Wenn nun in einem rechtwinkligen Dreieck eine Seite und ein Winkel gegeben sind, kannst du mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens die Längen der anderen Seiten berechnen.
Wo kannst du das anwenden? Warum sollst du das lernen?
Es hilft z.B. bei Vermessungen:
St. Otger von Westen mit eingerüstetem Turm
Wir haben in Klasse 7 die Höhe des Stadtlohner Kirchturms mithilfe einer maßstabsgetreuen Zeichnung bestimmt, erinnerst du dich? Nun haben wir die Möglichkeit, die Höhe auf eine andere Art zu berechnen.
Wir messen den Blickwinkel, unter dem wir die Spitze des Kirchturms sehen und die Entfernung zur Kirche. Welche Größen des rechtwinkligen Dreiecks sind also gegeben, welche Größe ist gesucht?
Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel = 56° gegeben, der Winkel ist der rechte Winkel. Außerdem ist die Länge der Seite c = 50 m gegeben. Das ist die Ankathete zu .
Gesucht ist die Länge der Seite h. Dies ist die Gegenkathete zu .
Also hilft uns hier der Tangens weiter, denn tan = .
Gib das Seitenverhältnis an und berechne jeweils die Länge der Strecke x in den nachfolgenden LearningApps.
Übung 2 (online und im Heft)
Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.
11
20
28
Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken
Sind in einem rechtwinkligen Dreieck zwei Seitenlängen oder eine Seite und ein Winkel gegeben, kannst du fehlenden Größen mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens berechnen.
Wähle das passende Seitenverhältnis aus (Sinus, Kosinus oder Tangens) und stelle - falls nötig - die Formel um. Übertrage die nachfolgenden Beispiele in dein Heft.
Beispiele: Beispiel 1: eine Seite (Hypotenuse) und ein Winkel sind gegeben
geg: rechtwinkliges Dreieck ( = 90°); c = 6,8 cm; = 56°
ges: a; b; β
① Bestimme a:
sin α = |∙c
a = sin α ∙ c
a = sin (56°)∙6,8
a 5,6 (cm)
② Bestimme b:
cos α = |∙c
b = cos α ∙ c
b = cos (56°)∙6,8
b 3,8 (cm)
Anmerkungen:
Du kannst b auch mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:
a² + b² = c² (denn a und b sind die Katheten, c ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck)
b =
= 3,9 (cm) Der Wert ist ungenauer, da du mit dem gerundeten Wert von a weitergerechnet hast.
Du kannst β auch kürzer bestimmen mit
α + β = 90°, da γ = 90° ist. Ziehst du diese von 180° ab, so bleiben 90° übrig.
Beispiel 2: eine Seite (Kathete) und ein Winkel sind gegeben
geg: rechtwinkliges Dreieck ( = 90°); a = 8,4 cm; = 62,8°
ges: b; c;
① Bestimme c:
sin α = |∙c
c ∙ sin α = a |: sin α
c =
c = 9,4 (cm)
② Bestimme b (mit tan α oder mit dem Satz des Pythagoras):
tan α = |∙b
b ∙ tan α = a |: tan α
b =
b = 4,3 (cm)
Der Wert von Sinus, Kosinus und Tangens ist abhängig vom Winkel α. Jedem Sinuswert, Kosinuswert und Tangenswert ist ein Winkel zugeordnet. Den Winkel berechnest du mit der jeweiligen Umkehrfunktion sin-1, cos-1 bzw. tan-1 dem Taschenrechner wie die Bilder zeigen:
Beispiel 4: zwei Seiten sind gegeben (beide Katheten)
geg: rechtwinkliges Dreieck ( = 90°); a = 6,5 cm; b = 3,4 cm
ges: c; α; β
① Bestimme c (Pythagoras):
a² + b² = c² |
c =
c =
c 7,3 (cm)
② Bestimme den Winkel α :
tan α =
tan α = | tan-1 62,4°
Der Wert von Sinus, Kosinus und Tangens ist abhängig vom Winkel α. Jedem Sinuswert, Kosinuswert und Tangenswert ist ein Winkel zugeordnet. Den Winkel berechnest du mit der jeweiligen Umkehrfunktion sin-1, cos-1 bzw. tan-1 dem Taschenrechner wie die Bilder zeigen:
Die Videos fassen die Möglichkeiten der Berechnungen zusammen:
Zeichne zunächst eine Planskizze mit γ = 90° und markiere die gegebenen Größen. Berechne danach die fehlenden Größen. Notiere deine Rechnungen ausführlich. Buch
a) Löse wie in Beispiel 1.
b) Löse wie in Beispiel 4.
c) Löse wie in Beispiel 3.
d) Löse wie in Beispiel 1.
e) Löse wie in Beispiel 2.
f) Löse wie in Beispiel 2.
