Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen
Scheitelpunktsform
Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.
Komplette Liste aller Silben: bel, ben, brei, dra, e, ge, ler, links, o, pa, punkt, qua, ra, rechts, schei, schma, staucht, streckt, tel, ten, ter, tisch, un.
Zeichne den Graph der gesuchten quadratischen Funktion
(Zuordnung Funktionsgraph und Funktionsgleichung.)
Wandle in deinem Heft die Funktionen f, g und h in die allgemeine Form um und die Funktionen i, j und k in die Scheitelpunktsform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.
Anwendungsaufgabe
Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion
beschrieben werden, wobei die horizontale Entfernung zum Schlagmann und die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.
a) Berechne und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.
Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür und stehen.
Was bedeutet es, wenn ist?
b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Balls aus der Luft zu fangen.
Berechne die Höhe des Balls nach Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.
c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.
Überlege dir, welchen Wert annehmen muss, wenn der Baseball auf den Boden aufkommt.
Setze und berechne die Nullstellen mithilfe der pq-Formel.
Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 6 nach. Achte darauf, dass vor dem kein Vorfaktor stehen darf.
d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?
Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.
Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion. Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.
Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktsform kommst, dann guck dir nochmal Aufgabe 5 an.
Zusatzaufgabe* Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in der der Baseball eine Höhe von Metern hat.
Gesucht werden die x-Werte, sodass ist.
Setze anstelle von den Wert in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.
Bringe alles auf eine Seite und berechne die Nullstellen.
a) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden.
b)
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von . Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.
c)
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Nullstellenberechnung: Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von eliminiert.
Im zweiten Schritt wird die pq-Formel angewendet, um die Nullstellen zu berechnen. und
Da wir wissen möchten wie weit der Ball fliegt, wenn kein Gegenspieler ihn vorher fängt, müssen wir nur betrachten. Somit fliegt der Baseball Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.
d)
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Umwandlung der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \begin{array}{rlll} j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075, \ausklammern \\ &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2, \quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\ &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. binomische \, Formel\\ &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\ &=& -0.0075 (x-80)^2 +49 \end{array} }
Der Scheitelpunkt liegt bei . Somit erreicht der Baseball nach Metern die maximale Höhe von Metern.
Zusatzaufgabe:
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Wir müssen für die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir für ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.
Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor .
Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der pq-Formel nach auf. Es gilt und
Der Baseball hat nach ungefähr Metern und nach ungefähr Metern eine Flughöhe von 30 Metern.