Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche: Unterschied zwischen den Versionen
K (Videos ergänzt) Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
KKeine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
Zeile 67: | Zeile 67: | ||
Merke dir die Formel mit dem Lied von Dorfuchs: | Merke dir die Formel mit dem Lied von Dorfuchs: | ||
{{#ev:youtube|h43mo0QXnDk|800|center}}<br> | {{#ev:youtube|h43mo0QXnDk|800|center}}<br> | ||
Zeile 117: | Zeile 116: | ||
<br> | <br> | ||
<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|1ZxxcctOYlc| | <div class="width-1-2">{{#ev:youtube|1ZxxcctOYlc|460|center}}</div> | ||
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|9KYowFl5VKc|460|center}}</div> | <div class="width-1-2">{{#ev:youtube|9KYowFl5VKc|460|center}}</div> | ||
</div> | </div> |
Version vom 10. April 2021, 07:57 Uhr
SEITE IM AUFBAU!!
Kreisfläche A
Du hast jeweils den Durchmesser der Pizzen gegeben, damit kannst du den Radius berechnen.
Um die Frage zu beantworten, musst du den Flächeninhalt der Pizzen berechnen können.
2.1 Kreisfläche - Herleitung der Formel
Applet von Anthony Or. Education Bureau
Das Applet ist einfacher dargestellt und gibt bei er neu entstandenen Figur die Längen an. Kannst du nun eine Formel für den Flächeninhalt herleiten?
Die Fläche, die durch das Einteilen des Kreises und das Umlegen entsteht, hat annähernd die Form eines Rechtecks mit den Seitenlängen a= (halber Umfang) und b = r (Radius)
Also gilt:
A = a·b | Setze für a den halben Umfang und für b den Radius ein.
= · r | Setze für u die Formel für den Umfang ein: u =2πr.
= · r | Kürze mit 2.
= πr · r | Fasse r·r zusammen.
Das Video fasst die Herleitung der Formel zusammen:
Eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt eines Kreises abzuschätzen, zeigt das folgende Applet von Pöchtrager:
Beschreibe!
Merke dir die Formel mit dem Lied von Dorfuchs:
2.2 Kreisfläche - Berechnungen
Beispiele:
geg: r = 3,0 cm
ges: A
A = π · r² |Wert einsetzen
= π · 3,0²
geg: d = 5,0 cm
ges: A
r = = = 2,5 (cm)
A = π · r² |Wert einsetzen
= π · 2,5²
geg: A = 7,0 cm²
ges: r
A = π · r² |: π
= r2 |
= r &nbap; |Wert einsetzen
= r
1,5 (cm) ≈ r
geg: A = 18,10 cm²
ges: d
d = 2·r; Berechne zunächst r:
A = π · r² |: π
= r2 |
= r &nbap; |Wert einsetzen
= r
2,4 (cm) ≈ r
Radius r und Umfang u:
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dannverdoppelt, verdreifacht, vervierfacht sich der Umfang u.
Radius r und Flächeninhalt A:
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dannvervierfacht, verneunfacht, versechzehnfacht sich der Flächeninhalt A.
Prüfe deine Vermutung mit dem nachfolgenden GeoGebra-Applet:
2.3 Kreisfläche - Anwendungen
Jetzt kannst du die Einführungsaufgabe lösen: Bei welcher Pizza erhältst du mehr Pizza für dein Geld?
Geometrische Anwendungen
Umfang u: Die Ameise läuft außen um die Figur herum. Addiere die Teilstrecken.
Flächeninhalt A: Male die Fläche innen drin aus.
Der Radius der Halbkreise beträgt r = 1 cm, denn
Für den Umfang läuft die Ameise an drei Seiten des Quadrates und den Halbkreisbogen entlang.
Berechne den Umfang des Halbkreises: uHalbkreis = ·uKreis = ·2·π·r = π·r
Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des Quadrates A 1und dem Flächeninhalt des Halbreises A2.
Berechne den Flächeninhalt des Halbkreises A2 = AHalbkreis = ·AKreis = ·π·r².
