Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum: Unterschied zwischen den Versionen

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__NOTOC__
 
{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum"!
 
{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum"!
  
Hier entsteht im Sommersemester 2021 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe Q1 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].
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Hier kannst du das Thema ''Analytische Geometrie'' üben, wiederholen und vertiefen und und dich so auch auf das Abitur vorbereiten.
  
[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad
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Um herauszufinden, welche Themen du noch einmal üben solltest, wähle bei den folgenden Aufgaben die Antworten aus, die wahr sind. Es können auch mehrere Aussagen ausgewählt werden. Wenn du alle Aufgaben bearbeitet hast, kannst du deine Antworten durch einen Klick auf "Speichern" überprüfen. Trage in deine Checkliste für die Lernpfad-Arbeit ein, welche Aufgaben du richtig und welche du falsch beantwortet hast.
 
}}
 
}}
  
Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung. Die ersten beiden Items sind Beispielitems.
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== Diagnosetest ==
  
<quiz display="simple">
+
{{Navigation verstecken
{ Dies ist eine Beispielfrage. }
+
|<quiz display="simple">
- Diese Antwortalternative ist '''falsch'''. Das zeigt das '''Minus'''-Zeichen in der Quelltextbearbeitung an.
 
+ Diese Antwortalternative ist '''richtig'''. Das zeigt das '''Plus'''-Zeichen in der Quelltextbearbeitung an.
 
 
 
{ Was ergibt 1+1? }
 
- 1
 
+ 2
 
- 3
 
- 4
 
</quiz>
 
 
 
Thema a:
 
 
 
<quiz display="simple">
 
 
{ Gegeben ist der Punkt <math> A(1|2|-3)</math> und der Punkt <math> A'(-2|5|3{,}5)</math>. Welcher Vektor beschreibt die Verschiebung des Punktes <math> A </math> auf den Punkt <math> A' </math> ? }
 
{ Gegeben ist der Punkt <math> A(1|2|-3)</math> und der Punkt <math> A'(-2|5|3{,}5)</math>. Welcher Vektor beschreibt die Verschiebung des Punktes <math> A </math> auf den Punkt <math> A' </math> ? }
 
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -6{,}5 \end{pmatrix} </math>
 
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -6{,}5 \end{pmatrix} </math>
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- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
 
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
  
{ Gegeben ist das Dreieck <math>ABC</math>. Welche der folgenden Aussagen treffen auf das abgebildete Dreieck zu? [[Datei:Dreieck glsch rchtwklg.jpg|rahmenlos|300x300px]] }
+
{ Gegeben ist das abgebildete gleichschenklige rechtwinkelige Dreieck <math>ABC</math>. Welche der folgenden Aussagen treffen auf das Dreieck zu? [[Datei:Dreieck glsch rchtwklg.jpg|rahmenlos|300x300px]] }
 
+ <math> |\vec{AB}| = |\vec{AC}| </math>
 
+ <math> |\vec{AB}| = |\vec{AC}| </math>
 
- <math> |\vec{BC}| = |\vec{AC}| </math>
 
- <math> |\vec{BC}| = |\vec{AC}| </math>
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- Es gilt <math> |\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2 + |\vec{AB}|^2 </math>.
 
- Es gilt <math> |\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2 + |\vec{AB}|^2 </math>.
 
+ Es gilt <math> |\vec{BC}|^2 = |\vec{AC}|^2 + |\vec{AB}|^2 </math>.
 
+ Es gilt <math> |\vec{BC}|^2 = |\vec{AC}|^2 + |\vec{AB}|^2 </math>.
</quiz>
 
 
Thema b:
 
  
<quiz display="simple">
 
 
{ Welche der folgenden Geraden verlaufen durch die Punkte <math>A(1|0|{-}2)</math> und <math>B(3|4|0)</math>? }
 
{ Welche der folgenden Geraden verlaufen durch die Punkte <math>A(1|0|{-}2)</math> und <math>B(3|4|0)</math>? }
 
+ <math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
 
+ <math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
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+ Ein Vogel befindet sich in <math>8</math> km Höhe. Nach drei Minuten ist die Position desselben Vogels um <math>9</math> km in <math>x_1</math>-Richtung und <math>12</math> km in <math>x_2</math>-Richtung verschoben und die Höhe des Vogels hat sich nicht verändert.
 
