Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und Zinsrechnung/Vermehrter und verminderter Grundwert: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
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SEITE IM AUFBAU
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und_Zinsrechnung| Prozent-und Zinsrechnung Startseite]]
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und_Zinsrechnung| Prozent-und Zinsrechnung Startseite]]
[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und_Zinsrechnung/Wiederholung:Grundwert,Prozentwert,Prozentsatz| 1) Wiederholung der Grundbegriffe: Grundwert G, Prozentwert W und Prozentsatz p%]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und_Zinsrechnung/Wiederholung:Grundwert,Prozentwert,Prozentsatz| 1) Wiederholung der Grundbegriffe: Grundwert G, Prozentwert W und Prozentsatz p%]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und_Zinsrechnung/Vermehrter_und_verminderter_Grundwert|2) Vermehrter und verminderter Grundwert]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und_Zinsrechnung/Vermehrter_und_verminderter_Grundwert|2) Vermehrter und verminderter Grundwert]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und_Zinsrechnung/Zinsrechnung|3) Zinsrechnung]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und_Zinsrechnung/Zinsrechnung|3) Zinsrechnung]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und Zinsrechnung/Monats- und Tageszinsen|4) Monats- und Tageszinsen]]}}
[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und Zinsrechnung/Monats- und Tageszinsen|4) Monats- und Tageszinsen]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und Zinsrechnung/Tabellenkalkulation|5) Prozent-und Zinsrechnung mit einer Tabellenkalkulation]]}}
 
==2) Vermehrter und verminderter Grundwert==
==2) Vermehrter und verminderter Grundwert==


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{{Lösung versteckt|[[Datei:Vermehrter und verminderter Grundwert Beispiel 2 Lösung 2.png|rahmenlos|800x800px]]|Lösung zum Einstiegsbeispiel 2|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Vermehrter und verminderter Grundwert Beispiel 2 Lösung 2.png|rahmenlos|800x800px]]|Lösung zum Einstiegsbeispiel 2|Verbergen}}
{{LearningApp|app=pu9n6pcpk24|with=100%|height=400px}}


===2.1 Vermehrten und verminderten Grundwert berechnen===
===2.1 Vermehrten und verminderten Grundwert berechnen===


{{Box|1=Vermehrter und verminderter Grundwert|2=Es gibt Situationen, in denen wird ein Grundwert G um einen prozentualen Anteil p% <span style="color:blue">vermehrt</span> oder <span style="color:red">vermindert</span>.<br>
{{Box|1=Vermehrter und verminderter Grundwert|2=Es gibt Situationen, in denen wird ein Grundwert G um einen prozentualen Anteil p% <span style="color:blue">vermehrt</span> oder <span style="color:red">vermindert</span>.<br>
<div class="grid">
 
<div class="width-1-2">Den <span style="color:blue>vermehrten Grundwert G<sup>+</sup></span> berechnest du,<br> indem du den Grundwert G mit dem vermehrten Prozentsatz <span style="color:blue">p<sup>+</sup>% = 100% + p% </span>multiplizierst:<br>
Den <span style="color:blue>vermehrten Grundwert G<sup>+</sup></span> berechnest du,<br> indem du den Grundwert G mit dem vermehrten Prozentsatz <span style="color:blue">p<sup>+</sup>% = 100% + p% </span>multiplizierst:<br>
G<sup>+</sup> = G ∙ p<sup>+</sup>%.<br>
G<sup>+</sup> = G ∙ p<sup>+</sup>%.<br>
</div>
 
<div class="width-1-2">Den <span style="color:red">verminderten Grundwert G<sup>-</sup></span> berechnest du,<br> indem du den Grundwert G mit dem verminderten Prozentsatz <span style="color:red">p<sup>-</sup>% = 100% - p% </span>multiplizierst:<br>
Den <span style="color:red">verminderten Grundwert G<sup>-</sup></span> berechnest du,<br> indem du den Grundwert G mit dem verminderten Prozentsatz <span style="color:red">p<sup>-</sup>% = 100% - p% </span>multiplizierst:<br>
G<sup>-</sup> = G ∙ p<sup>-</sup>%.</div>
G<sup>-</sup> = G ∙ p<sup>-</sup>%.
</div>|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}
Beispiele:<br>
Beispiele:<br>
'''Rechnung mit Formel'''<br>
'''Rechnung mit Formel'''<br>
<div class="grid">
 
