Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Abstände von Objekten im Raum

Aus ZUM Projektwiki
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In diesem Lernpfadkapitel kannst du wiederholen, wie du Abstände von Objekten im Raum bestimmst. Du übst den Abstand von einer Ebene zu einem Punkt, von einer Geraden zu einem Punkt und von zwei windschiefen Geraden zu bestimmen. Am Ende findest du noch einige gemischte Aufgaben. Dieses Thema ist nur für den LK gedacht, daher sind alle Aufgaben auch automatisch LK-Aufgaben und nicht noch jeweils mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.


Viel Erfolg!

Motivation?

  • ganz am Anfang, zur Motivation: 3 Situationen, zuordnen lassen, welche Punkt-Ebene, Punkt-Gerade usw. ist (mit Learning App), mit Bild

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Das Lotfußpunktverfahren

Aufgabe 1: Überblick: Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Ebene

Bei dieser Aufgabe kannst du einen Überblick über die Bestimmung des Abstandes zwischen einem Punkt und einer Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren bekommen. Es geht auch um wichtige Begriffe in diesem Zusammenhang.

Fülle die Lücken mit den richtigen Wörtern. Sie werden dir angezeigt, sobald du auf eine Lücke klickst. Wenn du fertig bist, klicke auf den Haken unten rechts.

Die Abbildung kann dir helfen.


Merke: Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E - Lotfußpunktverfahren

Das Vorgehen aus Aufgabe 1 hier nochmal detalliert erklärt:

  1. Die Gleichung für die zu orthogonale Gerade (also die Lotgerade) durch aufstellen. Dabei kann man als Stützvektor und als Richtungsvektor den Normalenvektor von nutzen: .
  2. Den Schnittpunkt von der Lotgeraden und der Ebene bestimmen. ist der Lotfußpunkt.
  3. Den Abstand zwischen den Punkten und bestimmen, indem man den Betrag des Vektors berechnet.


Aufgabe 2: Abstände von Punkt-Ebene zuordnen

Berechne die Abstände der verschiedenen Ebenen zum Punkt . Ordne dann den Ebenen dem jeweiligen Abstand zu. Ziehe dazu den passenden Abstand auf die jeweilige Ebene. Klicke am Ende auf den Haken rechts unten, um dich selbst zu üerprüfen. Viel Spaß!



Du kannst auch immer die Hesse´sche Normalenform zur Berechnung benutzten. Im Folgenden wurden die Abstände mit dem Lotfußpunktverfahren berechnet.

Abstand von und :

Die Gleichung für die zu orthogonale Gerade (also die Lotgerade) durch aufstellen:

.

Den Lotfußpunkt bestimmen:

in einsetzten:

Der Lotfußpunkt ist .

Den Abstand zwischen den Punkten und bestimmen:

Abstand von und :

in Koordinatenform umschreiben:

Wenn du hierbei noch Probleme hast, dann schau dir doch nochmal Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum an.

Zu senkrechte Gerade durch aufstellen:

Koordinaten der Geradengleichung in einsetzten:

Der Lotfußpunkt ist .

Den Abstand zwischen den Punkten und bestimmen:

Abstand von der zum Punkt :

Sollst du den Abstand eines Punktes zu einer Koordinatenebene bestimmen, so kannst du diesen einfach ablesen und musst ihn nicht berechnen. Der Abstand hier beträgt , da die Koordinate von ist und damit den Abstand zur anzeigt.


Beachte: ein Abstand ist immer positiv und da ist der Abstand .


Aufgabe 3: Glaspyramide


Glaspyramide des Louvre

a) Im Innenhof des Louvre-Museums in Paris befindet sich eine große Glaspyramide. Die quadratische Grundfläche liegt in einer Ebene, die durch die Ebenengleichung beschrieben werden kann. Die Spitze liegt im Punkt . Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entpricht .

Welche Höhe hat die Pyramide in ?

Text zum Verstecken

Die Höhe der Pyramide kann man bestimmen, indem man den Abstand zwischen der Spitze und der Ebene bestimmt.

Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden zu durch aufgestellt. Wir nehmen den Ortsvektor von als Stützvektor und den Normalenvektor von als Richtungsvektor, also: .

Wir bestimmen den Schnittpunkt von mit . Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von in ergibt , also . Durch Einsetzen in die Geradengleichung erhalten wir den Lotfußpunkt . Dies ist gleichtzeitig der Mittelpunkt der Grundfläche der Glaspyramide.

Der Abstand zwischen S und L beträgt wegen . Die Pyramide hat also eine Höhe von .
Die Pyramide hat eine Höhe von .



b) An einer anderen Stelle im Innenhof des Louvre befindet sich eine invertierte Glaspyramide. Das bedeutet, ihre quadratische Grundfläche liegt in der gleichen Ebene wie die Grundfläche der großen Glaspyramide, ihre Spitze ist aber unterhalb des Innenhofs. Man kann sie in einem Raum unterhalb des Innenhofs besichtigen. Die Länge der Kante von der Spitze bis zu einer Ecken der Grundfläche beträgt jeweils . Die Grundfläche hat lange Diagonalen, die sich im Punkt schneiden. In welchem Punkt liegt die Spitze der umgedrehten Pyramide?