+ Ein Vogel befindet sich in <math>8</math> km Höhe. Nach drei Minuten ist die Position desselben Vogels um <math>9</math> km in <math>x_1</math>-Richtung und <math>12</math> km in <math>x_2</math>-Richtung verschoben und die Höhe des Vogels hat sich nicht verändert.
 
+ Ein GPS-Tracker an einer Taube, die in <math>(3|7|8)</math> gestartet ist, zeigt nach <math>5</math> min die Koordinaten <math>(18|27|8)</math> an.
 
+ Ein GPS-Tracker an einer Taube, die in <math>(3|7|8)</math> gestartet ist, zeigt nach <math>5</math> min die Koordinaten <math>(18|27|8)</math> an.
</quiz>
 
 
Thema c:
 
<quiz display="simple">
 
  
 
{ Prüfe, welche der Vektoren orthogonal zueinander sind. }
 
{ Prüfe, welche der Vektoren orthogonal zueinander sind. }
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+ 51°
 
+ 51°
  
</quiz>
 
 
Thema d (Fragen 1-3 für GK & LK. Fragen 4-5 nur LK):
 
 
<quiz display="simple">
 
 
{ Welche der folgenden Parametergleichungen beschreiben eine Ebene? }
 
{ Welche der folgenden Parametergleichungen beschreiben eine Ebene? }
 
- <math>E: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math>
 
- <math>E: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math>
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- <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>
 
- <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>
 
- <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math>
 
- <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math>
 
  
 
{ Sei <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} </math> eine Gerade. Welche Aussagen zu Spurpunkten treffen zu? }
 
{ Sei <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} </math> eine Gerade. Welche Aussagen zu Spurpunkten treffen zu? }
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- Jede Gerade hat drei verschiedene Spurpunkte.
 
- Jede Gerade hat drei verschiedene Spurpunkte.
 
- Der Punkt <math>{S_2} (1|0|8)</math> ist Spurpunkt der <math>{x_2x_3}</math>-Ebene.
 
- Der Punkt <math>{S_2} (1|0|8)</math> ist Spurpunkt der <math>{x_2x_3}</math>-Ebene.
 
  
 
{ Eine Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt A <math>(0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u} = (0|{-}2|0)</math> und <math>\vec{v} = ({-}2|0|2)</math> gehören. Der Punkt <math>(0|9|4)</math> ist die untere Ecke des Daches. Alle Punkte des Daches können beschrieben werden durch die Einschränkung der Ebenengleichung mit den Parametern <math>t=3</math> und <math>s=4</math>.}  
 
{ Eine Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt A <math>(0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u} = (0|{-}2|0)</math> und <math>\vec{v} = ({-}2|0|2)</math> gehören. Der Punkt <math>(0|9|4)</math> ist die untere Ecke des Daches. Alle Punkte des Daches können beschrieben werden durch die Einschränkung der Ebenengleichung mit den Parametern <math>t=3</math> und <math>s=4</math>.}  
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- Der Punkt <math>(0|{-}10|0)</math> liegt in der Ebene, aber außerhalb der Dachfläche.
 
- Der Punkt <math>(0|{-}10|0)</math> liegt in der Ebene, aber außerhalb der Dachfläche.
  
 +
{ Diese Aufgabe ist nur für den LK gedacht. Mache mit Aufgabe 15 weiter. }
 +
+ Ich bin im Grundkurs.
  
{ Welche Aussagen zum Thema Normalenvektor treffen zu? }
+
{ Diese Aufgabe ist nur für den LK gedacht. Mache mit Aufgabe 15 weiter. }
- Die Eckfahne beim Fußball kann geometrisch als Normalenvektor des Fußballfeldes interpretiert werden.
+
+ Ich bin im Grundkurs.
- Der Normalenvektor einer Ebene ist eindeutig.
 
- Das Skalarprodukt eines Normalenvektors und eines Richtungsvektors derselben Ebene ist 0.
 
- Selbst bei einer Straße mit Steigung stellt modellhaft eine Straßenlaterne einen Normalenvektor dar.
 
- Vektor <math>\vec{n}</math> ist ein Normalenvektor der Ebene. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]
 
  
 
{ Gegeben ist eine Ebene in Parameterform. <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> }
 
- <math>E: 2x_1-1{,}5x_2-x_3=2{,}5 </math> ist die zugehörige Koordinatenform.
 