<div class="width-1-2">Miete:<br>
Miete:<br>
geg: G=950€; p%=5%, also p<sup>+</sup>%=100%+p%=105% = 1,05 <br>
geg: G=950€; p%=5%, also p<sup>+</sup>%=100%+p%=105% = 1,05 <br>
ges: G<sup>+</sup><br>
ges: G<sup>+</sup><br>
G<sup>+</sup> = G ∙ p<sup>+</sup>%<br>
G<sup>+</sup> = G ∙ p<sup>+</sup>%<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 950 ∙ 1,05<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 950 ∙ 1,05<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 997,50 [€]</div>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 997,50 [€]<br>
<div class="width-1-2">Handykauf:<br>
<br>
Handykauf:<br>
geg: G=388€; p%=19%, also p<sup>-</sup>%=100%-p%=81% = 0,81 <br>
geg: G=388€; p%=19%, also p<sup>-</sup>%=100%-p%=81% = 0,81 <br>
ges: G<sup>-</sup><br>
ges: G<sup>-</sup><br>
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&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 388 ∙ 0,81<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 388 ∙ 0,81<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 314,28 [€]
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 314,28 [€]
</div>
</div>
<br>
<br>
Du kannst für die Berechnung des vermehrten bzw. verminderten Grundwertes auch den Dreisatz benutzen:
Du kannst für die Berechnung des vermehrten bzw. verminderten Grundwertes auch den Dreisatz benutzen:
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'''Rechnung mit Dreisatz:'''
'''Rechnung mit Dreisatz:'''
Ergänze die Lücken:
Ergänze die Lücken:
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
Miete:
Miete:
{| class="wikitable"
{| class="wikitable" style="width:30%; border: 2px solid black; border-collapse: collapse;"
|-
|- style="border: 1px solid black;"
|Prozentsatz
! style="border: 1px solid black;" |Prozentsatz
|Mietkosten (€)
! style="border: 1px solid black;" |Mietkosten (€)
|-
|- style="border: 1px solid black;"
|100%
| style="border: 1px solid black;" |100%
|950
| style="border: 1px solid black;" |950
|-
|- style="border: 1px solid black;"
|1%
| style="border: 1px solid black;" |1%
|____
| style="border: 1px solid black;" |
|-
|- style="border: 1px solid black;"
|105%
| style="border: 1px solid black;" |105%
|_____
| style="border: 1px solid black;" |
|}
|}
</div>
 
<div class="width-1-2">
Preis Handy:
Preis Handy:
{| class="wikitable"
{| class="wikitable" style="width:30%; border: 2px solid black; border-collapse: collapse;"
|-
|- style="border: 1px solid black;"
|Prozentsatz
! style="border: 1px solid black;" |Prozentsatz
|Preis (€)
! style="border: 1px solid black;" |Preis (€)
|-
|- style="border: 1px solid black;"
|100%
| style="border: 1px solid black;" |100%
|388
| style="border: 1px solid black;" |388
|-
|- style="border: 1px solid black;"
|1%
| style="border: 1px solid black;" |1%
|____
| style="border: 1px solid black;" |
|-
|- style="border: 1px solid black;"
|81%
| style="border: 1px solid black;" |81%
|_____
| style="border: 1px solid black;" |
|}
|}
</div>
 
</div>
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
<div class="grid">
 
<div class="width-1-2">
{{(!}} class="wikitable" style="width:30%
{{(!}} class="wikitable"
{{!-}}  
{{!-}}  
! Prozentsatz p%  
! Prozentsatz p%  
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{{!-}}
{{!-}}
{{!)}}
{{!)}}
</div>
 
<div class="width-1-2">
{{(!}} class="wikitable" style="width:30%
{{(!}} class="wikitable"
{{!-}}  
{{!-}}  
! Prozentsatz p%  
! Prozentsatz p%  
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{{!-}}
{{!-}}
{{!)}}
{{!)}}
</div>
 
</div>
|2=Lösung|3=Verbergen}}
|2=Lösung|3=Verbergen}}


Zeile 160: Zeile 156:
<br>
<br>


Du kennst schon das Formeldreieck für die Prozentrechnung mit der Formel W = G ∙ p%. Nun ersetzt du in diesem Formeldreieck den Prozentwert W durch den vermehrten/verminderten Grundwert G<sup>+/-</sup>.
Du kennst schon das Formeldreieck für die Prozentrechnung mit der Formel W = G ∙ p%. <br>
Nun ersetzt du in diesem Formeldreieck den Prozentwert W durch den vermehrten/verminderten Grundwert G<sup>+/-</sup>.


{{Box|Formeldreieck für den vermehrten/verminderten Grundwert|Du kennst das Formeldreieck bereits aus der Prozentrechnung. Es ist auch eine Hilfe für das Umstellen der Formeln für den vermehrten Grundwert. Zeichne das Formeldreieck in dein Heft.<br>[[Datei:Formeldreieck vermehrter Grundwert.png|rahmenlos]]<br>
{{Box|Formeldreieck für den vermehrten/verminderten Grundwert|Du kennst das Formeldreieck bereits aus der Prozentrechnung. Es ist auch eine Hilfe für das Umstellen der Formeln für den vermehrten Grundwert. Zeichne das Formeldreieck in dein Heft.<br>[[Datei:Formeldreieck vermehrter Grundwert.png|rahmenlos]]<br>
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{{Box|Übung 1|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/prozent/grundwert-erhoeht---vermindert.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgabe  
{{Box|Übung 1|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/prozent/grundwert-erhoeht---vermindert.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgabe  
* 11  
* 11  
Lies auch die Informationen unter der Aufgabe.|Üben}}
Lies auch die Informationen unter der Aufgabe.
* 12
* 13|Üben}}


{{Box|Übung 2 |Trage im nachfolgenden Quiz die veränderten Prozentsätze p<sup>+</sup>% bzw. p<sup>-</sup>% ein (Prozent- und Dezimalbruchschreibweise).|Üben}}
{{Box|Übung 2 |Trage im nachfolgenden Quiz die veränderten Prozentsätze p<sup>+</sup>% bzw. p<sup>-</sup>% ein (Prozent- und Dezimalbruchschreibweise).|Üben}}
{{h5p-zum|id=10428|height=200px}}
{{h5p-zum|id=10428|height=200px}}