Musterlösung (Schreibweisen) zu Nr. 6a:
Umfang u:
uHalbkreis = ·uKreis
= ·2·π·r
= π·r
= π·1
= 3,14 (cm)
ugesamt = 2 + 2 + 2 + 3,14 = 9,14 (cm)
Flächeninhalt A:
A1 = AQuadrat
= 2²
A2 = AHalbkreis
= ·AKreis
= ·π·r²
= ·π·1²
Agesamt = A1 + A2
= 4 + 1,57
Umfang u: Die Ameise läuft 4 Viertelkreisbögen, also um einen ganzen Kreis herum. Außerdem läuft sie viermal die Strecke vom 4cm.
Lösung: u = 41,1 cm
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Quadrat in der Mitte und 4 Viertelkreisen, also einem ganzen Kreis.
Umfang u: Das Dreieck ist ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Die Basis ist 4cm lang. Bestimme die Länge der Schenkel mit dem Satz des Pythagoras.
Lösung: u = 11,9cm
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt A1 des Dreiecks und dem Flächeninhalt A2 des Halbkreises.
Da das Dreieck rechtwinklig ist, sind die Schenkel je Grundseite und Höhe des Dreiecks.
Umfang u: Auch hier handelt es sich um ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Bestimme die Schenkellänge mit dem Satz des Pythagoras (vgl. Aufgabe 6c). Der Umfang der zwei Halbkreise ist genauso groß wie der Umfang eines ganzen Kreises.
Radius r = 12:4 = 3 (cm)
Lösung: u = 35,8 (cm)
Der Winkel 45° bedeutet, dass es sich bei dem Dreieck um ein halbes Quadrat handelt. Das Dreieck ist also ebenfalls gleichschenklig rechtwinklig.
Damit beträgt der Radius des Halbkreises r = 4,5:2 = 2,25 (cm) .
Umfang u: Bestimme die Hypotenuse des Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras.
Lösung: u = 18,0 cm (mit genauen Werten 17,9)
Berechne den Radius des Halbkreises mit dem Satz des Pythagoras.
Lösung: Umfang u = 38,8cm
Flächeninhalt A: Die Grundseite des Dreiecks ist 2r lang, die Höhe beträgt 8cm. Berechne damit den Flächeninhalt des Dreiecks. Falls du die Formel nicht mehr weißt, findest du sie hinten im Schulbegleiter.
Der Umfang u setzt sich zusammen aus dem Umfang des großen Halbkreises und dem Umfang eines ganzen kleinen Kreises (zwei Halbkreise).
Lösung: u = 25,1cm
Um die Fläche der Figur zu berechnen, subtrahiere vom großen Halbkreis die zwei kleinen Halbkreise (bzw. einen ganzen kleinen Kreis).
Der Umfang der Figur ist genauso groß wie in Teil a.
Der Flächeninhalt setzt sich zusammen aus der Summe des großen Halbkreises und eines kleinen Kreises.
Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem großen Halbkreis, dem mittleren Halbkreis und zwei kleinen Halbkreisen (also einem ganzen kleinen Kreis).
Lösung: u = 25,1cm
Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des großen Halbreises + dem Flächeninhalt des mittleren Halbkreises - zwei kleinen Halbkreisen (also einem ganzen kleinen Kreis).
Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem Umfang des großen Halbkreises und dem Umfang eines ganzen kleinen Kreises (zwei Halbkreise).
Lösung: 25,1cm
Der Flächeninhalt der Figur ist gleich dem Flächeninhalt des großen Halbkreises, denn der kleine Halbkreis wird einmal addiert und dann wieder subtrahiert.
Sachsituationen
Der Flächeninhalt des Verschnittes berechnest du, indem du die Kreisflächen von der Quadratfläche subtrahierst. Bestimme für die Berechnung der Kreisflächen jeweils den Radius der Kreise.
AVerschnitt = AQuadrat - AKreise
= 80 · 80 - 1·π·40²
= 1600 - 5026,55
= 1373,45cm²
Rechne weiter für die übrigen Figuren. Was fällt dir auf?
Die Flügellänge entspricht dem Radius, die Winderntefläche der Kreisfläche.
Lösung: a) A ≈ 1122,21 m²
Die Kreisform entsteht, da die Bewässerungsanlagen sich kreisförmig drehen.
Um die ungenutzte Fläche zu berechnen, subtrahiere die Kreisfläche von der quadratischen Fläche.
Schätze die Größe des Mannes (ca. 1,80m) und damit den Durchmesser der Iris (ca. 3,20m). Berechne nun die Kreisfläche.
Berechne zunächst die Fläche des Topfbodens und die Fläche der Herdplatte.
NOCH ERGÄNZEN!!