Herta-Lebenstein-Realschule/Ähnlichkeit und Strahlensätze/2) Ähnlichkeit

2) Ähnliche Figuren

Schreibe den Merksatz in dein Heft:

Ähnliche Figuren

Wird eine Figur maßstäbliches vergrößert oder verkleinert, heißen die Figuren zueinander ähnlich.

Dabei müssen zwei Bedingungen gelten:

- Alle Winkel sind gleich groß.

- Alle Strecken müssen im gleichen Maßstab vergrößert bzw. verkleinert sein.

Übung 1

Welche Dreiecke sind ähnlich? Öffne das GeoGebra-Applet und gib die richtige Antwort ein.

Aufgabe 2

Sucht in eurer Umgebung im geometrischen Sinn ähnliche Figuren, macht ein Foto und ladet es im Gruppenorder Mathematik hoch.

Beispiel: Ähnliche Dreiecke konstruieren

Konstruiere das Dreieck ABC mit a=4cm; b=5cm und c=6cm. Konstruiere dann das dazu ähnliche Dreieck A'B'C' mit a'=6cm.

1. Schritt: Konstruiere das Dreieck ABC mit a=4cm; b=5cm und c=6cm. Erinnerung: Kongruenzsatz SSS In der nachfolgenden App sind die Schritte zur Konstruktion dargestellt, du musst sie in die richtige Reihenfolge bringen. Übertrage danach die Konstruktion in dein Heft.

Wiederholung Konstruktion mit dem Kongruenzsatz SSS

2. Schritt: Berechne den Vergrößerungsfaktor k und damit dann b' und c'.

Lösung anzeigen

k= $\tfrac{a'}{a}$ = $\tfrac{6}{4}$ =1,5; also gilt $\tfrac{b'}{b}$ =1,5

$\tfrac{b'}{5}$ =1,5

b'=1,5·5

b'=7,5 [cm];

ebenso gilt c'=1,5·c = 1,5·6 = 9[cm]

3. Schritt: Konstruiere das Dreieck A'B'C' (Konstruktion mit SSS wie oben).

Hilfe:So müsste dein Hefteintrag aussehen

Übung 3: Ähnliche Dreiecke - Berechnungen

Löse zunächst die folgende LearningApp und mit derselben ausführlichen Schreibweise S. 97 Nr. 2. Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem nachfolgenden GeoGebra-Applet.

Prüfe deine Lösungen zu S. 97 Nr. 2: Stelle k so ein, dass die jeweiligen Seitenlängen zur Aufgabe passen. Dann lies k und die fehlenden Seitenlängen ab.

Übung 4: Konstruktion ähnlicher Dreiecke

Löse schrittweise (wie im Beispiel oben) S. 97 Nr. 1 a), d) und S. 97 Nr. 3.

Prüfe deine Lösungen mit dem zugehörigen GeoGebra-Applet.

Tipps zu S.97 Nr.1

Tipp zu a)

k= $\tfrac{a'}{a}$ = $\tfrac{8}{4}$ =2; also gilt

$\tfrac{b'}{b}$ =2

$\tfrac{b'}{5}$ =2

b'=2·5

b'=10 [cm];

ebenso gilt c'=2·c = 2·6 = 10[cm]

Tipp zu d)

k= $\tfrac{b'}{b}$ = $\tfrac{6}{5}$ =1,2; also gilt

$\tfrac{a'}{a}$ =1,2

$\tfrac{a'}{4}$ =1,2

a'=1,2·4

a'=4,8 [cm];

ebenso gilt c'=1,2·c = 1,2·6 = 7,2[cm]

Prüfe deine Lösung von S. 97 Nr. 1 a,d:

Prüfe deine Lösung von S. 97 Nr. 3

Übung 5: Vermischte Übungen

Löse S. 97 Nr. 4, 5, 6, 7 und 8 im Heft.

Tipp zu Nr. 4

Berechne jeweils das Verhältnis der Bildstreckenlängen zu den Originallängen. Es muss immer gleich sein, wenn die Dreiecke ähnlich sind (nämlich k). Gilt

\tfrac{a'}{a}

=

\tfrac{b'}{b}

=

\tfrac{c'}{c}

Tipp zu Nr. 5

Bestimme zunächst den Ähnlichkeitsfaktor k=

\tfrac{a'}{a}

, denn nur von diesen beiden Seiten kennst du die Bild- und Originalstreckenlänge. Dann kannst du die fehlenden Längen von b' und c durch Umstellen der Formel k=

\tfrac{b'}{b}

nach b' und k=

\tfrac{c'}{c}

nach c berechnen.

Umstellen der Formel nach b

Umstellen der Formel nach b' k= $\tfrac{b'}{b}$ I∙b

also gilt k∙b = b' (einsetzen und ausrechen)

Umstellen der Formel nach c

Umstellen der Formel c k= $\tfrac{c'}{c}$ I∙c

k∙c = c' I:k

c =

\tfrac{c'}{k}

(einsetzen und ausrechnen)

Tipp zu Nr. 6

zu a) Es gilt k= $\tfrac{2}{3}$ .

zu b) Die Dreiecke sind ähnlich, also stimmen in drei Winkeln überein. Sie stimmen in zwei Seiten überein, allerdings ist die Reihenfolge der Seiten unterschiedlich (a = b’; b = c’).

Tipp zu Nr. 7

Bestimme zunächst den Ähnlichkeitsfaktor k mit u und u'. Da der Umfang die Summe der Seitenlängen ist, gilt für den Ähnlichkeitsfaktor k = $\tfrac{u'}{u}$ . Bestimme k (Zwischenergebnis: k=1,5). Damit kannst du nun die Längen des Dreiecks A'B'C' bestimmen.