Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren

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4 Berechnungen in beliebigen Figuren

Trigonometrie in beliebigen Figuren

Berechne den Flächeninhalt und Umfang des Trapezes.

Wie lauten die Flächeninhaltsformel und die Umfangsformel für ein Trapez? Schlage in der Formelsammlung nach. (Umfang: "Die Ameise läuft um die Figur herum."

Die Längen der Seiten a und c sind gegeben. Für die Berechnung des Flächeninhalts fehlt die Länge der Höhe h, um den Umfang berechnen zu können, fehlt die Länge der Seite b.

Zeichne die Höhe h senkrecht zur Seite a zum Punkt D.

Berechne die Höhe mit sin α

Lösung: h ≈ 7,3 cm

Um die Länge der Seite b zu bestimmen, bestimme zunächst die Teilstrecken a₁ und a₂. Danach berechne mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Seite b.

Lösung: a₁ ≈ 2,7 cm; a2 = 9,5 - 2,7 - 6,5 = 0,3; b ≈ 7,3

Vergleiche deine Lösungen:

A = 58,4 cm² und u = 31,1 cm

Das Video zeigt die nötigen Rechenschritte für Berechnungen in einem symmetrischen Trapez:

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Übung 1

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 62
• 63

Übung 2

Löse die Aufgabe aus dem Buch. Zeichne eine Skizze zur Aufgabe. Zerlege die Figur in rechtwinklige Teildreiecke und berechne die fehlenden Größen.

• S. 102 Nr. 4b
• S. 113 Nr. 13
• S. 102 Nr. 6
• S. 102 Nr. 7 **

Skizze zur Aufgabe:

Skizze mit Tipp zu Nr. 13:
Zeichne die Höhe von 6,5 m links an der Deichkrone und nutze dann sin α.

Teile die untere Strecke in drei Teilstrecken. a₁ berechne mit h und cos (18), a₂ = 7m und a₃ = 4,80 m.

Die Querschnittsfläche ist die Fläche eines Trapezes.

Zerlege die Figur in zwei Dreiecke und ein Trapez.

Ergänze die Figur durch drei rechwinklige Dreiecke zu einem großen Recheck.

Für Profis: Hühnergehege

Ein viereckiges Hühnergehege soll durch einen Zaun in zwei Flächen geteilt werden. (Angaben in m)

• Wie groß sind die einzelnen Flächen?
• Wie viel Zaun wird insgesamt benötigt (um das Gehege herum und für die Abtrennung)?

Das Viereck wird durch die Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt. Gehe nun zur Bestimmung der fehlenden Größen so vor, wie im letzten Kapitel (Berechnungen in beliebigen Dreiecken).

Skizze zur Rechnung:

Vergleiche deine Lösungen:
Dreieck rechts: h₁ = 53,06 m; e₁ = 35,79 m; γ₁ = 39° (Winkelsumme); e₂ = 65,52 m; e = 101,31 m; b = 84,31 m
Dreieck links: h₂ = 91,59 m; e₃ = 57,23 m; e₄ = e - e₃ = 44,08 m; c = 101,65 m (Pythagoras)
Zaunlänge = a + b + c + d + e

Flächeninhalt = A₁ + A₂ = ${\tfrac {e\cdot h_{1}}{2}}$ + ${\tfrac {e\cdot h_{2}}{2}}$ = ...