Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum

Lernpfad

Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum"!

Hier entsteht im Sommersemester 2021 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe Q1 im Rahmen des Seminars "Digitale Werkzeuge in der Schule".

Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung. Die ersten beiden Items sind Beispielitems.

1 Dies ist eine Beispielfrage.

	Diese Antwortalternative ist falsch. Das zeigt das Minus-Zeichen in der Quelltextbearbeitung an.
	Diese Antwortalternative ist richtig. Das zeigt das Plus-Zeichen in der Quelltextbearbeitung an.

2 Was ergibt 1+1?

	1
	2
	3
	4

Thema a:

1 Gegeben ist der Punkt A(1|2|-3) und der Punkt A'(-2|5|3,5). Welcher Vektor beschreibt die Verschiebung des Punktes A auf den Punkt A' ?

	${\vec {x}}={\begin{pmatrix}3\\-3\\-6,5\end{pmatrix}}$
	${\vec {x}}(-3|3|6,5)$
	${\vec {x}}={\begin{pmatrix}-3\\3\\6,5\end{pmatrix}}$
	${\vec {x}}(3|-3|-6,5)$
	${\vec {x}}={\begin{pmatrix}6,5\\3\\-3\end{pmatrix}}$

2 Die Bewegung eines Autos wird durch den Vektor ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}}$ beschrieben. Welcher der folgenden Vektoren beschreibt die Bewegung eines entgegenkommenden Autos mit doppelter Geschwindigkeit?

	${\vec {x}}={\begin{pmatrix}-2\\4\\-2\end{pmatrix}}$
	${\vec {x}}={\begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix}}$
	${\vec {x}}={\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}}$
	${\vec {x}}={\begin{pmatrix}0,5\\-1\\0,5\end{pmatrix}}$

3 Gegeben ist das Dreieck ABC mit die Punkten A(0|0|2), B(0,5|0,5|-2) und C(3,5|-1|0). Welche der folgenden Aussagen trifft zu?

	Das Dreieck ABC ist gleichseitig.
	Das Dreieck ABC ist gleichschenklig.
	Das Dreieck ABC ist rechtwinklig.

Thema b:

1 Welche der folgenden Geraden verlaufen durch die Punkte $A(1|0|-2)$ und $B(3|4|1)$?

	$g_{1}:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$
	$g_{2}:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}-2\\-4\\-3\end{pmatrix}},s\in \mathbb {R}$
	$g_{3}:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}}+\lambda \cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}},\lambda \in \mathbb {R}$
	$g_{4}:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}}+\mu \cdot {\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}},\mu \in \mathbb {R}$
	$g_{5}:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}}+\nu \cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\1{,}5\end{pmatrix}},\nu \in \mathbb {R}$

2 Welche Aussagen sind wahr?

	Wenn zwei Geraden zueinander windschief sind, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht zueinander parallel.
	Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden im Raum nicht zueinander parallel sind, dann schneiden sich die Geraden.
	Wenn sich zwei Geraden im Raum scheiden, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht zueinander parallel.
	Zwei Geraden mit parallelen Richtungsvektoren haben nie gemeinsame Punkte.
	Wenn zwei Geraden mindestens einen gemeinsamen Punkt haben, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht parallel.

3 Welche Sachsituationen passen zu der Geraden definiert durch

$g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}3\\7\\8\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}},r\in \mathbb {R}$?

	Ein Heißluftballon startet im Punkt $(3|7|8)$ und befindet sich im Sinkflug.
	Ein Flugzeug befindet sich zum Zeitpunkt $r=0$ im Punkt $(3|7|8)$ und fliegt mit einer Geschwindigkeit von $5$ km/min.
	Ein U-Boot steigt pro Sekunde um $7$ m auf.
	Ein Vogel befindet sich in $8$ km Höhe. Nach drei Minuten ist die Position desselben Vogels um $3$ km in $x_{1}$-Richtung und $4$ km in $x_{2}$-Richtung verschoben und die Höhe des Vogels hat sich nicht verändert.
	Ein GPS-Tracker an einer Taube zeigt nach $5$ min die Koordinaten $(15|27|8)$ an.

Thema c:

1 Dummy zu Thema c)

	1
	2

2 Dummy zu Thema c)

	1
	2

3 Dummy zu Thema c)

	1
	2

Thema d (Fragen 1-3 für GK & LK. Fragen 4-5 nur LK):

1 Dummy zu Thema d)

	1
	2

2 Dummy zu Thema d)

	1
	2

3 Dummy zu Thema d)

	1
	2

4 Dummy zu Thema d)

	1
	2

5 Dummy zu Thema d)

	1
	2

Thema e (Fragen 1-3 für GK. Fragen 4-6 für LK):

1 Welche Aussagen sind wahr?

	Eine Gerade und eine Ebene können windschief zueinander liegen.
	Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, dann ist jeder Punkt auf der Geraden auch ein Punkt in der Ebene.
	Der Schnittpunkt von einer Geraden mit einer Ebene ist der einzige Punkt, den beide gemeinsam haben.

