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1) Gleichungen mit Klammern

Idee

Landwirt Mertens hat bisher eine quadratische Weide für seine paar Schafe. Da nun an dieser Stelle eine Landstraße ausgebaut werden soll, fragt die Stadt den Landwirt, ob er ein flächengleiches, rechteckiges Grundstück auf der anderen Seite seines Bauernhofes gegen seine quadratische Weide tauschen würde. Diese Weide ist zwar vier Meter kürzer, dafür aber fünf Meter länger.

Landwirt Mertens überlegt:

Weide_Landwirt.png

  1. Hilf ihm und finde die Maße der Weiden heraus. Bearbeite diese Aufgabe in deinem Heft. Wenn du nicht weißt, wie du vorgehen sollst, schaue dir nach und nach die Tipps unten an.
  2. Wie bist du vorgegangen, um die mathematische Gleichung zu lösen? Notiere deine Vorgehensweise im Heft.


Was ist gegeben?

zwei flächengleiche Flächen (Quadrat und Rechteck) SKIZZE !

x = Seitenlänge der quadratischen Weide

x - 4 = eine Seitenlänge der rechteckigen Weide (4m kürzer)

x + 5 = andere Seitenlänge der rechteckigen Weide (5m länger)


Versuche nun eine Gleichung aufzustellen.

Die beiden Weiden sind flächengleich, d.h. ihr Flächeninhalt ist gleich.

Benutze zum Aufstellen der Gleichung die Formeln für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Quadrats und eines Rechtecks.

Fläche Rechteck und Quadrat.jpg

Beide Flächen sind gleich groß, daher lautet die Gleichung:

x² = (x – 4) (x + 5)

Versuche nun x zu berechnen. Löse hierfür zunächst die Klammern auf.

Du hast nun herausgefunden, dass die Länge und Breite der quadratischen Weide je 20m beträgt. Damit kannst du jetzt die Seitenlängen der rechteckigen Weide berechnen. Setze hierfür x = 20 in deine aufgestellten Terme ein:

  • x - 4 (eine Seitenlänge des Rechtecks)
  • x + 5 (andere Seitenlänge des Rechtecks)




Das nachfolgende Video erklärt dieses Problem noch einmal:



Gleichungen mit Klammern lösen Schritt-für-Schritt
Du gehst beim Lösen von Gleichungen mit Klammern immer nach demselben Lösungsverfahren vor. Löse die Gleichungen schrittweise. Der erste Schritt ist das Auflösen der Klammern, dies hast du im Kapitel "Terme mit Klammern" gelernt. Die Symbole über den Klammern sollen dir helfen, die Klammer richtig aufzulösen.
Gleichungen lösen Schritt für Schritt neu 1.png

Probe: Setze in die Gleichung für die Variabel deine Lösung ein, berechne jeweils die beiden Seiten der Gleichung und schau, ob eine wahre Aussage entsteht:
Probe zur Gleichung Schritt für Schritt.png

Das Video fasst die Schritte noch einmal in einem Beispiel zusammen:


Übung 1: Gleichungen lösen Schritt für Schritt
Bringe in der LearningApp die Lösung der Gleichung in die richtige Reihenfolge.



Übung 2: Minusklammer, Ausmultiplizieren und Summen multiplizieren
Löse Buch S. 27 Nr. 1, 2, 4, 5 und 7. Schreibe die Gleichung in dein Heft. Strukturiere die Aufgabe, indem du die entsprechenden Symbole über die Klammern schreibst. Löse dann Schritt für Schritt wie im Beispiel oben. Falls die Aufgabenstellung es fordert, mache auch eine Probe.
Hier handelt es sich jeweils um Minusklammern Blitz.jpg. Du löst die Klammern auf, indem du die Zeichen in der Klammer umkehrst.

Lösungen (bunt gemischt) zu Nr. 1

x= 4; x = 1
S. 27 Nr. 1a Lösung.png
S. 27 Nr. 1b Lösung.png
S. 27 Nr. 1c Lösung.png
Hier löst du die Klammern durch Ausmultiplizieren auf.
Händedruck grau.png
.
Lösungen (bunt gemischt) zu Nr. 2
-5; -3; 2
Tipp zu S. 27 Nr. 4a.png

Du musst die Klammer durch Ausmultiplizieren auflösen. Rechne also 3∙x + ...
Wie multiplizieren wir Brüche? Zähler mal Zähler geteilt durch Nenner mal Nenner!

x = x...
Wenn du Brüche addieren oder subtrahieren möchtest, musst du sie zunächst gleichnamig machen. Erweitere also auf . Nun kannst du davon subtrahieren und erhältst =3
Das Lösungswort lautet SCHATZ
Überlege zunächst, wie die Klammern im ersten Schritt aufgelöst werden müssen, denke an die passenden Bilder. Vergleiche dann deine Lösungen.
Lösungen (bunt gemischt) zu Nr. 5
-2; -; 3; 7; 51
Vorsicht: Hier sind zum Auflösen der Klammer zwei Schritte nötig! Zuerst multipliziere aus
Händedruck grau.png
, lass aber die Klammer noch stehen, da das Minuszeichen vor der Klammer noch wichtig ist.
Danach löse die Minusklammer auf Blitz.jpg.

Beispiel:
2n² - (n + 12)(2n + 3) = 18 |Händedruck grau.png
2n² - (2n² + 3n + 24n + 36) = 18     |Blitz.jpg
2n² - 2n² - 3n - 24n - 36 = 18          | gleichartige Terme zusammenfassen
-27n - 36 = 18          |+36
-27n = 54               | :(-27)

   n = -2


Übung 3: Gleichungen mit Binomen
Löse die LearningApp. Rechne Schritt für Schritt. Löse zuerst die Klammer mit den binomischen Formeln auf.



Übung 4: Gleichungen mit Binomen
Löse Buch S. 37 Nr. 10 und 12. Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen im Buch S. 208.

Test 1

Bist du fit?

Hast du alle Hefteinträge abgeschrieben und alle Aufgaben gelöst? Dann bearbeite den Test 1. Du erhältst ihn von deiner Lehrerin.
Bearbeite den Test allein. Kontrolliere dein Ergebnis mit der Musterlösung.

Wie viele Punkte hast du erreicht? Wähle den weiteren Weg passend aus (Wiederholung oder weiter im Thema).

0-5 Punkte: Löse mindestens 10 Aufgaben aus der folgenden Übungssammlung. Löse die Aufgaben in deinem Heft und vergleiche deine Lösungen mit den Musterlösungen!

Gleichungen mit Klammern Level 1
Gleichungen mit Klammern Level 2
Gleichungen mit Klammern Level 3

6 - 9 Punkte: 2)Anwendungsaufgaben


Noch mehr Übungen findest du auf der Seite Aufgabenfuchs Nr. 29-38. Das Lösen von Gleichungen mit Klammern kannst du in diesem https://www.geogebra.org/m/B3jvn6DM GeoGebra-Applet] üben. Das Lösen von Gleichungen mit binomischen Formeln kannst du in diesem GeoGebra-Applet üben.