Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Ebenen im Raum

Aus ZUM Projektwiki

Normalenform und Koordinatenform von Ebenengleichungen


Merksatz: Normalen- und Koordinatenform
Bisher wurde eine Ebene mithilfe eines Aufpunkts A und zwei Spannvektoren und beschrieben. Eine andere Möglichkeit ist, sie durch einen Aufpunkt A und einen Normalenvektor zu beschreiben. Damit erhält man die Normalengleichung der Ebene. Sie hat die Form . Zusätzlich lässt sich jede Ebene E ebenfalls beschreiben durch eine Koordinatengleichung der Form . Dabei muss mindestens einer der Koeffizienten a, b, c ungleich null sein. Ist eine Koordinatengleichung der Ebene E, so ist ein Normalenvektor dieser Ebene.


Aufgabe 9: Aufstellen von Normalen- und Koordinatenform

Eine Ebene durch hat den Normalenvektor

a) Gebe eine Normalengleichung der Ebene an.

b) Bestimme aus der Normalengleichung eine Koordinatengleichung der Ebene

c) Liegt der Punkt in der Ebene?


Aufgabe 10: Aufstellen der Normalenform
Bestimme für die Ebene in der Abbildung eine Gleichung.


Aufgabe 11: Modellierung eines Tisches (Normalenform)
Ein Tischfuß zeigt von einem Punkt des Fußbodens aus nach oben, die Tischplatte ist 8 Einheiten vom Boden entfernt. Bestimme eine Normalengleichung der Ebene, in der die Tischplatte liegt.


Aufgabe 12: Marktplatzaufgabe (Koordinatenform)

Die folgende Abbildung zeigt eine Karte des Marktplatzes in Bremen mit dem Rathaus, dem Dom und weiteren sehenswürdigen Gebäuden. Legt man ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Marktplatzes, sodass die -Achse nach Süden, die -Achse nach Osten und die -Achse senkrecht zum Himmel zeigt. Vor dem Rathaus nimmt Höhe des Marktplatzes nach Südwesten leicht ab. Dieser schräge Teil des Marktplatzes soll durch eine Ebene beschrieben werden.

a) Berechne einen möglichen Normalenvektor der Ebene E.

b) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E

Vor dem Rathaus steht das Denkmals „Roland von Bremen“ mit standhaftem Blick auf dem Dom. Sein Fußpunkt ist . Er wurde genau vertikal, d.h. senkrecht auf der -Ebene errichtet.

c) Berechne die Zahl z derart, dass R in der Ebene liegt.


Aufgabe 13: Schattenwurf (Gerade und Ebene in Koordinatenform)

Ein Baum mit dem Fußpunkt und der Spitze wird von der Sonne bestrahlt, deren Sonnenstrahlen parallel zum Vektor verlaufen. Der Baum wirft einen Schatten auf einen Hang, der durch die Ebene beschrieben wird.

Wo liegt der Schattenpunkt T der Baumspitze S auf dem Hang und wie lang ist der Schatten des Baumes?


Aufgabe 14: Reflexion zur Koordinatenform

a) Warum muss bei einer Koordinatengleichung einer Ebene E mindestens einer der Koeffizienten ungleich null sein?

b) Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form von zwei Ebenen nur in der Konstanten d, dann sind die Ebenen zueinander parallel.

c) Beurteile: Alle Ebenen, bei denen in der Koordinatengleichung die Koeffizienten und ungleich Null, aber ist, haben eine Gemeinsamkeit.


Überführung der Parameterform in die Koordinatenform


Beispiel: Von der Parameter- zur Koordinatenform einer Ebenengleichung
XYZXYZ


Aufgabe 15: Koordinatengleichung aus Parametergleichung
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene .


Aufgabe 16: Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung
Die Ebene E ist durch die drei Punkte , , festgelegt. Bestimme eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene E.