Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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====Scheitelpunktform und Normalenform====
===Scheitelpunktform und Normalenform===
{{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform
{{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform
|Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.
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{{Box|6. Von der Scheitelpunktform zur Normalenform
{{Box|6. Von der Scheitelpunktform zur Normalenform*|
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{{Box|7. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?*|
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{{Box|8. Von der Normalenform zur Scheitelpunktform*|
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{{Box|7. Finde die Paare|Wandle in deinem Heft die Funktionen f, g und h in die allgemeine Form um und die Funktionen i, j und k in die Scheitelpunktsform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.  
{{Box|9. Finde die Paare|Wandle in deinem Heft die Funktionen f, g und h in die allgemeine Form um und die Funktionen i, j und k in die Scheitelpunktsform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.  


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{{Box|8. würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?
{{Box|10. würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**
|Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.
|Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.


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{{Box|9. Nullstellen berechnen|
===Nullstellen===
 
{{Box|11. Nullstellen berechnen|


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====Anwendungsaufgabe====
===Anwendungsaufgabe===


{{Box|10. Baseball|
{{Box|12. Baseball|
Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <br><math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math><br> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.
Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <br><math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math><br> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.


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{{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 6 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.
{{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 11 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.
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{{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktsform kommst, dann guck dir nochmal Aufgabe 5 an.
{{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktsform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgaben 5, 7 und 8 an.
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Zusatzaufgabe* Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in der der Baseball eine Höhe von 30 Metern hat.
Zusatzaufgabe** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in der der Baseball eine Höhe von 30 Metern hat.
{{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=30</math> ist.
{{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=30</math> ist.
|2=Tipp 1
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Version vom 16. April 2019, 07:31 Uhr

Info
In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich quadratischer Funktionen zu vertiefen.

Scheitelpunktsform

1. Parameter der Scheitelpunktsform

Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.

Komplette Liste aller Silben: bel, ben, brei, dra, e, ge, ler, links, o, pa, punkt, qua, ra, rechts, schei, schma, staucht, streckt, tel, ten, ter, tisch, un.

Falls du nicht mehr genau weißt, was die einzelnen Parameter mit dem Graph der Funktion machen, dann probiere bei dem Applet unter dem Lückentext die einzelnen Schieberegler aus und schaue, wie sich dadurch der Graph verändert.
GeoGebra


2. WANTED!

Zeichne den Graph der gesuchten quadratischen Funktion



3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?

(Zuordnung Funktionsgraph und Funktionsgleichung.)



4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktsform aufstellen



4. Punkt auf Graphen?


Scheitelpunktform und Normalenform

5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform

Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.


6. Von der Scheitelpunktform zur Normalenform*


7. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?*


8. Von der Normalenform zur Scheitelpunktform*


9. Finde die Paare

Wandle in deinem Heft die Funktionen f, g und h in die allgemeine Form um und die Funktionen i, j und k in die Scheitelpunktsform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.

Bei der Umwandlung der Scheitelpunktsform in die allgemeine Form löse zuerst die Klammer mithilfe der binomischen Formeln auf.
Binomische Formeln.png


10. würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**

Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.

Nullstellen

11. Nullstellen berechnen



Anwendungsaufgabe

12. Baseball

Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion

beschrieben werden, wobei die horizontale Entfernung zum Schlagmann und die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.

a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.

Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür und stehen.
Was bedeutet es, wenn x=0 ist?

b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Balls aus der Luft zu fangen.

Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.

c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.

Überlege dir, welchen Wert annehmen muss, wenn der Baseball auf den Boden aufkommt.
Setze und berechne die Nullstellen mithilfe der pq-Formel.
Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 11 nach. Achte darauf, dass vor dem kein Vorfaktor stehen darf.

d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?

Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.
Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion. Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.
Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktsform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgaben 5, 7 und 8 an.

Zusatzaufgabe** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in der der Baseball eine Höhe von 30 Metern hat.

Gesucht werden die x-Werte, sodass ist.
Setze anstelle von den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.
Bringe alles auf eine Seite und berechne die Nullstellen.



a)

Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden.


b)

Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.


c)

Nullstellenberechnung:
Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von eliminiert.

Im zweiten Schritt wird die pq-Formel angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.


und

Da wir wissen möchten wie weit der Ball fliegt, wenn kein Gegenspieler ihn vorher fängt, müssen wir nur betrachten. Somit fliegt der Baseball Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.


d)

Umwandlung der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform:

Der Scheitelpunkt liegt bei Somit erreicht der Baseball nach Metern die maximale Höhe von Metern.


Zusatzaufgabe:

Wir müssen für die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir für ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.

Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor

Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der pq-Formel nach auf.
Es gilt

und

Der Baseball hat nach ungefähr Metern und nach ungefähr Metern eine Flughöhe von 30 Metern.