{{LearningApp|app=pmm3dug7324|width=100%|height=400px}}


{{Box|1=Übung 3|2=Löse die Aufgaben aus dem Buch mit der Formel. Notiere so:<br>
{{Box|1=Übung 3|2=Löse die Aufgaben aus dem Buch mit der Formel. Notiere so:<br>
Zeile 188: Zeile 188:
* S. 115 Nr. 4
* S. 115 Nr. 4
* S. 115 Nr. 5|3=Üben}}
* S. 115 Nr. 5|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Das Video zeigt dir noch einmal anhand von zwei Beispielen, wie du rechnen kannst. Hier wird für den veränderten Prozentsatz p<sup>+/-</sup>% die Variable q verwendet.<br>
 
{{#ev:youtube|04AbpjTSeEc|800|center}}|2=Video mit Beispielrechnungen|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Das Video zeigt dir zwei Beispielrechnung. Hier wird für den veränderten Prozentsatz p<sup>+/-</sup>% die Variable q verwendet.<br>
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{{#ev:youtube|tdxLUUZfsDU|800|center}}|2=Video mit Beispielrechnungen|3=Verbergen}}
 


{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift!<br>
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift!<br>
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8,16 €; 9,60 €; 10 €; 20 €; 30,40 €; 36 €; 48€; 68,80 €; 79,20 €; 88 €; 120 €;|Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 2|Verbergen}}  
8,16 €; 9,60 €; 10 €; 20 €; 30,40 €; 36 €; 48€; 68,80 €; 79,20 €; 88 €; 120 €;|Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 2|Verbergen}}  
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift!<br>
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift!<br>
Lösungen zu Nr. 3 bunt gemischt:<br>
Lösungen zu Nr. 3 bunt gemischt (auf 2 Nachkommastellen gerundet):<br>
84,70; 110,08; 127,57; 192 ; 399; 2003,45; 56367,6|Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 3|Verbergen}}
84,70; 110,08; 127,57; 192 ; 399; 2003,45; 56367,6|Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 3|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift!<br>
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift!<br>
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===2.2 Prozentsatz p% aus dem Grundwert und dem vermehrten/verminderten Grundwert berechnen===
===2.2 Prozentsätze p<sup>+</sup>% bzw. p<sup>-</sup>% und p% berechnen===


{{Box|Winterschlussverkauf|[[Datei:Snowboard reduziert 1.png|rahmenlos]][[Datei:Snowboard reduziert 2 neu.png|rahmenlos]]<br>Schau dir die Angebote genau an.<br>
{{Box|Winterschlussverkauf|[[Datei:Snowboard reduziert 1.png|rahmenlos]][[Datei:Snowboard reduziert 2 neu.png|rahmenlos]]<br>Schau dir die Angebote genau an.<br>
Zeile 252: Zeile 253:




===2.3 Grundwert G aus dem vermehrten/verminderten Grundwert berechnen===
===2.3 Grundwert G berechnen===


{{Box|Tischtennis|Mats möchte einen neuen Tischtennisschläger kaufen und findet folgendes Angebot:<br>
{{Box|Tischtennis|Mats möchte einen neuen Tischtennisschläger kaufen und findet folgendes Angebot:<br>
Zeile 273: Zeile 274:
* S. 115 Nr. 9
* S. 115 Nr. 9
* S. 115 Nr. 10|Üben}}
* S. 115 Nr. 10|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Das Video zeigt dir noch einmal anhand von zwei Beispielen, wie du rechnen kannst. Hier wird für den veränderten Prozentsatz p<sup>+/-</sup>% die Variable q verwendet.<br>
{{#ev:youtube|04AbpjTSeEc|800|center}}|2=Video mit Beispielrechnungen|3=Verbergen}}
<br>
{{Lösung versteckt|1=Stelle dir eine Anwendungssituation zur Aufgabe vor: Beispiel:<br>
{{Lösung versteckt|1=Stelle dir eine Anwendungssituation zur Aufgabe vor: Beispiel:<br>
Der Preis für ein Snowboard wurde '''um 18% erhöht''', es kostet '''jetzt 513,30 €'''. Wie teuer war es '''ursprünglich'''?<br>
Der Preis für ein Snowboard wurde '''um 18% erhöht''', es kostet '''jetzt 513,30 €'''. Wie teuer war es '''ursprünglich'''?<br>
Zeile 290: Zeile 294:
|Üben}}
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=====Mehrwertsteuer=====
'''Mehrwertsteuer:''' (Information zur Aufgabe 21)<br>
'''Mehrwertsteuer:''' (Information zur Aufgabe 21)<br>
Wenn du einkaufen gehst sind die Preise in der Regel als '''Brutto'''preis angegeben. Das bedeutet, dass in diesem Preis die Mehrwertsteuer enthalten ist. <br>
Wenn du einkaufen gehst, sind die Preise in der Regel als '''Brutto'''preis angegeben. Das bedeutet, dass in diesem Preis die Mehrwertsteuer enthalten ist. Der <span style="color:blue">'''Brutto'''</span>preis ist also der Preis <span style="color:blue">'''mit'''</span> Mehrwertsteuer. <br>
Der '''Netto'''preis gibt den Preis ohne Mehrwertsteuer an. <br>
Der <span style="color:green">'''Netto'''</span>preis gibt den Preis <span style="color:green">'''ohne'''</span> Mehrwertsteuer an. <br>
Also gilt: <br>
Also gilt: <br>
Bruttopreis = Nettopreis + Mehrwertsteuer<br>
Bruttopreis = Nettopreis + Mehrwertsteuer<br>
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Die Abbildung verdeutlicht diesen Zusammenhang:<br>
Die Abbildung verdeutlicht diesen Zusammenhang:<br>
[[Datei:Bild Balken Brutto und Nettopreis.png|rahmenlos|800x800px]]<br>
[[Datei:Bild Balken Brutto und Nettopreis.png|rahmenlos|800x800px]]<br>
<br>


