Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken

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2 Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken


2.1 Größen in rechtwinkligen Dreiecken berechnen

Du kennst schon eine Möglichkeiten, eine fehlende Seitenlänge in einem rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen, wenn zwei Seiten gegeben sind:
Idee Flipchart.png

Erinnerung: Mit dem Satz des Pythagoras!

Wenn nun in einem rechtwinkligen Dreieck eine Seite und ein Winkel gegeben sind, kannst du mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens die Längen der anderen Seiten berechnen.
Wo kannst du das anwenden? Warum sollst du das lernen?
Es hilft z.B. bei Vermessungen:

St. Otger von Westen mit eingerüstetem Turm

Wir haben in Klasse 7 die Höhe des Stadtlohner Kirchturms mithilfe einer maßstabsgetreuen Zeichnung bestimmt, erinnerst du dich? Nun haben wir die Möglichkeit, die Höhe auf eine andere Art zu berechnen.

Kirchturm Stadtlohn Skizze.png
Wir messen den Blickwinkel, unter dem wir die Spitze des Kirchturms sehen und die Entfernung zur Kirche. Welche Größen des rechtwinkligen Dreiecks sind also gegeben, welche Größe ist gesucht?

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel = 56° gegeben, der Winkel ist der rechte Winkel. Außerdem ist die Länge der Seite c = 50 m gegeben. Das ist die Ankathete zu .
Gesucht ist die Länge der Seite h. Dies ist die Gegenkathete zu .

Also hilft uns hier der Tangens weiter, denn tan = .

Kirchturm Stadtlohn rechtwinkliges Dreieck.png
Bestimme nun die Höhe des Kirchturms!

tan = = . Stelle nun diese Gleichung nach h um.

tan (56°) = |∙ 50
tan (56°) ∙ 50 = h
74,1 (m) h

Der Kirchturm ist also ca. 74 m hoch.


Übung 1 (online)
Gib das Seitenverhältnis an und berechne jeweils die Länge der Strecke x in den nachfolgenden LearningApps.


Übung 2 (online und im Heft)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.

  • 8
  • 17
  • 25



Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken

Sind in einem rechtwinkligen Dreieck zwei Seitenlängen oder eine Seite und ein Winkel gegeben, kannst du fehlenden Größen mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens berechnen.

Wähle das passende Seitenverhältnis aus (Sinus, Kosinus oder Tangens) und stelle - falls nötig - die Formel um.
Übertrage die nachfolgenden Beispiele in dein Heft.


Beispiele:
Beispiel 1: eine Seite (Hypotenuse) und ein Winkel sind gegeben
Beispiel 1 Berechnungen.png
geg: rechtwinkliges Dreieck ( = 90°); c = 6,8 cm; = 56°
ges: a; b;

① Bestimme a:

sin α =   |∙c
a = sin α ∙ c
a = sin (56°)∙6,8

a 5,6 (cm)
② Bestimme b:

cos α =   |∙c
b = cos α ∙ c
b = cos (56°)∙6,8

b 3,8 (cm)
③ Bestimme β:

Winkelsummensatz für Dreiecke:
α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
   = 180° - 56° - 90°

   = 34°


Anmerkungen:
Du kannst b auch mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:
a² + b² = c² (denn a und b sind die Katheten, c ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck)
b =
   =
   3,9 (cm) Der Wert ist ungenauer, da du mit dem gerundeten Wert von a weitergerechnet hast.

Du kannst β auch kürzer bestimmen mit

α + β = 90°, da γ = 90° ist. Ziehst du diese von 180° ab, so bleiben 90° übrig.



