder mit Dreisatz)

mit Formel

geg: G=120cm; p%=5%=0,05
ges: W

W = G ∙ p% = 120 ∙ 0,05 = 6 [cm]

mit Dreisatz

Prozentsatz p%	Strecke (cm)
100%	120
10%	12
5%	6

Ergebnis der Faustformel: Umfang = 120 + 6 = 126 (cm)

Die Formel für den Umfang lautet u = π·d.
In der Faustformel wird gerechnet:
u = 3·d + 0,05·(3·d) (Durchmesser mal 3 plus 5%)
   = 3·d + 0,15·d
   = 3,15·d

Also wird für π der Wert 3,15 näherungsweise verwendet.

1.4 Anwendungsaufgaben

Übung 3 - geometrische Anwendungen

Figuren können aus verschiedenen Flächen - auch Kreisflächen zusammengesetzt werden. Löse die Aufgaben aus dem Buch. Übertrage dazu die Skizze in dein Heft und löse schrittweise.
Erinnerung: Die Ameise läuft für den Umfang u einmal um die Figur herum.

• S. 129 Nr. 4
• S. 129 Nr. 5
• S. 129 Nr. 8

- Der Umfang zweier Halbkreise ist genauso groß wie der Umfang eines ganzen Kreises (bei gleichem Radius).

- Wie groß ist der Radius (oder der Durchmesser) der Halbkreise?

Laufe die drei Strecken des Rechtecks und dann die zwei Halbkreise entlang ("die Ameise läuft drum herum")

Lösung: u = 5 + 10 + 5 + π·5 = 35,71 (cm)

Berechne den Durchmesser d des Halbkreises mit dem Satz des Pythagoras.
In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: (Kathete² + Kathete² = Hypotenuse²

Lösung: d = 13

Der Umfang des Halbreises ist halb so groß wie der eines Kreises:
u_Halbreis = $\tfrac{1}{2}$u_Kreis = $\tfrac{1}{2}$π·d

Lösung: u = 12 + 5 + 20,42 = 37,42 (cm)

Hilfsapplet zu Nr. 5

Betrachte den Durchmesser der Kreise. Was geschieht jeweils von Bogen zu Bogen?
d₁=2cm; d₂=1cm; d₃=$\tfrac{1}{2}$; d₄=$\tfrac{1}{4}$; d₅ = $\tfrac{1}{8}$; ...

Berechne jeweils die Umfänge: $\tfrac{1}{2}$ u₁ = $\tfrac{1}{2}$·2·π = π; ...

Kreisumfang - Sachsituationen

Aus einem DIN A4-Blatt (21 cm breit und 29,7 cm lang) soll eine Rolle entstehen. Der Kleberand beträgt 7 mm. Du hast zwei Möglichkeiten, das Blatt zusammenzurollen.
a) Berechne den Umfang der so entstandenen Papierrollen. Notiere deine Rechnung. b) Berechne den Durchmesser der Rollen.

Tipp: Um die Anwendungsaufgaben zu lösen, ist es hilfreich, den Radius, den Durchmesser oder den Umfang eines Kreises in den Aufgaben zu suchen.

Du kannst das Blatt einmal längs rollen und einmal quer:

geg: u = Länge bzw. Breite es Blattes - 7mm Kleberand

geg: u1 = 21-0,7 = 20,3 (cm) u₂ = 29,7 - 0,7 = 29 (cm)
ges: d

Stelle die Formel für den Umfang nach d um.

Übung 4 - Sachsituationen

Löse die Aufgabe aus den nachfolgenden GeoGebra-Applets. Notiere die Lösung ausführlich und übersichtlich in deinem Heft.

Applet von Schober

Der Weg der Füße entspricht dem Umfang der Erde. Diesen berechnest du mit der Formel u = 2·π·r, wobei der Erdradius r = 6370000m beträgt.

Der Radius für den Weg des Kopfes ist 1,5m größer als der Erdradius, also r₂=6370000+1,5 = 6370001,5(m)

Übung 5 - Sachsituationen

Wähle aus den Aufgaben aus dem Buch aus, sammle mindestes 6 Sternchen. Notiere die Lösungen übersichtlich. Nutze bei Bedarf die Tipps. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.

• S. 129 Nr. 7 (**)
• S. 130 Nr. 11 (*)
• S. 130 Nr. 12 (*)
• S. 130 Nr. 13 (*)
• S. 130 Nr. 14 (*)
• S. 130 Nr. 15 (**)
• S. 130 Nr. 16 (**)
• S. 130 Nr. 17 (*)

Verlgeiche mit Übung 4 (Laufen um die Erde).

Vergleiche mit der Einstiegsaufgabe.

Die Länge des Metallbandes entspricht dem Umfang des entstehenden Kreises.

Lösung: d≈0,95m

Gesucht ist der Weg, den das Rad an einem Tag zurücklegt.
d=Höhe des Rads = 1,95. Berechne u.
Weg des Rads an einem Tag: 6000·u, da sich das Rad 6000 mal dreht.

Lösung:36780m

Eine Umdrehung des Rades entsprich dem Umfang des Rades. 2 Umdrehungen sind also gleich 2·u.
Stelle eine Gleichung auf und löse diese nach d auf.

Lösung: d=0,16m

Gleiche Einheiten! Wandle die Geschwindigkeit von 25 km/h in die Einheit cm/s um.

25 km/h = 2500000cm/h = $\tfrac{2500000cm}{3600s}$ ≈ 694,4 cm/s.

Berechne den Umfang des Dynamorädchens.
Berechne danach, wie oft dieser Umfang in 694,4 cm (so weit dreht sich das Rad pro Sekunde) passt.

Lösung: ca. 111 mal

Wie viele "Wellen" befinden sich in der Wellblechplatte?
2,50m Länge = 250cm (gleiche Einheiten!)
250cm : 5cm = 50

Diese Wellbelchplatte besteht aus 50 Wellen.

Ursprünglich muss die Platte so lang gewesen sein, dass 50 Wellen daraus zu legen sind:
Länge ursprünglich = 50·Umfang eines Halbkreises mit d=5cm
= 25·Umfang eines ganzen Kreises mit d=5cm.
Länge = 25·π·d=...

Lösung: 3,93m

Berechne den Umfang u des Kraters mit d=24km.
Teile diese Strecke auf drei Tage auf.

Lösung: pro Tag ca. 25 km

Übung 6 - online

Wähle von der Seite Aufgabenfuchs mindestens 3 Aufagben aus und löse diese ausführlich im Heft.

• 9
• 27
• 28
• 29
• 30
• 31
• 32

2 Kreisfläche