Zeichne eine Skizze, in der du alle bekannten Längenangaben und Punkte einträgst. Was musst du wissen, um die Position der Spitze herauszufinden?


Wenn du die Höhe der Pyramide kennst, weißt du, welche Abstand die Spitze von der Grundfläche hat. Du kennst auch schon den Mittelpunkt der Pyramiden und kannst entlang des Normalenvektors von zur Spitze gelangen.

Du kannst die Höhe der Pyramide mithilfe des Satzes von Pythagoras und der Längenangaben berechnen.

GeoGebra


GeoGebra

Die Höhe der Pyramide kann man mit dem Satz des Pythagoras und den Längenangaben für die Diagonale der Grundfläche und die Kanten berechnen:

Es ist , also beträgt die Höhe der invertierten Pyramide , was im Koordinatensystem entspricht.


Die Spitze der umgedrehten Pyramide liegt also in einem Punkt, der einen Abstand von zur Pyramidengrundfläche hat. Es gibt genau zwei solche Punkte, die Spitze einer "normalen" Pyramide und die Spitze der invertierten Pyramide.

Damit man die Spitze der invertierten Pyramide erhält, geht man vom Mittelpunkt der Grundfläche aus entlang der Geraden, die orthogonal zu ist, und zwar in die andere Richtung als in Aufgabenteil a). Das heißt, man geht in die entgegengesetzte Richung des Normalenvekotrs von .

Es ist .

Nun können wir bestimmen, in welchem Punkt die Spitze liegt:

Es ist , also erhält man
Die Spitze der invertierten Pyramide liegt im Punkt .

Die Hesse´sche Normalenform

Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem Kapitel lernst du, wie du die Normalenform aufstellst und sie zur Abstandsberechnung anwendest.


Merke: Die Hesse´sche Normalenform

Den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene kann mit einer Formel berechnet werden, der sogenannten Hesse´schen Normalenform (kurz:HNF).

So bestimmst du mit der HNF den Abstand:

Gegeben ist eine Ebene durch die Koordinatengleichung Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle a\cdotx_1+b\cdotx_2+c\cdotx_3=d } bzw. durch die Normalenform mit und ein Punkt .

Stelle nun die HNF der Ebene auf:

Lies dazu aus der Koordinatengleichung der Ebene den Normalenvektor ab.

Bestimme dann die Länge des Normalenvektors :

Die HNF lautet nun: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac {|a\cdotx_1+b\cdotx_2+c\cdotx_3-d|}{|\vec{n}|}} .

Als letztes setzte die Koordinaten des Punktes in die HNF ein und berechne den Abstand:


Aufgabe 1:

Über dem Schuldach schwebt eine Drohne an der Stelle und ein Falke schwebt auf der Stelle . Finde heraus, wer den geringeren Abstand zum Schuldach hat. Das Schuldach lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben: .

Der Normalenvektor der Ebene ist:

Länge des Normalenvektors bestimmen:

Die HNF lautet nun: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac {|8\cdotx_1-4\cdotx_2-1\cdotx_3-5|}{9}} .

Nun werden die Koordinaten von eingesetzt:

Die Koordinaten von können in die selbe HNF eingesetzt werden: .

Damit hat die Drohne einen Abstand von zum Schuldach und der Falke einen Abstand von . Die Drohne ist also näher zum Dach als der Vogel.
Der Abstand der Drohne zum Dach beträgt und der Abstand des Falken zum Dach beträgt . Damit ist der Abstand der Drohne geriner.


Aufgabe 2: Abstand paralleler Ebenen

Gegeben ist die Ebene . Bestimme zur Ebene zwei parallele Ebenen, die von den Abstand haben.

Überlege dir, welchen Normalenvektor die Ebenen haben müssen, damit sie parallel zu sind

Die gesuchten Ebenen haben den gleichen Normalenvektor wie .

Ansatz:

sei ein Punkt der Ebene .

Es gilt: .

nach Aufgabenstellung. Daher gilt: oder .

Stelle nun beide Gleichungen nach um. Es folgt: und .

Dies wird nun in die Ebenengleichung von eingesetzt:

und haben nun beide den Abstand zur Ebene .

und

haben beide den Abstand zu .


Falls du noch nicht genug hast, kannst du auch versuchen, die Aufgaben vom Lotfußpunktverfahren mit der Hesse´schen Normalenform zu lösen.

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Aufgabe 5 Grafische Darstellung: Abstand eines Punktes von einer Geraden

Bewege den Punkt auf der Geraden , um dir den jeweiligen Abstand zwischen den Punkten und anzeigen zu lassen. Rechts neben der Geraden siehst du, wie groß der Abstand jeweils ist.