Beispiel 2: eine Seite (Kathete) und ein Winkel sind gegeben
Beispiel 2 Berechnungen.png
geg: rechtwinkliges Dreieck ( = 90°); a = 8,4 cm; = 62,8°
ges: b; c;

① Bestimme c:

sin α =   |∙c
c ∙ sin α = a   |: sin α
c =
c =

   9,4 (cm)
② Bestimme b (mit tan α oder mit dem Satz des Pythagoras):

tan α =   |∙b
b ∙ tan α = a   |: tan α
b =
b =

   4,3 (cm)
③ Bestimme β:

Winkelsummensatz für Dreiecke:
α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
   = 180° - 68,2° - 90°

   = 27,2°


Beispiel 3: zwei Seiten sind gegeben (Kathete und Hypotenuse)
Beispiel 4 Berechnungen.png
geg: rechtwinkliges Dreieck ( = 90°); a = 6,3 cm; c = 9,1 cm
ges: b; α; β

① Bestimme c (Pythagoras):

a² + b² = c²  |
b =
b =

b 6,6 (cm)
② Bestimme den Winkel α :

sin α =   
sin α =   | sin-1

43,8°
③ Bestimme β:

Winkelsummensatz für Dreiecke:
α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
   = 180° - 43,8° - 90°

   = 46,2°


Der Wert von Sinus, Kosinus und Tangens ist abhängig vom Winkel α. Jedem Sinuswert, Kosinuswert und Tangenswert ist ein Winkel zugeordnet. Den Winkel berechnest du mit der jeweiligen Umkehrfunktion sin-1, cos-1 bzw. tan-1 dem Taschenrechner wie die Bilder zeigen:

Taschenrechner Bild shift markiert.png
Taschenrechner Bild sin markiert rot.png
Taschenrechner Bild Bruchtaste.png
Taschenrechner Bild Pfeil und Klammer zu.png
Taschenrechner Bild Gleichzeichen markiert.png
Taschenrechner Bild shift.png
Taschenrechner Bild sin-1.png
Taschenrechner Bild sin-1 mit Bruch.png
Taschenrechner Bild sin-1 mit Klammer.png
Taschenrechner Bild sin-1 Ergebnis.png



Beispiel 4: zwei Seiten sind gegeben (beide Katheten)
Beispiel 3 Berechnungen.png
geg: rechtwinkliges Dreieck ( = 90°); a = 6,5 cm; b = 3,4 cm
ges: c; α; β

① Bestimme c (Pythagoras):

a² + b² = c²  |
c =
c =

c 7,3 (cm)
② Bestimme den Winkel α :

tan α =   
tan α =   | tan-1

62,4°
③ Bestimme β:

Winkelsummensatz für Dreiecke:
α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
   = 180° - 62,4° - 90°

   = 27,6°


Der Wert von Sinus, Kosinus und Tangens ist abhängig vom Winkel α. Jedem Sinuswert, Kosinuswert und Tangenswert ist ein Winkel zugeordnet. Den Winkel berechnest du mit der jeweiligen Umkehrfunktion sin-1, cos-1 bzw. tan-1 dem Taschenrechner wie die Bilder zeigen:

Taschenrechner Bild shift markiert.png
Taschenrechner Bild tan.png
Taschenrechner Bild Bruchtaste.png
Taschenrechner Bild Pfeil und Klammer zu.png
Taschenrechner Bild Gleichzeichen markiert.png
Taschenrechner Bild shift.png
Taschenrechner Bild tan-1.png
Taschenrechner Bild tan-1 Bruch.png
Taschenrechner Bild tan-1 Bruch mit Klammer zu.png
Taschenrechner Bild tan-1 Bruch Ergebnis.png



Die Videos fassen die Möglichkeiten der Berechnungen zusammen:


Übung 3

Löse die Aufgaben ausführlich im Heft, nutze die Schreibweisen der Beispiele. Übertrage die Planskizzen aus dem Buch in dein Heft.

  • S. 94 Nr. 1
  • S. 94 Nr. 2
  • S. 94 Nr. 3

a) Löse wie in Beispiel 1
b) Löse wie in Beispiel 2
c) Löse wie in Beispiel 4

d) Löse wie in Beispiel 3

Lösungen (der Größe nach sortiert)
2,9cm; 4,4cm; 5,7cm; 8,1cm; 12,2cm; 14,0cm;

29,7°; 37,7°; 52,3°; 60,3°; 60,5°; 62,6°

a) Löse wie in Beispiel 2
b) Löse wie in Beispiel 3
c) Löse wie in Beispiel 4

d) Löse wie in Beispiel 1

Lösungen (der Größe nach sortiert):
3,8cm; 5,7cm; 6,8cm; 7,8cm; 11,9cm; 14,1cm;

