Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik9/Wahrscheinlichkeit/Verknüpfung von Ereignissen

Wahrscheinlichkeit bei verknüpften Ereignissen

Bislang wurden nur Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse berechnet. Ereignisse können aber auch verknüpft werden.

Hierfür eine Beispielaufgabe

In einem Abiturjahrgang am Berufskolleg sind 100 Schüler/innen, davon haben 87 Spanisch (S) und 75 Französisch (F) gelernt, 70 beherrschen beide Fremdsprachen.

1. Wie viele Schüler/innen lernten Französisch oder Spanisch? (oder bedeutet hier Französisch, Spanisch oder beides)
2. Ein Schüler/in wird zufällig ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er/sie Spanisch oder Französisch gelernt hat. (oder bedeutet hier Französisch, Spanisch oder beides)

Überlegungen und Lösungen

• Zunächst muss man beachten, dass unter spanisch Sprechenden auch französisch Sprechende sind und entsprechend umgekehrt. Da 70 beide Sprachen sprechen, bleiben 17 nur spanisch Sprechende und 5 nur französisch Sprechende. Dies kann man sich auch an folgendem Bild veranschaulichen.

• Addiert man die drei Zahlen 70, 17 und 5 (siehe Bild) so erhält man 92. Dies bedeutet 92 lernen Spanisch oder Französisch oder beides. Es bleiben 8 Schüler, die keine Fremdsprache erlernen.
• Man könnte auch die 87 und 75 addieren, dann hätte man allerdings diejenigen, die beide Sprachen beherrschen doppelt gezählt. Also ergibt sich folgende Rechnung 87 + 75 - 70 = 92 und damit das gleiche Ergebnis.
• Um nun die Wahrscheinlichkeit für Teilaufgabe 2 zu bestimmen, muss man nur die 92 durch 100 teilen.
  

$\frac{92}{100} = 0,92$

Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Schüler Spanisch oder Französisch gelernt hat 92%.

Schlussfolgerung aus dem Beispiel

Setzt sich ein Ereignis E aus den Ereignissen A und B zusammen, die sich überschneiden können, d.h. gemeinsame Ergebnisse enthalten können wie bei einer oder – Verknüpfung, dann muss man darauf achten, dass diese gemeinsamen Ereignisse nicht doppelt berücksichtigt werden.

Merke

Sind A und B Ereignisse, und gilt $E=A \cup B$ dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E:
$P(E)=P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Dabei steht $\cup$ für die ODER-Verknüpfung und $\cap$ für die UND-Verknüpfung von zwei Ereignissen bzw. Mengen.