{{Box|Übung 8 - Mehrwertsteuer|[[Datei:Woolworth-Quittung-2007.jpg|alternativtext=|rechts|349x349px]]1) Nimm den Kassenbon deines letzten Einkaufs und prüfe die Angaben zur berechneten Mehrwertsteuer.<br>
{{Box|Übung 8 - Mehrwertsteuer|[[Datei:Woolworth-Quittung-2007.jpg|alternativtext=|rechts|349x349px]]1) Nimm den Kassenbon deines letzten Einkaufs und prüfe die Angaben zur berechneten Mehrwertsteuer.<br>
2) Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/prozent/grundwert-erhoeht---vermindert.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgabe
2) Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/prozent/grundwert-erhoeht---vermindert.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgabe
* 21  
* 21
* 23|Üben}}  
* 23  
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{{Lösung versteckt|1=Beispiel zu Nr. 5<br>
{{Lösung versteckt|1=Beispiel zu Nr. 5<br>
Nimm an, du kaufst ein Fernsehgerät für 1000€ und sparst laut dem Angebot 19%. Wie viel musst du für den Fernseher dann bezahlen?<br>
<div class="grid">
<div class="width-1-2">Nimm an, du kaufst ein Fernsehgerät für 1000€ und sparst laut dem Angebot 19%. Wie viel musst du für den Fernseher dann bezahlen?<br>
geg: G= 1000€; p% = 19%, also p<sup>-</sup>% = 100% - 19% = 81% = 0,81<br>
geg: G= 1000€; p% = 19%, also p<sup>-</sup>% = 100% - 19% = 81% = 0,81<br>
ges: G<sup>-</sup> (neuer Preis)<br>
ges: G<sup>-</sup> (neuer Preis)<br>
Zeile 316: Zeile 325:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 1000 ∙ 0,81<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 1000 ∙ 0,81<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 810 (€)<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 810 (€)<br>
Mit 19% Rabatt musst du 810 € bezahlen.<br>
Mit 19% Rabatt musst du 810 € bezahlen.</div>
<div class="width-1-2">Du hättest auch zuerst die Ersparnis ausrechnen können:<br>
W = G ∙ p%<br>
W = 1000 ∙ 0,19<br>
W = 190 (€)<br>
Du sparst also 190€.</div>
</div>
<br>
<br>
 
<div class="grid">
Wie viel Mehrwertsteuer ist im Preis von 1000€ enthalten?<br>
<div class="width-1-2">Wie viel Mehrwertsteuer ist im Preis von 1000€ enthalten?<br>
geg: G<sup>+</sup> = 1000€ (Bruttopreis: Preis mit Mehrwertsteuer); p<sup>+</sup>% = 119% = 1,19<br>
geg: G<sup>+</sup> = 1000€ (Bruttopreis: Preis mit Mehrwertsteuer); p<sup>+</sup>% = 119% = 1,19<br>
ges: G (Nettopreis)<br>
ges: G (Nettopreis)<br>
Zeile 326: Zeile 341:
G = <math>\tfrac{1000}{1,19}</math><br>
G = <math>\tfrac{1000}{1,19}</math><br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\approx</math> 840,34 (€)<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\approx</math> 840,34 (€)<br>
Der Preis ohne Mehrwertsteuer beträgt 840,34 €.<br>
Der Preis ohne Mehrwertsteuer beträgt 840,34 €.</div>
<div class="width-1-2">
1000 - 840,34 = 159,66 (€)<br>
Es sind also 159,66 € Mehrwertsteuer im Preis enthalten.</div>
</div>
|2=Beispiel zu Nr. 5|3=Verbergen}}
|2=Beispiel zu Nr. 5|3=Verbergen}}


