Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen: Unterschied zwischen den Versionen
KKeine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
KKeine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
| Zeile 273: | Zeile 273: | ||
{{Lösung versteckt|1=Skizziere das Teildreieck mit der Dreieckshöhe der Grundfläche als eine Kathete und der Prismenhöhe h als zweite Kathete.<br> | {{Lösung versteckt|1=Skizziere das Teildreieck mit der Dreieckshöhe der Grundfläche als eine Kathete und der Prismenhöhe h als zweite Kathete.<br> | ||
Bestimme dann zunächst die Dreieckshöhe ebenfalls mit dem Satz des Pythagoras.|2=Tipp 1 zu Nr. 20|3=Verbergen}} | Bestimme dann zunächst die Dreieckshöhe ebenfalls mit dem Satz des Pythagoras.|2=Tipp 1 zu Nr. 20|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 120 Nr. 20 Skizzen.png|rahmenlos| | {{Lösung versteckt|[[Datei:S. 120 Nr. 20 Skizzen.png|rahmenlos|600px]]|Tipp 2 zu Nr. 20 (Skizzen)|Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Die Dachfläche besteht aus vier Dreiecken. Erinnerung: A<sub>Dreieck</sub> = <math>\tfrac{g\cdot h}{2} = \tfrac{a\cdot h_a}{2}</math>.<br> | {{Lösung versteckt|1=Die Dachfläche besteht aus vier Dreiecken. Erinnerung: A<sub>Dreieck</sub> = <math>\tfrac{g\cdot h}{2} = \tfrac{a\cdot h_a}{2}</math>.<br> | ||
Bestimme also h<sub>a</sub> mit dem halben Parallelschnitt (s.o.)|2=Tipp zu Nr. 11a|3=Verbergen}} | Bestimme also h<sub>a</sub> mit dem halben Parallelschnitt (s.o.)|2=Tipp zu Nr. 11a|3=Verbergen}} | ||
Version vom 14. März 2021, 13:46 Uhr
SEITE IM AUFBAU!!
1) Rechtwinklige Dreiecke zeichnen mit dem Satz des Thales
2) Satz des Pythagoras
3) Satz des Pythagoras - Anwendungen
Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke. Wenn kein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, musst du die Figur in rechtwinklige Teildreiecke zerlegen. Dann kannst du in diesen Teildreiecken fehlende Seitenlängen mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
3.1 Anwendungen in geometrischen Figuren
Einführungsbeispiel:
Bestimme den Umfang und den Flächeninhalt des rechtwinkligen Trapezes:
Um die Länge der Seite b zu bestimme gehe schrittweise vor:
1. Zerlege die Figur so, dass die gesuchte Seite b eine Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist.
2. Überlege, ob die Seite eine Kathete oder die Hypotenuse in diesem Dreieck ist und stelle den Satz des Pythagoras richtig auf.
3. Berechne die Länge der Seite b mithilfe des Satzes von Pythagoras. Runde sinnvoll.
2² + 5² = b² |
= b
4. Löse die Aufgabe: Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Figur.
Umfang u = a + b + c + d = 7 + 5,4 + 2 + 2 = 16,4 (cm)
Dieses Video zeigt die Berechnungen für eine symmetrisches Trapez:
Hefteintrag zu Nr. 1:
Beschrifte in der Skizze die zweite Kathete im linken rechtwinkligen Dreieck mit z.B. "a".
linkes Dreieck:
15² + a² = 39² |-15²
a² = 39² - 15² |
a = (Taschenrechner)
a = 36 (cm)
rechtes Dreieck:
a² + x² = 47²
36² + x² = 47² |-36²
x² = 47² - 36² |
x = (Taschenrechner)
x 30,2 (cm)
Teile die Figuren jeweils in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck ein. Berechne dann mit Pythagoras die fehlenden Seitenlängen.
Teile die Figuren in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck ein.
Die Figuren sind jeweils Trapeze. Wiederhole die Flächeninhaltsformel für das Trapez (Schulbegleiter).
Zerlege die Figur in zwei rechtwinklige Dreiecke, indem du die Diagonale von links oben nach rechts unten zeichnest. Berechne dann zunächst die Länge der Diagonale und damit die Länge der fehlenden Seite.
Hilfsvideos zu den Aufgaben S. 114 Nr. 5 und S. 122 Nr. 4:
3.2 Anwendungen im Raum
Um rechtwinklige Teildreiecke in Körpern zu erkennen, ist es hilfreich, ein Kantenmodell dieses Körpers zu erstellen. Dies kannst du basteln mit Holzspießen und Erbsen oder Weingummi.
Kantenmodell eines Würfels:
Kantenmodell eines Quaders:
Kantenmodell einer quadratischen Pyramide:
Hinweise zu Pythagoras im Würfel:
Hilfsdreieck 1: halber Parallelschnitt
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite und die Höhe der Pyramide hK. Die Hypotenuse ist die Höhe der Seitenfläche hS.
