Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen lösen

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2) Gleichungen lösen durch Umformen

Zahlenzauber
Magic-154526 1280.png
Denke dir eine Zahl (zwischen 1 und 9). Verdopple sie und addiere 3. Multipliziere dann das Ergebnis mit 5 und subtrahiere schließlich 6. Nenne mir das Ergebnis und ich verrate dir deine Zahl.
Findest du den Trick heraus?



Tütengleichung 1.png
Du hast im letzten Kapitel Gleichungen durch Probieren gelöst. In diesem Kapitel lernst du Möglichkeiten kennen, die Gleichung durch Umformungen zu lösen. Wiederhole dazu die Vorstellungen zu Gleichungen anhand von Waagen im Gleichgewicht in der nachfolgenden LearningApp.

App von G. Plaschke

2.1 Tütengleichungen - Waagemodell

Idee
Stelle in der Simulation von PhET (Variablen) die Gleichung 4x + 5 = 13 nach.
4x+5=13 Waagemodell PhET neu.PNG

Wie kannst du vorgehen, damit auf der Waage auf der einen Seite nur noch eine Tüte und auf der anderen Seite nur noch die passende Anzahl von Steinen liegen?



Waagemodell-Rechenoperationen
Die Bilder zeigen ein mögliches Vorgehen. Beschreibe die Rechenoperationen, die jeweils auf beiden Seiten der Gleichung (Waage) durchgeführt wurden.


4x+5=13 Waagemodell PhET neu.PNG
4x=8 Waagemodell PhET neu.PNG
X=2 Waagemodell PhET.PNG


Übung 1 - Tütengleichungen
Überlege dir zwei Gleichungen, die man mit den Tüten und Würfeln darstellen kann. Mach dir Notizen, damit du deine Gleichungen und die Vorgehensweise zum Lösen deinem Partner präsentieren kannst.


Übung 2

Öffne den Link zur Simulation zum Schulbuch. Simulation zum Buch.

Notiere jeweils die Gleichung, die dargestellt ist in dein Heft. Verändere dann beide Seiten der Gleichung so, dass du die Lösung der Gleichung (Gewicht des Würfels) angeben kannst. Notiere dazu passende Rechenoperationen in deinem Heft.


Merke

Die Darstellung zeigt die Lösung im Modell und als Gleichung.[1]
Lösung des Einstiegsbeispiels 4x+5=13 als Waage und Gleichung.png
Um eine Gleichung zu lösen darfst du auf beiden Seiten

  • den gleichen Term addieren oder subtrahieren
  • mit der gleichen Zahl (≠0) multiplizieren oder durch die gleiche Zahl (≠0) dividieren.
Dabei wird die Lösung nicht geändert.

Diese Umformungen heißen "Äquivalenzumformungen" (von lat. äqui - gleich und vale - wert sein).


Übung 3 - Waagemodell

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs mindestens 5 Beispiele. Nimm das Material und stelle die Gleichung und die Lösung als Tütengleichung nach. Notiere die Gleichung und die passende Rechenoperation zur Lösung der Aufgabe in deinem Heft.

  • Nr. 25


Übung 4

Löse die Aufgabe aus dem Buch. Wenn nötig, nutze das Material, stelle die Gleichung als Tütengleichung nach und löse schrittweise. Notiere passend dazu die Umformungen der Gleichung.

  • S. 118 Nr. 1

2.2 Gleichungen mit Variablen auf einer Seite lösen

Übung 5

Löse die Übungen auf der Seite realmath. Stelle dir die Situation als Tütengleichung mit dem Waagemodell vor. Bearbeite jeweils so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.



Klicke auf das Bild, dann siehst du, wie du die Mengenklammer für die Lösung schreibst. Übe so lange, bis du diese Klammer ebenso schreiben kannst.
Lösungsmenge schreiben.gif


Übung 6

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die Umformungen mit Pfeilen auf beiden Seiten der Gleichung.

  • S. 118 Nr. 2
  • S. 118 Nr. 3
  • S. 118 Nr. 4**
  • S. 126 Nr. 3


Übung 7

Berechne x aus -x. Löse dazu auf der Seite Aufgabenfuchs

  • Nr. 5


Gleichungen lösen - Schreibweisen

Jede Gleichung lässt sich Schritt für Schritt durch Umformungen lösen. Anstatt der Pfeile auf beiden Seiten kann man kürzer Kommandostriche schreiben und die Umformung dahinter notieren:

Lösen mit Kommandostrich.png



Übung 8

Löse die Übungen auf den Seiten realmath und dwu Schritt für Schritt.


Übung 9

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die Umformungen in der Kurzschreibweise mit einem Kommandostrich, wie in der vorausgegangenen Übung. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.

  • (S. 118, Nr. 5 = S. 126, Nr. 8)
  • S. 126, Nr. 4
  • S. 126, Nr. 5
  • S. 126, Nr. 8
  • S. 126, Nr. 9
  • S. 126, Nr. 10


Übung 10 - Fehler finden

Löse die Aufgabe aus dem Buch. Schreibe dazu die Aufgabe (mit Äquivalenzumformung!) mit der richtigen Lösung in dein Heft und erläutere deinem Sitznachbarn den Fehler im Buch.

  • S. 118 Nr. 6


2.3 Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen

Sicherlich kennst du noch die Vorrangregeln beim Berechnen von Termen:

- Punktrechnung vor
- Strichrechnung
Möchtest du nun eine Gleichung nach x auflösen, ist das Ziel, dass x "allein auf einer Seite" der Gleichung steht. Du musst also "alles, was stört auf die andere Seite bringen".

Bei den Umformungen musst du diese Reihenfolge "rückwärts" beachten:

Vienna Convention road sign B4-V3.svg

Bringe zunächst die Terme mit Strichrechnung auf die andere Seite, dann löse die Punktrechnung auf.


Gleichungen lösen Schritt für Schritt
Gleichungen lösen Schritt für Schritt 119.png



Übung 11: Aufgabenset: Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen

Wähle aus den Aufgaben aus. Sammle mindestens 10 Sternchen.

Aufgabenset 3 Gleichungen lösen.png




Übung 12

Löse die Gleichungen Schritt für Schritt. Notiere jeweils die Umformungen hinter den Kommandostrichen.

  • S. 119 Nr. 7 (Führe für jede Aufgabe eine Probe durch.)
  • S. 126 Nr. 11 (Vergleiche mit den Lösungen hinten im Buch.)
  • S. 127 Nr. 10


Übung 13

In der nächsten Übung fasse zunächst auf beiden Seiten so weit wie möglich zusammen. Danach löse Schritt für Schritt. (Übungen von realmath)

Noch mehr Übungen (mit Lösungen) findest du hier:
Mathe-Trainer: Lineare Gleichungen




  1. Die Bildausschnitte stammen von der Simulation zu Gleichungen auf der Seite von PhET https://phet.colorado.edu/sims/html/equality-explorer/latest/equality-explorer_de.html