Zeile 339: Zeile 358:
* S. 115 Nr. 7
* S. 115 Nr. 7
* S. 115 Nr. 8 (Vorsicht: Druckfehler im Buch: p% = 5%, nicht 0,5%)|3=Üben}}
* S. 115 Nr. 8 (Vorsicht: Druckfehler im Buch: p% = 5%, nicht 0,5%)|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|Welche Größen sind gegeben, welche gesucht? <br>
{{Lösung versteckt|1=Welche Größen sind gegeben, welche gesucht? <br>
G; G<sup>+</sup>; G<sup>-</sup>; p%; p<sup>+</sup>%; P<sup>-</sup>%<br>
G; G<sup>+</sup>; G<sup>-</sup>; p%; p<sup>+</sup>%; P<sup>-</sup>%<br>
Berechne die fehlende Größe mit der Formel (diese musst du teils umstellen) und/oder mit dem Dreisatz.<br>
Berechne die fehlende Größe mit der Formel (diese musst du teils umstellen) und/oder mit dem Dreisatz.<br>
Formel: G<sup>+</sup> = G ∙ p<sup>+</sup>% bzw.  G<sup>-</sup> = G ∙ p<sup>-</sup>% <br>
Formel: G<sup>+</sup> = G ∙ p<sup>+</sup>% bzw.  G<sup>-</sup> = G ∙ p<sup>-</sup>% <br>
(Kontrolliere deine umstellte Formel mithilfe des Formeldreiecks.)|Tipp|Verbergen}}
(Kontrolliere deine umstellte Formel mithilfe des Formeldreiecks.)|2=Tipp|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=a) geg: G=2650€; p%=3,7% = 0,037 also ...<br>
{{Lösung versteckt|1=a) geg: G=2650€; p%=3,7% = 0,037 also ...<br>
ges: p<sup>+</sup>%; G<sup>+</sup><br>
ges: p<sup>+</sup>%; G<sup>+</sup><br>
Zeile 378: Zeile 397:
Dies ist der neue Grundwert für die nächste Reduzierung! Nun erhältst du also auf diesen Preis (180€) noch einmal 50% Ermäßigung!<br>(2. Schritt:...)|2=Tipp 2|3=Verbergen}}
Dies ist der neue Grundwert für die nächste Reduzierung! Nun erhältst du also auf diesen Preis (180€) noch einmal 50% Ermäßigung!<br>(2. Schritt:...)|2=Tipp 2|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Der Preis wird in zwei Schritten reduziert.<br>
{{Lösung versteckt|1=Der Preis wird in zwei Schritten reduziert.<br>
Nach der ersten Reduzierung kostet das Snowboard noch 180€, dies ist der neue Grundwert für die zweite Rechung:<br>
Nach der ersten Reduzierung kostet das Snowboard noch 180€, dies ist der neue Grundwert für die zweite Rechnung:<br>
2. Schritt:<br>
2. Schritt:<br>
geg: '''G = 180€'''; p% = 50%, also p<sup>-</sup>% = 100% - 50% = 50% = 0,5<br>
geg: '''G = 180€'''; p% = 50%, also p<sup>-</sup>% = 100% - 50% = 50% = 0,5<br>
Zeile 387: Zeile 406:
Also kostet das Snowboard nach der zweiten Reduzierung 90€.|2=Tipp 3|3=Verbergen}}<br>
Also kostet das Snowboard nach der zweiten Reduzierung 90€.|2=Tipp 3|3=Verbergen}}<br>


{{Box|Mehrfach veränderter Grundwert|Beispielaufgabe: Ein Preis von 50 € wird zweimal hintereinander um 10 % ermäßigt.
{{Box|Mehrfach veränderter Grundwert|Beispielaufgabe: Ein Preis von 50 € wird zweimal hintereinander um 10% ermäßigt.
Eine zweimalige Reduzierung um 10% ist aber nicht das Gleiche wie eine Reduzierung um 20%, da der Grundwert sich nach der ersten Ermäßigung verändert hat.
Eine zweimalige Reduzierung um 10% ist aber nicht das Gleiche wie eine Reduzierung um 20%, da der Grundwert sich nach der ersten Ermäßigung verändert hat.
[[Datei:Mehrfach verminderter Grundwert.png|links|rahmenlos|600x600px]]|Arbeitsmethode}}
[[Datei:Mehrfach verminderter Grundwert.png|links|rahmenlos|600x600px]]|Arbeitsmethode}}
Zeile 396: Zeile 415:


{{Box|Übung 12|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/prozent/textaufgaben.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
{{Box|Übung 12|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/prozent/textaufgaben.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 17
* 19
* 20
* 20
* 26
* 21
* 18
* 27 (schwer)
|Üben}}
|Üben}}