2 Seien die Gleichungen einer Gerade g und einer Ebene E gegeben. Durch Gleichsetzen und Einsatz des Taschenrechners ergibt sich folgende Lösung: ${\begin{vmatrix}r+2s-3t=6\\s-2t=2\\0=0\end{vmatrix}}$. Interpretiere die Lösung des Gleichungssystems.

	Die Gerade liegt in der Ebene.
	Die Gerade liegt parallel zur Ebene.
	Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt.

3 Betrachte folgende Aufgabe:

Der Sinkflug eines Flugzeuges wird durch die Gerade $f:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\1\\10\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-4\\4\\-0,25\end{pmatrix}},t\in \mathbb {R}$ modelliert. Der Parameter $t\in \mathbb {R}$ entspricht dabei der Zeit in Minuten nach Beginn des Sinkfluges. Der Boden wird durch die Ebene $B:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},r,s\in \mathbb {R}$ beschrieben. Wie lange dauert der Sinkflug?

Wie könntest du bei der Bearbeitung der Aufgabe vorgehen?

	Ich setze den Stützvektor der Gerade in die Ebenengleichung ein und berechne so die Parameter r und s.
	Ich setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich und löse das LGS. Ich setze den Parameter t in die Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu berechnen.
	Ich setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich und löse das LGS. Ich setze die Parameter r und s in die Ebenengleichung ein, um den Schnittpunkt zu berechnen.

4 Welche Aussagen sind wahr?

	Eine Gerade und eine Ebene können windschief zueinander liegen.
	Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, dann ist jeder Punkt auf der Geraden auch ein Punkt in der Ebene.
	Wenn die Normalenvektoren zweier Ebenen kolinear sind, dann schneiden sich die Ebenen nicht.
	Wenn zwei Ebenen sich schneiden, besitzen sie genau einen gemeinsamen Punkt.

5 Seien $E:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}},t,s\in \mathbb {R}$ und $F:x_{1}-2x_{2}=1$ zwei Ebenen im Raum. Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen zueinander.

	Die Ebenen sind identisch.
	Die Ebenen sind parallel.
	Die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.

6 Dummy zu Thema e)

	1
	2

Thema f (nur LK):

1 Welche Abstände kann man sinnvoll berechnen?

	Den Abstand zwischen zwei parallelen Geraden.
	Den Abstand zwischen zwei unterschiedlichen, nicht parallelen Ebenen.
	Den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene.
	Den Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene.
	Den Abstand zwischen zwei sich schneidenden Geraden.
	Den Abstand von einem Punkt zu einer Geraden.
	Den Abstand zwischen windschiefen Geraden.
	Den Abstand zwischen parallelen Ebenen.
	Den Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene, die sich schneiden.

2 Dummy zu Thema f)

	1
	2

3 Welche der folgenden Sachsituationen passen zu der Aufgabe? Aufgabe: Berechne den Abstand des Punktes P zur Ebene E. Sachsituationen:

	Lukas ist 1,80m groß und steht auf einer Wiese unter einer Seilbahn. Er möchte wissen, wie nah ihm die Gondeln höchstens kommen können. Er kennt seine Position und den Verlauf der Seilbahn.
	Eine Drohne schwebt in der Luft an einer Stelle über der Dachfläche eines Hauses. Hält sie die nötige Entfernung von 5m zur Dachfläche ein?
	Julia und Juan wohnen gegenüber. Sie möchten eine Schnur von Julias Fenster in der 1. Etage zu Juans Fenster in der Hauswand in der 2. Etage spannen. Wie lang muss die Schnur sein?
	Ein Schiff fährt entlang einer Geraden und ein U-Boot taucht entlang einer Geraden im Meer. Wie nah werden sie sich höchstens kommen?
	Eine Glühbirne hängt über einem Tisch. Kann Nuria mit ihrem Kopf die Glühbirne berühren, wenn sie auf dem Tisch steht? Sie ist 1,40m groß.

Thema g:

1 Dummy zu Thema g)

	1
	2

2 Dummy zu Thema g)

	1
	2

3 Dummy zu Thema g)

	1
	2

Wie geht es nun weiter?

Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:

• Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:

• bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zum Kapitel Punkte und Vektoren im Raum
• bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zum Kapitel Geraden im Raum
• bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zum Kapitel Winkel und Skalarprodukt (Vektoren bzw. Geraden)
• bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zum Kapitel Ebenen im Raum
• bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)
• bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel Abstände von Objekten im Raum
• bei den Aufgaben 19 - 21, gehe zum Kapitel Lineare Gleichungssysteme