Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Verschiebung entlang der y-Achse

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SEITE IM AUFBAU


4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters c in f(x) = ax² + c

f(x) = ax² + c Bedeutung des Parameters c

Untersuche die Bedeutung des Parameters c in der Gleichung f(x) = ax² + c mithilfe der Geometriesoftware GeoGebra.

  • Gib im Algebrafenster die Gleichung f(x) = x² ein. Es wird die Normalparabel gezeichnet.
  • Erstelle einen Schieberegler a.
  • Erstelle einen Schieberegler c.
  • Gib im Algebrafenster die Gleichung f(x) = ax² + c ein. Verändere den Wert von c mithilfe des Schiebereglers. (Die Bedeutung des Parameters a hast du schon erarbeitet.)
  • Wie verändert sich die Parabel? Notiere deine Beobachtungen.

Link zu GeoGebra

Falls du die Schieberegler nicht erstellen kannst, nutze das nachfolgende Applet.

GeoGebra


Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters c in f(x) = ax² + c
Der Graph der Funktion f(x) = ax² + c ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S(0|c). Der Faktor a bestimmt die Öffnung und Form der Parabel, der Summand c verschiebt den Scheitelpunkt entlang der y-Achse.




Übung 8 - Verlauf der Parabel

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Kontrolliere deine Lösungen mit GeoGebra (Parabeln zeichnen lassen).

  • S. 13, Nr. 4
  • S. 13, Nr. 5


Übung 9 - online

Bearbeite auf der Seite realmath so viele Aufgaben, bis mindestens 300 Punkte gesammelt hast.


Übung 10 - Funktionsgleichungen aufstellen

Löse die Aufgaben aus dem Buch.

  • S. 14, Nr. 10
  • S. 14, Nr. 13
  • S. 14, Nr. 14 (Punktprobe)
  • S. 14, Nr. 16 (Kontrolliere mit GeoGebra)

"Punktprobe"!

Setze die Koordinaten der Punkte in die Funktionsgleichungen ein und prüfe, ob eine wahre (w) Aussage oder falsche (f) Aussage entsteht. Demnach liegt der Punkt auf der Parabel bzw. nicht auf der Parabel.

Bilderfolge zu GeoGebra:
Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 1.png
Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 2.png
Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 3.png

Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 4.png


Übung 11: Modellieren mit quadratischen Funktionen
Modellieren.png
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Erstelle eine Skizze und notiere deine Lösungen ausführlich und übersichtlich.
  • S. 25 Nr. 5 (*)
  • S. 25 Nr. 7 (**)
  • S. 25 Nr. 8 (***)
  • S. 25 Nr. 9 (**)

Alle Schaubilder sind entlang der y-Achse verschobene Parabeln, da die Gleichungen immer die Form f(x)=ax²+c haben. Skizziere jeweils die Parabel und überlege, welche Bedeutung die gesuchte Größe hat:

  • Scheitelpunkt S (höchster/tiefster Punkt)
  • Nullstellen N1/N2 (Schnittpunkte mit der x-Achse; also y = 0!)
  • beliebiger Punkt auf der Parabel

Skizze: f(x) = 0,0125x² - 12
Die Parabel ist nach oben geöffnet, gestaucht (wegen 0,0125) und um 12 Einheiten entlang der y-Achse nach unten verschoben (wegen -12)

SP10 S.25 Nr.5 Bild.png

Der Durchmesser der Antenne entspricht dem Abstand zwischen den beiden Nullstellen N1 und N2.
Bestimme die Nullstellen: Dort gilt y = 0 !! (bzw. f(x) = 0)
0,0125x² - 12 = 0   |+12
0,0125x² = 12    |:0,0125
x² = 960     |
x1 = -30,98; x2 = +30,98

Berechne nun den Durchmesser der Antenne.

Skizziere die Flugbahn des Balls so in ein Koordinatenkreuz, dass die Funktionsgleichung die Form f(x)=ax²+c hat. Der Scheitelpunkt liegt also auf der y-Achse!

SP10 S.25 Nr.7a.png

Die Funktionsgleichung hat die Form f(x)=ax²+c.
c=5 kannst du am Scheitelpunkt S(0|5) ablesen.

Bestimme nun a, indem du die Koordinaten einer Nullstelle N1(-25|0) bzw. N2(25|0) in die Funktionsgleichung einsetzt und nach a auflöst.

Sortiere in der LearningApp passend, was jeweils mathematisch gesucht ist.
Bearbeite danach die Aufgaben.

Das Applet zeigt die Flugbahn des Balls. Verschiebe den Punkt P auf der Parabel so, dass er zu den jeweiligen Fragestellungen passt. Welchen Punkt musst du zur Lösung der Aufgaben zunächst berechnen?
Originallink:https://www.geogebra.org/m/vtqcvs6s

GeoGebra

gesucht: Höhe des Balls 1m nach dem Abschuss.
Zunächst musst du also die Abschussstelle berechnen, mathematisch ist dies die Nullstelle N1.
Nullstellen berechnen: y = 0 !! (bzw. f(x) = 0)
-x² + 4 = 0   |Löse die Gleichung.
...
x1≈-25,3; x2≈25,3
Der x-Wert des Punktes 1m nach dem Abschuss ist also x = -24,3, also P(-24,3|_?_)
Bestimme nun rechnerisch die zugehörige y-Koordinate durch einsetzen von x = -24,3 in die Funktionsgleichung.

Prüfe mithilfe des Applets im vorherigen Tipp.

gesucht:x-Wert bei einer Höhe von 2m.
Du kennst als vom Punkt P die Höhe, also die y-Koordinate y = 2.
Setze dies in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf.
2 = -x² + 4  |Löse die Gleichung.
...

Warum erhältst du zwei Lösungen? Erkläre anhand der Skizze im vorherigen Tipp.

gesucht:x-Wert der größten Höhe

Die größte Höhe erreicht der Fußball im Scheitelpunkt. Welcher x-Wert gehört hier zum Scheitelpunkt? Vergleiche deine Lösung mit der Skizze im vorherigen Tipp.

gegeben: Gegenspieler mit 1,90m Größe, also beträgt die y-Koordinate 1,90;
10 m vom Abschuss entfernt, also beträgt die x-Koordinate -25,3 + 10 = -24,3
gesucht: Wie hoch ist der Ball in dieser Entfernung, also P(-24,3|__?__)
Setze die x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne y. Vergleiche diesen Wert mit der Körpergröße des Gegenspielers.

Vergleiche deine Lösung mit der Skizze im vorherigen Tipp.

Skizziere den Verlauf der Parabel.
Die Funktionsgleichung hat die Form f(x) = ax² + c, also liegt der Scheitelpunkt S auf der y-Achse (die Parabel ist symmetrisch zur y-Achse).
Da a = - negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet (a negativ) und gestaucht (a zwischen 0 und -1).
c = 25, also liegt der Scheitelpunkt auf der y-Achse im Punkt S(25|0).

SP10 S.25 Nr.9 Bild.png
Die Flugweite entspricht dem Abstand zwischen den Nullstellen.
Der höchste Punkt der Flugbahn ist der Scheitelpunkt. Aufgrund der Form der Funktionsgleichung f(x) = ax² + c liegt dieser auf der y-Achse, also ist der x = 0.