Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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[[File:Baseball swing.jpg|200px|rechts|rahmenlos|Batter beim Schlagen eines Balles]] | [[File:Baseball swing.jpg|200px|rechts|rahmenlos|Batter beim Schlagen eines Balles]] | ||
Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion | Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt. | ||
a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet. | a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet. | ||
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|3=schließen}} | |3=schließen}} | ||
b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den | b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen. | ||
{{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers. | {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers. | ||
|2=Tipp | |2=Tipp | ||
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c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird. | c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird. | ||
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf | {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf dem Boden aufkommt. | ||
|2=Tipp 1 | |2=Tipp 1 | ||
|3=schließen}} | |3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen | {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen. | ||
|2=Tipp 2 | |2=Tipp 2 | ||
|3=schließen}} | |3=schließen}} | ||
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|2=Tipp 1 | |2=Tipp 1 | ||
|3=schließen}} | |3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion | {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion. | ||
|2=Tipp 2 | |2=Tipp 2 | ||
|3=schließen}} | |3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt| 1=Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst. | ||
|2=Tipp 3 | |2=Tipp 3 | ||
|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgabe 6 an. | |||
|2=Tipp 4 | |||
|3=schließen}} | |3=schließen}} | ||
Zusatzaufgabe** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in | Zusatzaufgabe** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat. | ||
{{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)= | {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=0.5</math> ist. | ||
|2=Tipp 1 | |2=Tipp 1 | ||
|3=schließen}} | |3=schließen}} | ||
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|2=Tipp 2 | |2=Tipp 2 | ||
|3=schließen}} | |3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und | {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und löse dann die Gleichung mit der p-q-Formel. | ||
|2=Tipp 3 | |2=Tipp 3 | ||
|3=schließen}} | |3=schließen}} | ||
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{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
Wir müssen für <math>j(x)=30</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>30</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /> | Wir müssen für <math>j(x)=30</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>30</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /> | ||
<math> | <math> 0.5 = -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -0.5 </math> | ||
<math> \Leftrightarrow 0=-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x | <math> \Leftrightarrow 0=-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 </math> | ||
Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /> | Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /> | ||
<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x | 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 &\mid :(-0.0075) \\ | ||
&=& x^2 -160 \cdot x | &=& x^2 -160 \cdot x - \frac{200}{3} | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /> | Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /> | ||
Es gilt <math>p=-160, q= \frac{ | Es gilt <math>p=-160, q= -\frac{200}{3}.</math><br /> | ||
<math> | <math> | ||
\begin{array}{rll} | \begin{array}{rll} | ||
x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 | x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 + \frac{200}{3}} \\ | ||
&=& 80 \pm \sqrt{\frac{ | &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19400}{3}}\\ | ||
&=& 80 \pm | &=& 80 \pm 80.42 | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math><br /> | </math><br /> | ||
<math> \Rightarrow x_1 = 80+ | <math> \Rightarrow x_1 = 80+80.42 = 160.42 </math> und <math> x_2 = 80-80.42 = -0.42 </math><br /> | ||
Der Baseball hat nach ungefähr <math> | Der Baseball hat nach ungefähr <math>160.42</math> Metern eine Flughöhe von 0.,5 Metern. |Lösung Zusatzaufgabe |schließen}} | ||
|Arbeitsmethode}} | |Arbeitsmethode}} |
Version vom 13. Mai 2019, 10:20 Uhr
Scheitelpunktform
Wir schauen uns die Funktion an. Funktionen dieser Art heißen qua dra tisch e Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine Pa ra bel. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt Schei tel punkt. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die x-Koordinate und der Parameter e ist die y-Koordinate des Scheitelpunkts. S(d|e).
Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach un ten geöffnet.
Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach o ben geöffnet.
Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g schma ler aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph ge streckt wird.
Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g brei ter aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph ge staucht wird.
Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach rechts verschoben.
Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach links verschoben.
Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach un ten verschoben.
Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach o ben verschoben.
Umwandlung Scheitelpunktform und Normalenform