{{Lösung versteckt|1=Rechne schrittweise:<br>
Zuerst wird der Preis reduziert. Dieser reduzierte Preis wird dann aber wieder erhöht.<br>
① geg: G = 2800€; p% = -8%, also p<sup>-</sup>% = 92% = 0,92
ges: G<sup>-</sup><br>
G<sup>-</sup> = G · p<sup>-</sup>%<br>
... (Werte einsetzen)<br>
... = 2576(€)<br>
Nach der Reduzierung kostet der Kaffeevollautomat also noch 2576€. Dieser Preis wird nun wieder erhöht.<br>
② geg: G = 2576€; p% = 5%, also p<sup>+</sup>% = 105% = 1,05<br>
ges: G<sup>+</sup><br>
....<br>
Der Preis nach der Erhöhung beträgt 2704,80 €. Nun kannst du den Unterschied zwischen diesem Preis und dem Anfangspreis berechnen.|2=Lösungsansätze zu Aufgabe 20|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Rechne schrittweise:
Zuerst wird der Preis erhöht. Dieser erhöhte Preis wird dann noch einmal erhöht.<br>
① geg: G = 15€; p% = 8%, also p<sup>+</sup>% = 108% = 1,08
ges: G<sup>+</sup><br>
G<sup>+</sup> = G · p<sup>+</sup>%<br>
... (Werte einsetzen)<br>
... = 16,20(€)<br>
Nach der Erhöhung kostet der Kaffee also 16,20€. Dieser Preis wird nun wieder erhöht.<br>
② geg: G = 16,20€; p% = 5%, also p<sup>+</sup>% = 105% = 1,05<br>
ges: G<sup>+</sup><br>
....<br>
Der Preis nach beiden Erhöhungen 17,01 €.|2=Lösungsansätze zu Aufgabe 21a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Der Kaffee wurde um 0,86€ teurer, das ist W. Wie teuer war er also?<br>
geg: W = 0,86 €; p% = 5% = 0,05<br>
ges: G<br>
W = G · p%<br>
Stelle die Formel nach G um.|2=Lösungsansatz zu Aufgabe 21b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Rechne schrittweise "rückwärts":<br>
Er wiegt nach dem zweiten Abnehmen noch 69,92kg. Also gilt hier:<br>
① geg: G<sup>-</sup>=69,92kg; p% = 5%, also p<sup>-</sup>% = 95% = 0,95<br>
ges: G (Wie viel wog er vor dem Abnehmen)<br>
G<sup>-</sup> = G·p<sup>-</sup>%<br>
... (Formel umstellen, Werte einsetzen)<br>
73,6(kg) = G<br>
Er wog also vor dem zweiten Abnehmen 73,6 kg. <br>
Dies ist also ebenso das Gewicht, das er nach dem ersten Abnehmen hatte.<br>
② geg: G<sup>-</sup> = 73,6 kg; p% = 8%, also p<sup>-</sup>% = 92% = 0,92<br>
ges: G<br>
Berechne wie oben...<br>
G = 80(kg)<br>
Er wog also vor dem zweimaligen Abnehmen 80kg.|2=Lösungsansätze zu Aufgabe 18|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Rechne schrittweise:<br>
Leichter kannst du die Aufgabe lösen, wenn du eine bestimmte Anzahl für die Wahlberechtigten festlegst, z.B. 1000. (Dieser Wert ist natürlich viel zu klein, mit dieser Zahl kannst du aber leichter rechnen.)<br>
① geg: G = 1000 (Wahlberechtigte); p% = 70,8% = 0,708<br>
ges: W (Wie viele Wahlberechtigte haben tatsächlich gewählt?)<br>
W = G · p%<br>
... (Werte einsetzen)<br>
W = 708 (haben ihre Stimme abgegeben)<br>
Die Regierung wurde dann von  48,4% der Stimmen gebildet. <br>
② geg: G =708 (Stimmen insgesamt); p% = 48,4% = 0,484<br>
ges: W<br>
Berechne wie oben...<br>
W = 343 (Stimmen)<br><br>
Wie viel Prozent sind dies von allen Wahlberechtigten?<br>
③ geg: G = 1000 (Wahlberechtigte); W = 343
p% = <math>\tfrac{W}{G}</math> = <math>\tfrac{343}{1000}</math> = 0,343 = 34,3%.|2=Lösungsansätze zu Aufgabe 27|3=Verbergen}}
{{Box|Übung 13 - mehrfach veränderter Grundwert|Löse die Aufgaben aus dem Buch.  
{{Box|Übung 13 - mehrfach veränderter Grundwert|Löse die Aufgaben aus dem Buch.  
* S. 116 Nr. 3 oder  S. 116 Nr. 9
* S. 116 Nr. 3 oder  S. 116 Nr. 9
Zeile 409: Zeile 486:
* S. 108 Nr. 17|Üben}}
* S. 108 Nr. 17|Üben}}


<div class="grid">
{{Lösung versteckt|Es ist falsch, einfach 35% abzuziehen. Begründe. Die Rechnung in Teil b) hilft dir dabei.|Tipp zu Nr. 3a|Verbergen}}
<div class="width-1-2">{{Lösung versteckt|Es ist falsch, einfach 35% abzuziehen. Begründe. Die Rechnung in Teil b) hilft dir dabei.|Tipp zu Nr. 3a|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: G = 298,50€; erste Ermäßigung p% = 25%, also p<sup>-</sup>% = 100% - 25% = 75% = 0,75<br>
{{Lösung versteckt|1=geg: G = 298,50€; erste Ermäßigung p% = 25%, also p<sup>-</sup>% = 100% - 25% = 75% = 0,75<br>
Berechne den verminderten Grundwert G<sup>-</sup>.<br>
Berechne den verminderten Grundwert G<sup>-</sup>.<br>
Zeile 418: Zeile 494:
Berechne erneut den verminderten Grundwert G<sup>-</sup>.<br>
Berechne erneut den verminderten Grundwert G<sup>-</sup>.<br>
<br>
<br>
298,50€ &nbsp;&nbsp;<chem>->[*0,75]</chem>&nbsp;&nbsp; G<sup>-</sup> &nbsp;&nbsp;<chem>->[*0,9]</chem>&nbsp;&nbsp;  Endpreis|2=Tipp zu Nr. 3b|3=Verbergen}}</div>
298,50€ &nbsp;&nbsp;<chem>->[*0,75]</chem>&nbsp;&nbsp; G<sup>-</sup> &nbsp;&nbsp;<chem>->[*0,9]</chem>&nbsp;&nbsp;  Endpreis|2=Tipp zu Nr. 3b|3=Verbergen}}{{Lösung versteckt|1=Die ursprünglichen Kosten werden zunächst um 40% reduziert, also p<sup>-</sup>% = 100% - 40% = 60% = 0,6<br>
<div class="width-1-2">{{Lösung versteckt|1=Die ursprünglichen Kosten werden zunächst um 40% reduziert, also p<sup>-</sup>% = 100% - 40% = 60% = 0,6<br>
Dieser reduzierte Zwischenwert wird dann 35% reduziert, also also p<sup>-</sup>% = 100% - 35% = 65% = 0,65 und <br>
Dieser reduzierte Zwischenwert wird dann 35% reduziert, also also p<sup>-</sup>% = 100% - 35% = 65% = 0,65 und <br>
dann wird dieser neue Wert nochmals um 35% reduziert, also also p<sup>-</sup>% = 65% = 0,65
dann wird dieser neue Wert nochmals um 35% reduziert, also also p<sup>-</sup>% = 65% = 0,65
<br>
<br>
Ursprüngliche Kosten &nbsp;&nbsp;<chem>->[*0,6]</chem>&nbsp;&nbsp; G<sup>-</sup> &nbsp;&nbsp;<chem>->[*0,65]</chem>&nbsp;&nbsp;<chem>->[*0,65]</chem>&nbsp;&nbsp; Endpreis<br>
Ursprüngliche Kosten &nbsp;&nbsp;<chem>->[*0,6]</chem>&nbsp;&nbsp; G<sup>-</sup> &nbsp;&nbsp;<chem>->[*0,65]</chem>&nbsp;&nbsp;<chem>->[*0,65]</chem>&nbsp;&nbsp; Endpreis<br>
Der ursprüngliche Preis wird also auf 0,6 ∙ 0,65 ∙ 0,65 = 0,2535 = 25,35% reduziert. <br> Er spart also 100% - 25,35% = 74,65%. |2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}}</div>
Der ursprüngliche Preis wird also auf 0,6 ∙ 0,65 ∙ 0,65 = 0,2535 = 25,35% reduziert. <br> Er spart also 100% - 25,35% = 74,65%. |2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}}
</div>
 