Wann ist der Abstand vom Punkt zur Geraden am kleinsten?

Wie groß ist der Winkel zwischen und der Geraden durch und ? Wie nennt man dann?

Versuche es zuerst ohne die Hilfslinie. Überprüfe dich dann selbst.

GeoGebra

Dies ist der Link zur GeoGebra App, falls die Anzeige bei dir nicht funktioniert:https://www.geogebra.org/material/show/id/cFTUcwnd#

Der Abstand ist am kleinsten, wenn orthogonal zu ist. Dies kannst du sehen, wenn du dir die Hilfslinie anzeigen lässt.

Dann nennt man den Punkt den Lotfußpunkt von auf .


Merke: Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden

Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden ist der Abstand von und , wobei der Lotfußpunkt von auf ist.

Für die Bestimmung des Abstandes gibt es zwei verschiedene Verfahren:

1. Verfahren (Hilfsebene): Stelle eine Hilfsebene (in Koordinatenform) auf, die den Punkt enthält und orthogonal zu zu ist. Dafür kannst du als Stützvektor und als Normalenvektor den Richtungsvektor von nehmen. Bestimme den Schnittpunkt von und durch Einsetzen. Zuletzt berechne den Abstand .

2. Verfahren (Orthogonalität): Bestimme einen allgmeinen Verbindungsvektor von zu einem beliebigen Geradenpunkt in Abhängigkeit vom Geradenparameter . Wähle so, dass der Verbindungsvektor orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden ist.

Berechne nun den Abstand .


Die richtige Reihenfolge

Im Folgenden wurde der Abstand von und bestimmt. Bringe die einzelnen Schritte in die richtige Reihenfolge.



Aufgabe 6: Lichterkette
Crystal-ball-fairy-lights1.jpg

Für ein Stadtfest soll von der Spitze eines Restaurants eine Lichterkette auf kürzestem Weg zur nahen Uferlinie des Kanals eine Lichterkette gespannt werden.

Berechne die Mindestlänge der Lichterkette auf Meter gerundet.

Die Lichterkette muss mindestens lang sein.
  1. Stelle die Hilfsebene in Koordinatenform auf:

  1. Schnittpunkt von und bestimmen:

  1. in einsetzten, um zu bestimmen:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+1*\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix }

  1. Abstand bestimmen:

Die Lichterkette muss mindestens lang sein.


Aufgabe 7: Dreieck

Es sind die Punkte und gegeben, durch sie verläuft die Gerade . Die Strecke bildet die Grundseite eines Dreiecks mit dem dritten Punkt . liegt auf der zu parallelen Geraden . a) Stimmt die Behauptung "Der Flächeninhalt des Dreiecks ändert sich, je nachdem wo auf der Geraden liegt"? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?

Du kannst mit der Maus den Punkt verschieben.

GeoGebra
Überlege dir, wie man den Flächinhalt eines Dreiecks allgemein berechnet. Wie ändert sich die Höhe des Dreiecks, wenn man verschiebt?

Die Behauptung stimmt nicht. Den Flächeninhalt eines Dreiecks kann man bekanntermaßen mit der Formel berechnen, wobei die Länge der Grundseite ist.

In dieser Aufgabe bleibt der Abstand immer gleich, da sich auf einer zu parallelen Geraden "bewegt". Also ist die Höhe all dieser Dreiecke gleich. Deshalb ändert sich auch der Flächeninhalt nicht.

b) Bestimme den Flächeninhalt des Dreicks .

Überlege dir, welche Abstände du berechnen musst, um den Flächeninhalt bestimmen zu können.

Wir bestimmen zunächst die Länge der Grundseite: Es .

Nun bestimmen wir die Höhe , also den Abstand der parallelen Geraden und mithilfe des Verbindungsvektors von zur Geraden .(Da die Geraden parallel sind, ist es natürlich egal, welche der Geraden und welchen Punkt auf der anderen Geraden man nimmt. Ihr könntet ebenso mit dem anderen Verfahren, also mit einer Hilfsebene arbeiten):

Der Punkt ist ein allgemeiner Punkt auf . Ein allgemeiner Verbindungsvektor zwischen und ist also gegeben durch . Damit orthogonal zum Richtungsvektor von ist, muss gelten: bzw. , also . Für ist der Verbindungsvektor also am kürzesten. Somit ist .

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also Flächeneinheiten.


Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also Flächeneinheiten.


  • Aufgaben 2-3 (Idee: auch mal was begründen/ vermuten/ argumentieren lassen)

Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!

Abstand zweier windschiefer Geraden

  • Janne: Verfahen in richtige Reihenfolge bringen
  • Janne: Merksatz
  • Aufgaben 2 (Idee: auch mal was begründen/vermuten/ argumentieren lassen)

Vorlage:Box:

GeoGebra

Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!

Gemischte Aufgaben

  • auf Anfangsaufgabe zurückkommen
  • 3 Aufgaben

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