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Ein Einführungsvideo

    Video 1

Lineares und exponentielles Wachstum unterscheiden

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Lineares und exponentielles Wachstum im Vergleich

Übersicht

	Lineares Wachstum	Exponentielles Wachstum
Charakteristikum	konstante Zunahme	konstante prozentuale Zunahme
Beschreibung durch	lineare Funktion	Exponentialfunktion
Graph	steigende Gerade	steigende Exponentialkurve
Rekursive Darstellung	$B(t+1) = B(t) +m$	$B(t+1) = B(t) \cdot q$
Explizite Darstellung	$B(t) = m \cdot t + b$	$B(t) = B(0) \cdot q^t$
Änderungsrate (Wachstumsrate)	$\Delta B(t) = m$	$\Delta B(t) = B(t) \cdot (q-1)$
	$\Longrightarrow$ konstant	$\Longrightarrow$ ändert sich
	$\ldots mit \; m >0$	$\ldots mit \; q >1$
Beispiele	Geld sparen (ohne Zinsen); Auffüllen von Gefäßen	Zinseszinsrechnung; Wachstum von Populationen

Weitere Hinweise

Wachstumsrate und Wachstumsfaktor

Bei linearem Wachstum ist die Differenz der Bestände zweier aufeinanderfolgender Jahre $d=B(n+1)-B(n)$ konstant. Diesen konstanten Wert nennt man Wachstumsrate.
Bei exponentiellen Wachstum ist der Quotient $q=\frac{B(n)}{B(n-1)}$ konstant. Diesen Quotienten nennt man Wachstumsfaktor.
Es gilt:

1. Eine negative Wachstumsrate d bedeutet Abnahme.
2. Der Wachstumsfaktor q ist stets positiv. Für 0 < q < 1 spricht man von Abnahme, für q > 1 von Zunahme.

Ein Beispiel für lineares Wachstum

    Befüllen eines Schwimmbeckens

Zu Beginn einer Badesaison werden Schwimmbecken neu mit Wasser gefüllt. Dabei läuft in einer bestimmten Zeit eine gleichbleibende Menge Wasser in das Becken. Es gibt zwischen der Zeit und des Füllstandes eine lineare Abhängigkeit.

Beispiele für exponentielles Wachstum

    Zwei einfache Beispiele

Ein erstes Beispiel kannst Du Dir nochmals im Einführungsvideo anschauen, das Falten eines Blattes.
Ein weiteres Beispiel ist Dir aus der Zinsrechnung bekannt, Geldanlage eines bestimmten Betrages und nutzen des Zinseszinseffekts.

Übungen

Übung 1

Übung 2

Übung 3

Übung 4

Übung 5

Aufgabenblatt

Aufgabenblatt

Lade auf Dein iPad das Arbeitsblatt, speichere es und löse die beiden Aufgaben mit Hilfe des CAS.