24,4°; 29,2°; 29,5°;57,5°; 60,8°; 65,6°
Löse wie in Beispiel 1

Lösungen:

3,731km; 4,952km


Übung 4

Zeichne zunächst eine Planskizze mit γ = 90° und markiere die gegebenen Größen. Berechne danach die fehlenden Größen. Notiere deine Rechnungen ausführlich. Buch

  • S. 95 Nr. 4

Rechtwinkliges Dreieck gamma 90°.png

a) Löse wie in Beispiel 1.
b) Löse wie in Beispiel 4.
c) Löse wie in Beispiel 3.
d) Löse wie in Beispiel 1.
e) Löse wie in Beispiel 2.
f) Löse wie in Beispiel 2.



2.2 Zusammenhang Steigung m und Steigungswinkel α

Du hast zu Beginn drei Möglichkeiten wiederholt, die Steigung z.B. einer Straße anzugeben.
In Prozent (mit p% = m), als Steigung m und mit dem Steigungswinkel α.
Mithilfe des Tangens kannst du nun zum einer Steigung m den zugehörigen Steigungswinkel α angeben und umgekehrt.
Steigungsdreieck mit Winkel.png

Steigung m und Steigungswinkel α

Mithilfe des Tangens kannst du nun zum einer Steigung m den zugehörigen Steigungswinkel α angeben und umgekehrt.
Steigung m =

m = und ebenfalls ist tan α = , also gilt

m = tan α


Berechne die Steigung m, wenn der Steigungswinkel α gegeben ist:

geg: α = 7°
ges: m
m = tan α
   = tan (7°)
   0,123

   = 12,3%
Berechne den Steigungswinkel α, wenn die Steigung m gegeben ist.

geg: m = 25% = 0,25
ges: α
tan α = m tan α = 0,25   |tan-1

 α = 14°



Übung 5

Löse die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Zeichne zu jeder Aufgabe eine passende Skizze (rechtwinkliges Dreieck) und notiere deine Rechnungen vollständig und übersichtlich.

  • S. 96 Nr. 12
  • S. 96 Nr. 16
m=tanα Berechne mit dem Taschenrechner. Wandle danach danach den Dezimalbruch in Prozent um.

Im Bild sind die Steigungsdreiecke eingezeichnet. Erinnerung: "y durch x, sonst geht nix."

S. 96 Nr. 16 Steigungsdreiecke.png


Rampe - Anwendungsaufgabe zur Steigung

Ein Kino möchte eine Rampe bauen. Damit Rollstuhlfahrer diese per Handbetrieb befahren können, darf die Steigung maximal 6% betragen.
a) Wie groß ist der Steigungswinkel α?
b) Wie lang wird die Rampe, wenn ein Höhenunterschied von 0,90 m überwunden werden muss?

Diskutiere deine Ideen mit deinem Partner. Löse dann im Heft. Denke an eine Skizze.
Die Steigung 6% bedeutet, dass m = 6% = 0,06 beträgt. Bestimme nun den Steigungswinkel α.

Erinnerung:
m = tan α   |tan-1

α = ...
Skizze Kino Rampe.png
Lösungen: α ≈ 3,43°; x ≈ 15 m


Rampen in Stadtlohn

Die nachfolgenden Bilder zeigen Rampen in Stadtlohn.

Gruppenarbeit: Wählt ein Bild aus und denkt euch eine Anwendungsaufgabe dazu aus.
Bild Steigung Haus Hackenfort.jpg
Bild Steigung Kirche.jpg
Bild Steigung Losbergpark.jpg
Bild Steigung Metzger neu.jpg
Bild Steigung Apotheke.jpg
Bild Steigung Friseur.jpg


2.3 Anwendungsaufgaben


Übung 6 (online und im Heft)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.