{{Lösung versteckt|1=1. Schritt:<br>
{{Lösung versteckt|1=1. Schritt:<br>
Der angegebene Preis ist der um 10% ermäßige Preis, also G<sup>-</sup> = 899,10€ und p<sup>-</sup>% = 100% - 10% = 90% = 0,9. Bestimme zunächst den Preis ohne die Reduzierung, also den Grundwert G.<br>
Der angegebene Preis ist der um 10% ermäßige Preis, also G<sup>-</sup> = 899,10€ und p<sup>-</sup>% = 100% - 10% = 90% = 0,9. Bestimme zunächst den Preis ohne die Reduzierung, also den Grundwert G.<br>

Version vom 30. Dezember 2024, 12:27 Uhr

Schullogo HLR.jpg


2) Vermehrter und verminderter Grundwert

Einstiegsaufgabe 1 - Handykauf
Smartphone - The Noun Project.svg
Luis möchte sich ein Handy für 388€ kaufen.

In einem Prospekt ist der Preis um 19% reduziert.
Wie viel kostet das Handy nun?

Finde verschiedene Möglichkeiten, den neuen Preis auszurechnen!


Hefteintrag

Erkläre die Aufgabe, fülle dazu die Lücken passend. Übertrage die Sätze in dein Heft.

Das Handy kostet ursprünglich . Das ist .
Der Preis wird mit dem Rabatt gesenkt. Das ist .
Du sparst . Das ist .
Der Preis wird des ursprünglichen Preises gesenkt. Du musst also noch des ursprünglichen Preises bezahlen. Das ist
Du musst also noch bezahlen. Das ist .

81%81%aufG-p-%um388€19%Wp%73,72€G314,28€


Einstiegsaufgabe 2 - Miete
House-2492054 1280.png
Familie Rabe wohnt in einem Haus zur Miete und zahlt monatlich 950€. Ab dem 01. Januar diesen Jahres verlangt der Vermieter 5% mehr.

Wie viel muss die Familie nun bezahlen?

Finde verschiedene Möglichkeiten, die Höhe der neuen Miete auszurechnen!


Hefteintrag

Erkläre die Aufgabe, fülle dazu die Lücken passend. Übertrage die Sätze in dein Heft.

Die Miete beträgt ursprünglich . Das ist .
Die Miete steigt . Das ist .
Die Familie muss nun mehr bezahlen. Das ist .
Die Miete wird des ursprünglichen Preises erhöht. Das ist
Die Familie muss nun also bezahlen. Das ist .

5%umG47,50€W950€105%p+%G+aufp%997,50€



2.1 Vermehrten und verminderten Grundwert berechnen

Vermehrter und verminderter Grundwert

Es gibt Situationen, in denen wird ein Grundwert G um einen prozentualen Anteil p% vermehrt oder vermindert.

Den vermehrten Grundwert G+ berechnest du,
indem du den Grundwert G mit dem vermehrten Prozentsatz p+% = 100% + p% multiplizierst:
G+ = G ∙ p+%.

Den verminderten Grundwert G- berechnest du,
indem du den Grundwert G mit dem verminderten Prozentsatz p-% = 100% - p% multiplizierst:

G- = G ∙ p-%.

Beispiele:
Rechnung mit Formel

Miete:
geg: G=950€; p%=5%, also p+%=100%+p%=105% = 1,05
ges: G+
G+ = G ∙ p+%
   = 950 ∙ 1,05
   = 997,50 [€]

Handykauf:
geg: G=388€; p%=19%, also p-%=100%-p%=81% = 0,81
ges: G-
G- = G ∙ p-%
   = 388 ∙ 0,81
   = 314,28 [€]
Du kannst für die Berechnung des vermehrten bzw. verminderten Grundwertes auch den Dreisatz benutzen:


Rechnung mit Dreisatz: Ergänze die Lücken: Miete:

Prozentsatz Mietkosten (€)
100% 950
1%
105%

Preis Handy:

Prozentsatz Preis (€)
100% 388
1%
81%


Hefteintrag

Übertrage die Beispiele von oben in dein Heft.
1. Möglichkeit: Rechnung mit Formel...

2. Möglichkeit: Rechnung mit Dreisatz...



Du kennst schon das Formeldreieck für die Prozentrechnung mit der Formel W = G ∙ p%.
Nun ersetzt du in diesem Formeldreieck den Prozentwert W durch den vermehrten/verminderten Grundwert G+/-.