Zwischentest 2: Fehlende Größen in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen
2.2 Anwendungsaufgaben
Übung 5 (online und im Heft)
Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.
17
39
40
41
44
Übung 6
Löse die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Zeichne zu jeder Aufgabe eine passende Skizze (rechtwinkliges Dreieck) und notiere deine Rechnungen vollständig und übersichtlich.
Du hast zu Beginn drei Möglichkeiten wiederholt, die Steigung z.B. einer Straße anzugeben:
1. in Prozent (mit p% = m),
2. als Steigung m und
3. mit dem Steigungswinkel α.
Mithilfe des Tangens kannst du nun zu einer Steigung m den zugehörigen Steigungswinkel α angeben und umgekehrt.
Steigung m und Steigungswinkel α
Mithilfe des Tangens kannst du nun zu einer Steigung m den zugehörigen Steigungswinkel α angeben und umgekehrt.
Steigung m =
m = und ebenfalls ist tan α = , also gilt
m = tan α
Berechne die Steigung m, wenn der Steigungswinkel α gegeben ist:
geg: α = 7°
ges: m
m = tan α
= tan (7°) 0,123
= 12,3%
Berechne den Steigungswinkel α, wenn die Steigung m gegeben ist.
geg: m = 25% = 0,25
ges: α
tan α = m
tan α = 0,25 |tan-1
Löse die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Zeichne zu jeder Aufgabe eine passende Skizze (rechtwinkliges Dreieck) und notiere deine Rechnungen vollständig und übersichtlich.
Im Bild sind die Steigungsdreiecke eingezeichnet. Erinnerung: "y durch x, sonst geht nix."
Rampe - Anwendungsaufgabe zur Steigung
Ein Kino möchte eine Rampe bauen. Damit Rollstuhlfahrer diese per Handbetrieb befahren können, darf die Steigung maximal 6% betragen.
a) Wie groß ist der Steigungswinkel α?
b) Wie lang wird die Rampe, wenn ein Höhenunterschied von 0,90 m überwunden werden muss?
Diskutiere deine Ideen mit deinem Partner. Löse dann im Heft. Denke an eine Skizze.
Die Steigung 6% bedeutet, dass m = 6% = 0,06 beträgt. Bestimme nun den Steigungswinkel α. Die Skizze veranschaulicht noch einmal, was "Steigung von 6%" bedeutet: 6 m Höhenunterschied bei 100m Horizontalunterschied.
Die nachfolgenden Bilder zeigen Rampen in Stadtlohn.
Gruppenarbeit: Wählt ein Bild aus und denkt euch eine Anwendungsaufgabe dazu aus.
2.4 Anwendungen im Raum
Übung 8
Löse die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Zeichne zu jeder Aufgabe eine passende Skizze (rechtwinkliges Dreieck) und notiere deine Rechnungen vollständig und übersichtlich.
Du benötigst auch die Länge der Grundkante a.
Bestimme zunächst die Länge der halben Diagonalen mit cos 75° = ...
Bestimme mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Grundkante.
a² + a² = d²
2a² = d² |:2
a² = |
a =
...
a ≈ 9,3 (cm)
Übung 9 (online und im Heft)
Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.
Um das Volumen zu bestimmen, berechne die Längen der Kanten b und c. VQuader = a·b·c.
Die Maße können sich von denen auf der Seite Aufgabenfuchs unterscheiden, sie werden dort immer neu generiert.
Zwischentest 3: Anwendungsaufgabe
Aufgaben für Profis
Eine weitere Möglichkeit der Gelände-Vermessungen sind doppelte Peilungen:
Schaffst du, die nachfolgenden anspruchsvollen Aufgaben?
Übung 10 (online und im Heft)
Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.
Die Gleichungen, die zur Lösung nötig sind, sind in der Aufgabenstellung gegeben.
Löse die Gleichung tan(48)·x = tan(25)·(50+x) nach x auf.
Lösung: x = 36,...
Setze dann x in die erste oder zweite Gleichung ein, um h zu bestimmen.
Zwischenlösungen zu 78:
Bestimme r mithilfe des angegebenen Umfangs:
uKreis=2πr |:(2π) = r
Lösung: r = 2,8 (m)
Die Ankathete zur Berechnung der Seitenlänge a beträgt also 26+2,8 = 28,8 (m)
tanα =
...
a = 16,6 (m)
...
b = 12,1 (m), also
h = a - b = 16,6 - 12,1 = 4,5 (m)
Übung 11
Aufgabe Checkliste
Löse S. 115 Nr. 6 links und rechts. Die Hilfsapplets findest du unten.
Cookies helfen uns bei der Bereitstellung von ZUM Projektwiki. Durch die Nutzung von ZUM Projektwiki erklärst du dich damit einverstanden, dass wir Cookies speichern.