  • 14
  • 34
  • 35
  • 36
  • 37
  • 38
  • 41


Übung 7

Löse die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Zeichne zu jeder Aufgabe eine passende Skizze (rechtwinkliges Dreieck) und notiere deine Rechnungen vollständig und übersichtlich.

  • S. 96 Nr. 14
  • S. 96 Nr. 15
  • S. 97 Nr. 17
  • S. 97 Nr. 19

Vergleiche deine Skizze:

S. 96 Nr. 14 Skizze.png
Wandle 106m in km um, gleiche Einheiten!
Die Seile führen bis ca. der Höhe des ganzen Mastes. Sie reichen hier also bis 400m, der Winkel bleibt bei 61°. Bestimme damit die Seillänge.


Übung 8

Löse die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Zeichne zu jeder Aufgabe eine passende Skizze (rechtwinkliges Dreieck) und notiere deine Rechnungen vollständig und übersichtlich.

  • S. 105 Nr. 2
  • S. 105 Nr. 3
  • S. 105 Nr. 4
  • S. 105 Nr. 5

Applet zu Nr. 2

GeoGebra

Teildreieck 1 zu Nr. 4

S. 105 Nr. 4 Skizze 1.png

Teildreieck 2 zu Nr. 4

S. 105 Nr. 4 Skizze 2.png

Wie lautet die Formel für das Volumen einer quadratischen Pyramide? Schlage in der Formelsammlung nach.
Bestimme die Körperhöhe hK mit tan 72° = ...

Lösung:hK = 22,3cm

Für die Berechnung des Volumens benötigst du die Körperhöhe hK.
s = 25,4; β = 75°; sin 75° = ...

Lösung:hK = 24,5 cm

Du benötigst auch die Länge der Grundkante a.
Bestimme zunächst die Länge der halben Diagonalen mit cos 75° = ...
Bestimme mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Grundkante.
Quadrat mit Diagonale.png
a² + a² = d²
2a² = d²   |:2
a² =   |
a =
...

a ≈ 9,3 (cm)


Übung 9 (online und im Heft)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.

  • 50
  • 51

Um das Volumen zu bestimmen, berechne die Längen der Kanten b und c. VQuader = a·b·c.

Skizze 1 zu Nr. 51.pngSkizze 2 zu Nr. 51.png

Eine weitere Möglichkeit der Gelände-Vermessungen sind doppelte Peilungen: Schaffst du, die nachfolgenden anspruchsvollen Aufgaben?

Übung 10 (online und im Heft)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.

  • 53 **
  • 54 ***
  • 60 ***

Zeichne zwei rechtwinklige Dreiecke, ein rotes und ein blaues. Die Länge der Landebahn lässt sich dann aus den Seitenlänge berechnen:

Skizze zu Nr. 53.png

Bestimme zunächst die Höhe des Daches. Im zweiten Schritt kannst du dann mit dem Satz des Pythagoras die Länge von x bestimmen.

Skizze 1 zu Nr. 54 neu.pngSkizze 2 zu Nr. 54.png

Zwischenlösungen zu 54:
Bestimme r mithilfe des angegebenen Umfangs:
uKreis=2πr   |:(2π)
= r
Lösung: r = 2,8 (m)
Die Ankathete zur Berechnung der Seitenlänge a beträgt also 26+2,8 = 28,8 (m)
tanα =
...
a = 16,6 (m)
...
b = 12,1 (m), also

h = a - b = 16,6 - 12,1 = 4,5 (m)

Die Gleichungen, die zur Lösung nötig sind, sind in der Aufgabenstellung gegeben.
Löse die Gleichung tan(48)·x = tan(25)·(50+x) nach x auf.
Lösung: x = 36,...

Setze dann x in die erste oder zweite Gleichung ein, um h zu bestimmen.

Löse die Gleichung tan(48)·x = tan(25)·(50+x) nach x auf.

tan(48)·x = tan(25)·(50+x)   |:tan(25)
·x = 50 + x   |-x
2,38·x - 1x = 50
1,38x = 50   |:1,38 x ≈ 36,23.. (m)

Einsetzen in die zweite Gleichung liefert
h = tan(48)·x   |einsetzen
h = tan(48)·36,23..

h = 40,..