Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen): Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|⭐ Aufgabe 7: Flugzeug | | {{Box|⭐ Aufgabe 7: Flugzeug | | ||
Ein Flugzeug fliegt auf eine Nebelwand zu. Seine Flugbahn wird durch die Gerade <math>j\colon \vec{x} = \left( \begin{matrix} 10\\ 23 \\ 10 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}5\\ | Ein Flugzeug fliegt auf eine Nebelwand zu. Seine Flugbahn wird durch die Gerade <math>j\colon \vec{x} = \left( \begin{matrix} 10\\ 23 \\ 10 \end{matrix} \right) + t \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}5\\ 0 \end{matrix} \right)</math> beschrieben, wobei <math> t</math> die Zeit in Minuten nach dem Start bezeichnet. Das Flugzeug befindet sich also im Moment am Punkt <math> P(10/23/10) </math>. Du kannst davon ausgehen, dass es mit konstanter Geschwindigkeit fliegt. Die Ebene <math> E: 2x_1+x_2=-2 </math> beschreibt die Nebelwand. | ||
Versuche die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner zu lösen. | Versuche die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner zu lösen. | ||
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{{Lösung versteckt|1= <math>\vec{n} \ast \vec{u} = \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} -2\\ {-}5\\ 0 \end{matrix} \right) = 2 \cdot (-2) + 1 \cdot (-5) +0 \cdot 0 = -9</math>. Da das Skalarprodukt <math> -9 \neq 0 </math> ergibt, sind der Normalenvektor der Ebene <math>E</math> und der Richtungsvektor der Gerade <math>j</math> nicht orthogonal zueinander. Daraus können wir schließen, dass sich Gerade und Ebene schneiden. Das Flugzeug trifft also auf die Nebelwand.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | {{Lösung versteckt|1= <math>\vec{n} \ast \vec{u} = \left( \begin{matrix} 2\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) \ast \left( \begin{matrix} -2\\ {-}5\\ 0 \end{matrix} \right) = 2 \cdot (-2) + 1 \cdot (-5) +0 \cdot 0 = -9</math>. Da das Skalarprodukt <math> -9 \neq 0 </math> ergibt, sind der Normalenvektor der Ebene <math>E</math> und der Richtungsvektor der Gerade <math>j</math> nicht orthogonal zueinander. Daraus können wir schließen, dass sich Gerade und Ebene schneiden. Das Flugzeug trifft also auf die Nebelwand.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | ||
b) Wo trifft das Flugzeug auf die Nebelwand und wie viele Minuten | b) Wo trifft das Flugzeug auf die Nebelwand und wie viele Minuten dauert es noch, bis das Flugzeug die Nebelwand erreicht? | ||
{{Lösung versteckt|1= Berechne den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene, indem du die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung einsetzt.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}} | {{Lösung versteckt|1= Berechne den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene, indem du die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung einsetzt.|2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Setze die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung ein und löse nach dem Parameter <math>t</math> auf: <math>2 \cdot (10-2t)+23-5t= -2 \Leftrightarrow 20-4t+23-5t =-2 \Leftrightarrow -9t=-45\Leftrightarrow t=5</math> | {{Lösung versteckt|1= Setze die einzelnen Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung ein und löse nach dem Parameter <math>t</math> auf: <math>2 \cdot (10-2t)+23-5t= -2 \Leftrightarrow 20-4t+23-5t =-2 \Leftrightarrow -9t=-45\Leftrightarrow t=5</math> | ||
Da <math>t</math> die Zeit in Minuten | Da <math>t</math> die Zeit in Minuten angibt, erreicht das Flugzeug den Schnittpunkt in 5 Minuten. | ||
Berechne nun den Schnittpunkt <math>S</math>, indem du <math>t</math> in die Geradengleichung einsetzt. Du erhältst den Ortsvektor zum Schnittpunkt und kannst den Schnittpunkt dann ablesen: <math>\left( \begin{matrix} 10\\ 23 \\ | Berechne nun den Schnittpunkt <math>S</math>, indem du <math>t</math> in die Geradengleichung einsetzt. Du erhältst den Ortsvektor zum Schnittpunkt und kannst den Schnittpunkt dann ablesen: <math>\left( \begin{matrix} 10\\ 23 \\10 \end{matrix} \right) + 5 \cdot \left( \begin{matrix} -2\\ {-}5\\ 0 \end{matrix} \right)</math><math> = \left( \begin{matrix} 0\\{-}2\\ 10 \end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix} 0\\-2\\ 10 \end{matrix} \right)</math>. Damit ergibt sich der Schnittpunkt <math> S(0|-2|10)</math>. | ||
Das Flugzeug trifft die Nebelwand 5 Minuten | Das Flugzeug trifft die Nebelwand in 5 Minuten im Punkt <math> S(0|-2|10)</math>. |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | ||
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}} | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}} | ||
Version vom 22. Juni 2021, 08:15 Uhr
Lagebeziehung Gerade-Ebene
Mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene
Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene
Ebene in Parameterform
⭐Ebene in Koordinatenform
⭐Berechnung des Winkels zwischen Gerade und Ebene
Lagebeziehung Ebene-Ebene
Mögliche Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen
Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Ebenen
Beide Ebenengleichungen in Parameterform
⭐Ebenengleichungen in Parameter- und Koordinatenform
⭐Beide Ebenengleichungen in Koordinatenform
⭐Berechnung des Winkels zwischen Ebene und Ebene