Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren

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4 Berechnungen in beliebigen Figuren

Trigonometrie in beliebigen Figuren

Berechne den Flächeninhalt und Umfang des Trapezes.

Einstieg allgemeine Figuren.png
Wie lauten die Flächeninhaltsformel und die Umfangsformel für ein Trapez? Schlage in der Formelsammlung nach. (Umfang: "Die Ameise läuft um die Figur herum."

Die Längen der Seiten a und c sind gegeben. Für die Berechnung des Flächeninhalts fehlt die Länge der Höhe h, um den Umfang berechnen zu können, fehlt die Länge der Seite b.

Zeichne die Höhe h senkrecht zur Seite a zum Punkt D.

Berechne die Höhe mit sin α
Einstieg allgemeine Figuren mit Höhe.png

Lösung: h ≈ 7,3 cm

Um die Länge der Seite b zu bestimmen, bestimme zunächst die Teilstrecken a1 und a2. Danach berechne mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Seite b.
Einstieg allgemeine Figuren mit Höhe und Teilstrecke 1.pngEinstieg allgemeine Figuren mit Höhe und Teilstrecke.png


Lösung: a1 ≈ 2,7 cm; a2 = 9,5 - 2,7 - 6,5 = 0,3; b ≈ 7,3

Vergleiche deine Lösungen:

A = 58,4 cm² und u = 31,1 cm

Das Video zeigt die nötigen Rechenschritte für Berechnungen in einem symmetrischen Trapez:


Übung 1

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 43
  • 44


Übung 2

Löse die Aufgabe aus dem Buch. Zeichne eine Skizze zur Aufgabe. Zerlege die Figur in rechtwinklige Teildreiecke und berechne die fehlenden Größen.

  • S. 102 Nr. 4b
  • S. 113 Nr. 13
  • S. 102 Nr. 6
  • S. 102 Nr. 7 **

Skizze zur Aufgabe:

Skizze zu S.102 Nr. 4b.pngS. 102 Nr. 4b mit Höhe.png

Skizze mit Tipp zu Nr. 13:
Zeichne die Höhe von 6,5 m links an der Deichkrone und nutze dann sin α.

S. 113 Nr. 13 Skizze.png

Teile die untere Strecke in drei Teilstrecken. a1 berechne mit h und cos (18), a2 = 7m und a3 = 4,80 m.

Die Querschnittsfläche ist die Fläche eines Trapezes.

Zerlege die Figur in zwei Dreiecke und ein Trapez.

S. 102 Nr. 6 Skizze.png
Ergänze die Figur durch drei rechwinklige Dreiecke zu einem großen Recheck.


Für Profis: Hühnergehege
Anwendung Hühnergehege.png
Ein viereckiges Hühnergehege soll durch einen Zaun in zwei Flächen geteilt werden. (Angaben in m)
  • Wie groß sind die einzelnen Flächen?
  • Wie viel Zaun wird insgesamt benötigt (um das Gehege herum und für die Abtrennung)?
Das Viereck wird durch die Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt. Gehe nun zur Bestimmung der fehlenden Größen so vor, wie im letzten Kapitel (Berechnungen in beliebigen Dreiecken).

Skizze zur Rechnung:

Anwendung Hühnergehege 1.png

Vergleiche deine Lösungen:
Dreieck rechts: h1 = 53,06 m; e1 = 35,79 m; γ1 = 39° (Winkelsumme); e2 = 65,52 m; e = 101,31 m; b = 84,31 m
Dreieck links: h2 = 91,59 m; e3 = 57,23 m; e4 = e - e3 = 44,08 m; c = 101,65 m (Pythagoras)
Zaunlänge = a + b + c + d + e

Flächeninhalt = A1 + A2 = + = ...