Hilfsdreieck 2: halber Diagonalschnitt
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Diagonale der Grundseite und die Höhe der Pyramide hK. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .
Hilfsdreieck 3: halber Seitenfläche
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite und die Höhe der Seitenfläche hS. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .
Schau das Video zu Pythagoras in der quadratischen Pyramide an. Dies hilft dir bei der Bearbeitung der Übung 6.
Teildreieck zur Pyramide:
Teildreieck zum Quader:
Teildreieck zum Kegel:
Teildreieck:
Teildreiecke:
3.3 Anwendungen in Sachsituationen
Beispiel:
Ein Baum ist bei einem Sturm umgeknickt. Der Teil des Stammes, der noch stehengeblieben ist, ist 5,80 m hoch. Die Baumkrone berührt in einem Abstand von 6,50 m vom Stamm den Boden.
Wie hoch war der Baum?
geg: Höhe Baumstamm 5,80m; Entfernung Baumkrone zum Baumstamm 6,50m
ges: Baumhöhe
Skizze (rechtwinkliges Dreieck)
Das Dreieck ist rechtwinklig, gegeben sind die beiden Katheten, gesucht ist die Hypotenuse x.
5,8² + 6,5² = x² |
= x
8,71 x
Der abgeknickte Teil des Baumes ist ca. 8,70 m lang.
5,80 + 8,70 = 14,50
Der Baum war also ca. 14,50 m hoch.
a) Gesucht ist die Flächendiagonale e.
Lösungen (bunt gemischt):
Applet von M. Engel
Eine Skizze zur Aufgabe könnte so aussehen:
Wo ist das rechtwinklige Dreieck?
Das rechtwinklige Dreieck muss wie folgt beschriftet werden:
Die Hälfte der Seillänge berechnest du dann mit dem Satz des Pythagoras:
1,5² + 7,5² = x² usw.(runde auf zwei Nachkommastellen, also auf cm genau).
Tipp zu 4b:
p% =
Tipp zu Nr. 4c:
a) Die längsten Strecken an den Wänden sind die Flächendiagonalen eines Quaders. Zeichne die passenden Teildreiecke und berechne.
Da das Pendel immer 1 m lang ist, kannst du folgendes rechtwinklige Teildreieck nutzen:
Nutze das folgende rechtwinklige Teildreieck:
Zeichne zunächst eine Skizze des Hauses und der Dachsparren. Finde dort passende rechtwinklige Teildreiecke. Zeichne dann das Teildreieck und beschrifte es. Dann kannst du den Satz des Pythagoras anwenden.
Wie viele Bahnen werden benötigt?
Wie viele Quadratmeter Folie sind das?
Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben (bunt gemischt):
20cm; 80cm; 122cm; 2,34m; 5,4m; 19m; 9,9m; 9,1m; 12,6m; 38,2m; 88m; 176m
25,5%; 4 Bahnen; 264m²
Geschwindigkeit = ; v =
Gegeben ist die Geschwindigkeit v und die Strecke aus Teil a. Wandle die Geschwindigkeit von km/h in m/s um (:3,6).
Gesucht ist die Zeit.
Nenne die Länge des Pendels x
Also gilt:
(x-15)² + 50² = x²
Tipp: Löse die Klammer mit der zweiten binomische Formel auf.
Übertrage das rechtwinklige Dreieck in dein Heft.
a) Die Länge der Hypotenuse beträgt Erdradius + 45m, also 6370km + 0,045km = 6370,045km.
b) Berechne ebenso die Länge der Hypotenuse für eine Augenhöhe von 1,80m.
c) Nun ist die Länge der Kathete mit 100 Stadian = 100 ∙ 225m = 22500 m = 22,5 km gegeben und wieder die Länge der Hypotenuse gesucht. Danach subtrahiere vom Ergebnis den Erdradius.
d) Die Länge der Hypotenuse beträgt (r+h). Stelle damit den Satz des Pythagoras auf:
Vergleiche deine Lösungen (bunt gemischt):
Skizziere das Teildreieck mit der Dreieckshöhe der Grundfläche als eine Kathete und der Prismenhöhe h als zweite Kathete.
Die Dachfläche besteht aus vier Dreiecken. Erinnerung: ADreieck = .
Die Dachfläche setzt sich zusammen aus zwei Trapezen und zwei Dreiecken. Für die Flächeninhaltsformeln benötigst du die jeweiligen Höhen. Bestimme diese mit dem Satz des Pythagoras in geeigneten Teildreiecken.
Die Dachfläche setzt sich zusammen aus 4 Rechtecken, wobei jeweils zwei Rechtecke gleich groß sind. Die Länge ist immer 12,20 m. Bestimme mit dem Satz des Pythagoras die jeweilige Breite.
IDEENSAMMLUNG
