Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|1=<span style="color: blue">Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen</span>|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math> | {{Box|1=<span style="color: blue">Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen</span>|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>g(x) = mx + n</math>. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
# Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst. | # Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst. | ||
# Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math> | # Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math>g(x) = mx + n</math> einsetzt. | ||
|2=Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen|3=Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}} | |2=Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen|3=Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
# Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math> | # Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>g(x)</math> in die Geradengleichung <math>g(x) = mx + n</math> einsetzt. | ||
# Beide Gleichungen ergeben zusammen ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen. | # Beide Gleichungen ergeben zusammen ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen. | ||
# Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung <math> | # Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung <math>g(x) = mx + n</math> ein. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Bei einer Funktion wird jedem <math>x</math> immer genau ein <math>y</math> zugeordnet. Dass einem <math>x</math> dabei immer wirklich nur genau einem <math>y</math> zugeordnet wird, wird durch die Schreibweise von <math>y</math> als <math> | Bei einer Funktion wird jedem <math>x</math> immer genau ein <math>y</math> zugeordnet. Dass einem <math>x</math> dabei immer wirklich nur genau einem <math>y</math> zugeordnet wird, wird durch die Schreibweise von <math>y</math> als <math>g(x)</math> deutlicher. Bei einer Geradengleichung der Form <math>g(x) = mx + n</math> könnte man alternativ also auch <math>y = mx + n</math> schreiben. <br> | ||
Mehr dazu kannst du im Lernpfadkapitel zu Termen und Gleichungen nachlesen. | Mehr dazu kannst du im Lernpfadkapitel zu Termen und Gleichungen nachlesen. | ||
|2=Tipp: Wieso muss man die y-Koordinate für | |2=Tipp: Wieso muss man die y-Koordinate für g(x) einsetzen?|3=Wieso man die y-Koordinate für g(x) einsetzen muss}} | ||
|2=Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems|3=Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems}} | |2=Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems|3=Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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# Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>. | # Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>. | ||
# Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab. | # Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab. | ||
# Setze alles in die Geradengleichung <math> | # Setze alles in die Geradengleichung <math>g(x) = mx + n</math> ein. | ||
|2=Lösung mit Hilfe eines Graphen|3=Lösung mit Hilfe eines Graphen}} | |2=Lösung mit Hilfe eines Graphen|3=Lösung mit Hilfe eines Graphen}} | ||
|2=Tipp: Vorgehen|3=Tipp: Vorgehen}} | |2=Tipp: Vorgehen|3=Tipp: Vorgehen}} | ||
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{{Lösung versteckt|1 = | {{Lösung versteckt|1 = | ||
Funktionsgleichung: <math> | Funktionsgleichung: <math>g(x) = 2x</math> <br> | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <br> <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2</math> | * Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <br> <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2</math> | ||
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <br> <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math> | * Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <br> <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math> | ||
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = 2</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math> | * Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = 2</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>g(x) = mx + n</math> ein: | ||
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math> | ** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>g(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n</math> | ||
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math> | ** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>g(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n</math> | ||
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math> | * Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>g(x) = mx + n</math> ein. | ||
|2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts}} | |2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> in die Geradengleichung <math> | * Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> in die Geradengleichung <math>g(x) = mx + n</math> ergeben, sind <math>2 = m \cdot 1 + n</math> und <math>6 = m \cdot 3 + n</math>. | ||
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren. | * Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren. | ||
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = 2</math>. | * Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = 2</math>. | ||
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 0</math>. | * Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 0</math>. | ||
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math> | * Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>g(x) = mx + n</math> ein. | ||
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}} | |2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}} | ||
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{{Lösung versteckt|1 = | {{Lösung versteckt|1 = | ||
Funktionsgleichung: <math> | Funktionsgleichung: <math>g(x) = -1,5x + 4</math> <br> | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <br> <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4</math> | * Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <br> <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4</math> | ||
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <br> <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5</math> | * Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <br> <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5</math> | ||
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -1,5</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math> | * Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -1,5</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>g(x) = mx + n</math> ein: | ||
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math> | ** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>g(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n</math> | ||
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n</math> | ** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n</math> | ||
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math> | * Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>g(x) = mx + n</math> ein. | ||
|2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts}} | |2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> in die Geradengleichung <math> | * Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> in die Geradengleichung <math>g(x) = mx + n</math> ergeben, sind <math>1 = m \cdot 2 + n</math> und <math>-5 = m \cdot 6 + n</math>. | ||
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren. | * Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren. | ||
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -1,5</math>. | * Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -1,5</math>. | ||
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 4</math>. | * Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 4</math>. | ||
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math> | * Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>g(x) = mx + n</math> ein. | ||
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}} | |2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}} | ||
Zeile 172: | Zeile 172: | ||
{{Lösung versteckt|1 = | {{Lösung versteckt|1 = | ||
Funktionsgleichung: <math> | Funktionsgleichung: <math>g(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}</math> <br> | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <br> <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18</math> | * Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <br> <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18</math> | ||
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <br> <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}</math> | * Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <br> <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}</math> | ||
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -\frac{7}{18}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math> | * Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -\frac{7}{18}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>g(x) = mx + n</math> ein: | ||
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math> | ** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>g(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math> | ||
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math> | ** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>g(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math> | ||
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math> | * Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>g(x) = mx + n</math> ein. | ||
|2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts}} | |2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> in die Geradengleichung <math> | * Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> in die Geradengleichung <math>g(x) = mx + n</math> ergeben, sind <math>4 = m \cdot -7 + n</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + n</math>. | ||
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren. | * Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren. | ||
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -\frac{7}{18}</math>. | * Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -\frac{7}{18}</math>. | ||
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = \frac{23}{18}</math>. | * Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = \frac{23}{18}</math>. | ||
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math> | * Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>g(x) = mx + n</math> ein. | ||
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}} | |2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}} | ||
Version vom 24. November 2019, 14:21 Uhr
Lineare Funktionen - eine kurze Wiederholung
Lineare Funktionen erkennen
Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen
Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen
Lineare Gleichungen und ihre Darstellung als Gerade
Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen
Anwendungsaufgaben