Formeldreieck für den vermehrten/verminderten Grundwert

Du kennst das Formeldreieck bereits aus der Prozentrechnung. Es ist auch eine Hilfe für das Umstellen der Formeln für den vermehrten Grundwert. Zeichne das Formeldreieck in dein Heft.
Formeldreieck vermehrter Grundwert.png
Merke dir die Anordnung der Größen im Dreieck. Halte die gesuchte Größe mit dem Finger zu, dann erhältst du die zugehörige Formel. Notiere die drei Formeln in dein Heft. Kontrolliere die Lösung.

Formeldreieck vermehrter Grundwert mit Hand ohne Formel.png



Übung 1

Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgabe

  • 11

Lies auch die Informationen unter der Aufgabe.

  • 12
  • 13


Übung 2
Trage im nachfolgenden Quiz die veränderten Prozentsätze p+% bzw. p-% ein (Prozent- und Dezimalbruchschreibweise).



Übung 3

Löse die Aufgaben aus dem Buch mit der Formel. Notiere so:
geg: G = 150€, p% = 20%, also p-% = 100%-20% = 80% = 0,8
ges: G-
G- = G ∙ p-%
   = 150 ∙ 0,8
   = 120 [€]

  • S. 106 Nr. 2
  • S. 106 Nr. 3
  • S. 115 Nr. 4
  • S. 115 Nr. 5



Übung 4

Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 14
  • 15


2.2 Prozentsätze p+% bzw. p-% und p% berechnen

Winterschlussverkauf

Snowboard reduziert 1.pngSnowboard reduziert 2 neu.png
Schau dir die Angebote genau an.
a) Für Welches Board entscheidest du dich, bunt oder blau? Begründe.

b) Bei welchem Board sparst du prozentual am meisten? Notiere deine Rechnung.


Übung 5

Löse die Aufgaben aus dem Buch mit Formel und Dreisatz. Es reicht, wenn du je zwei Angebote auswählst.

  • S. 106 Nr. 4
  • S. 116 Nr. 5
  • S. 116 Nr. 7


2.3 Grundwert G berechnen

Tischtennis

Mats möchte einen neuen Tischtennisschläger kaufen und findet folgendes Angebot:
Tischtennisschläger Preis reduziert.png
Nun möchte er wissen, wie viel der Schläger ursprünglich gekostet hat. Wie könnte er vorgehen?
Notiere deine Ideen im Heft.




Du musst dem Text entnehmen können, welche Größen gegeben und welche gesucht sind. Bearbeite dazu die nachfolgende LearningApp.


Übung 6

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen!

  • S. 115 Nr. 9
  • S. 115 Nr. 10



Übung 7

Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 10
  • 16
  • 17
  • 18
  • 19
  • 20
Mehrwertsteuer

Mehrwertsteuer: (Information zur Aufgabe 21)
Wenn du einkaufen gehst, sind die Preise in der Regel als Bruttopreis angegeben. Das bedeutet, dass in diesem Preis die Mehrwertsteuer enthalten ist. Der Bruttopreis ist also der Preis mit Mehrwertsteuer.
Der Nettopreis gibt den Preis ohne Mehrwertsteuer an.
Also gilt:
Bruttopreis = Nettopreis + Mehrwertsteuer
     G+      =      G     +      W
Die Abbildung verdeutlicht diesen Zusammenhang:
Bild Balken Brutto und Nettopreis.png


Übung 8 - Mehrwertsteuer
1) Nimm den Kassenbon deines letzten Einkaufs und prüfe die Angaben zur berechneten Mehrwertsteuer.

2) Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgabe

  • 21
  • 23


Übung 9

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Lösung ausführlich und übersichtlich (geg:...; ges:...).

  • S. 106 Nr. 5

2.4 Vermischte Übungen - Anwendungsaufgaben




Übung 10

Lies die Aufgabe genau. Notiere, welche Größen gegeben sind und welche gesucht ist. Löse dann die Aufgabe mit der Formel oder dem Dreisatz. Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch.

  • S. 115 Nr. 6
  • S. 115 Nr. 7
  • S. 115 Nr. 8 (Vorsicht: Druckfehler im Buch: p% = 5%, nicht 0,5%)


Übung 11

Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 25
  • 26
  • 27
  • 28
  • 29
  • 30
  • 31

2.5 Mehrfach veränderter Grundwert

Erarbeiten

Mehrfach veränderter Grundwert Einstieg.png

Schreibe deine Ideen zur Frage in dein Heft. Diskutiere sie anschließend mit deinem Partner.



Mehrfach veränderter Grundwert

Beispielaufgabe: Ein Preis von 50 € wird zweimal hintereinander um 10% ermäßigt. Eine zweimalige Reduzierung um 10% ist aber nicht das Gleiche wie eine Reduzierung um 20%, da der Grundwert sich nach der ersten Ermäßigung verändert hat.

Mehrfach verminderter Grundwert.png

Im Vergleich dazu wäre der Endpreis bei einer Ermäßigung um 20%: G- = G ∙ p-% = 50 ∙ 0,8 = 40 (€).


Übung 12

Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 20
  • 21
  • 18
  • 27 (schwer)
Übung 13 - mehrfach veränderter Grundwert

Löse die Aufgaben aus dem Buch.

  • S. 116 Nr. 3 oder S. 116 Nr. 9
  • S. 108 Nr. 12
  • S. 108 Nr. 15
  • S. 108 Nr. 16
  • S. 108 Nr. 17


Das Video zeigt weitere Beispiel. Stoppe das Video vor der Rechnung, überlege selbst und schau dann, ob du richtig gedacht hast.