Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box| 7. | ==== Anwendungsaufgabe ==== | ||
{{Box|7. Baseball| | |||
Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <br><math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math><br> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt. | |||
a) Berechne <math>j(0)</math> und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet. | |||
{{Lösung versteckt|Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen. | |||
|Tipp 1|schließen}} | |||
{{Lösung versteckt| Was bedeutet es, wenn <math>x=0</math> ist? | |||
|Tipp 2 | |||
|schließen}} | |||
b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich <math>158</math> Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von <math>3,20</math> Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Balls aus der Luft zu fangen. | |||
{{Lösung versteckt|Berechne die Höhe des Balls nach <math>158</math> Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers. | |||
|Tipp | |||
|schließen}} | |||
c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird. | |||
{{Lösung versteckt|Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf den Boden aufkommt. | |||
|Tipp 1|schließen}} | |||
{{Lösung versteckt| Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen mithilfe der pq-Formel. | |||
|Tipp 2| schließen}} | |||
{{Lösung versteckt| Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 6 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x²</math> kein Vorfaktor stehen darf. | |||
|Tipp 3 | |||
|schließen}} | |||
d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er? | |||
{{Lösung versteckt| Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist. | |||
|Tipp 1 | |||
|schließen}} | |||
{{Lösung versteckt| Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion. Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst. | |||
|Tipp 2 | |||
|schließen}} | |||
{{Lösung versteckt| Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktsform kommst, dann guck dir nochmal Aufgabe 5 an. | |||
|Tipp 3 | |||
|schließen}} | |||
Zusatzaufgabe* Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in der der Baseball eine Höhe von <math>30</math> Metern hat. | |||
{{Lösung versteckt|Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=30</math> ist. | |||
|Tipp 1 | |||
|schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert <math>30</math> in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf. | |||
|Tipp 2 | |||
|schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|Bringe alles auf eine Seite und berechne die Nullstellen. | |||
|Tipp 3 | |||
|schließen}} | |||
{{Lösung versteckt| | |||
a) | |||
{{Lösung versteckt mit Rand| | |||
<math> | |||
\begin{array}{rll} | |||
j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\ | |||
&=& 1 | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. }} | |||
b) | |||
{{Lösung versteckt mit Rand| | |||
<math> | |||
\begin{array}{rll} | |||
j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\ | |||
&=& 3.37 | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m</math>. Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht. }} | |||
c) | |||
{{Lösung versteckt mit Rand| | |||
Nullstellenberechnung: | |||
Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert. | |||
<math> | |||
\begin{array}{rlll} | |||
0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\ | |||
&=& x^2 - 160x - \frac{400}{3} | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen. | |||
<math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math> | |||
<math> | |||
\begin{array}{rlll} | |||
x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\ | |||
&=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\ | |||
&=& 80 \pm 80.83 \\ | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
<math> | |||
\Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math> | |||
Da wir wissen möchten wie weit der Ball fliegt, wenn kein Gegenspieler ihn vorher fängt, müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.}} | |||
d) | |||
{{Lösung versteckt mit Rand| | |||
Umwandlung der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform: | |||
<math> | |||
\begin{array}{rlll} | |||
j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075, \ausklammern \\ | |||
&=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2, \quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\ | |||
&=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. binomische \, Formel\\ | |||
&=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\ | |||
&=& -0.0075 (x-80)^2 +49 | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49)</math>. Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. }} | |||
Zusatzaufgabe: | |||
{{Lösung versteckt mit Rand| | |||
Wir müssen für <math>j(x)=30</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>30</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite. | |||
<math> 30 = -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -30 </math> | |||
<math> \Leftrightarrow 0=-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x -29 </math> | |||
Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2</math>. | |||
<math> | |||
\begin{array}{rlll} | |||
0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x -29 &\mid :(-0.0075) \\ | |||
&=& x^2 -160 \cdot x + \frac{11600}{3} | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf. | |||
Es gilt <math>p=-160, q= \frac{11600}{3}</math> | |||
<math> | |||
\begin{array}{rll} | |||
x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt( \left( \frac{-160}{2} \right)^2 - \frac{11600}{3}) \\ | |||
&=& 80 \pm \sqrt(\frac{7600}{3})\\ | |||
&=& 80 \pm 50.33 | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
<math> \Rightarrow x_1 = 80+50.33 = 130.33 </math> und <math> x_2 = 80-50.33 = 29.67 </math> | |||
Der Baseball hat nach ungefähr <math>29.67</math> Metern und nach ungefähr <math>130.33</math> Metern eine Flughöhe von 30 Metern. }} | |||
|Lösung | |||
|schließen}} | |||
|Arbeitsmethode}} | |Arbeitsmethode}} |
Version vom 15. April 2019, 10:57 Uhr
Scheitelpunktsform