- <math>E: 2x_1+1{,}5x_2+x_3=2{,}5 </math> ist die zugehörige Koordinatenform.
 
- <math>E: 2x_1+1{,}5x_2+x_3=0 </math> ist die zugehörige Koordinatenform.
 
- <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot\ [ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} ] = 0</math> ist die zugehörige Normalenform.
 
 
</quiz>
 
 
Thema e (Fragen 1-3 für GK. Fragen 4-6 für LK):
 
 
<quiz display="simple">
 
 
{ Welche Aussagen sind wahr? }
 
{ Welche Aussagen sind wahr? }
 
- Eine Gerade und eine Ebene können windschief zueinander liegen.
 
- Eine Gerade und eine Ebene können windschief zueinander liegen.
 
+ Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, dann ist jeder Punkt auf der Geraden auch ein Punkt in der Ebene.
 
+ Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, dann ist jeder Punkt auf der Geraden auch ein Punkt in der Ebene.
 
+ Wenn eine Gerade und eine Ebene keinen gemeinsamen Punkt haben, liegen sie parallel zueinander.
 
+ Wenn eine Gerade und eine Ebene keinen gemeinsamen Punkt haben, liegen sie parallel zueinander.
 
  
 
{ Seien die Gleichungen einer Gerade <math> g </math> und einer Ebene <math> E </math> gegeben. Um die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene zu untersuchen, hat Noah die Gleichungen gleichgesetzt. Mit dem Gauß-Verfahren erhält er das folgende Gleichungssystem: <math> \begin{vmatrix} r+2s-3t=6 \\ s-2t=2 \\ 0=0 \end{vmatrix} </math>. Wie muss Noah sein Ergebnis interpretieren?}
 
{ Seien die Gleichungen einer Gerade <math> g </math> und einer Ebene <math> E </math> gegeben. Um die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene zu untersuchen, hat Noah die Gleichungen gleichgesetzt. Mit dem Gauß-Verfahren erhält er das folgende Gleichungssystem: <math> \begin{vmatrix} r+2s-3t=6 \\ s-2t=2 \\ 0=0 \end{vmatrix} </math>. Wie muss Noah sein Ergebnis interpretieren?}
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- Die Gerade liegt parallel zur Ebene.
 
- Die Gerade liegt parallel zur Ebene.
 
- Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt.
 
- Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt.
 
  
 
{ Betrachte folgende Aufgabe:
 
{ Betrachte folgende Aufgabe:
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+ Ich setze den Punkt <math>P=\left( \begin{smallmatrix} x_1\\ x_2\\ 0 \end{smallmatrix} \right) </math> mit der Gerade <math> g </math> gleich und löse das Gleichungssystem. Durch das Einsetzen von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> in <math> P </math> ergibt sich der Schnittpunkt.
 
+ Ich setze den Punkt <math>P=\left( \begin{smallmatrix} x_1\\ x_2\\ 0 \end{smallmatrix} \right) </math> mit der Gerade <math> g </math> gleich und löse das Gleichungssystem. Durch das Einsetzen von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> in <math> P </math> ergibt sich der Schnittpunkt.
  
 +
{ Diese Aufgabe ist nur für den LK gedacht. Mache mit Aufgabe 21 weiter. }
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+ Ich bin im Grundkurs.
 +
 +
{ Diese Aufgabe ist nur für den LK gedacht. Mache mit Aufgabe 21 weiter. }
 +
+ Ich bin im Grundkurs.
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 +
{ Diese Aufgabe ist nur für den LK gedacht. Mache mit Aufgabe 21 weiter. }
 +
+ Ich bin im Grundkurs.
 +
 +
{Löse das Lineare Gleichungssystem ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren. Welche Lösung ist korrekt?
 +
 +
<math>\begin{align} 2x + 2y + 2z & = 0 \\  -2x +2y + 4z & = 12 \\ z & = 2\\ \end{align}</math> }
 +
 +
+ <math> x=-2,~y=0,~z=2 </math>
 +
- <math> x=-3,~y=1,~z=2 </math>
 +
- <math> x=0,~y=-2,~z=2 </math>
 +
- das Lineare Gleichungssystem hat keine Lösung
 +
 +
{ Gegeben ist das folgende Lineare Gleichungssystem (LGS):
 +
 +
<math>\begin{align} 3x + 2y + z & = 4 \\  3x +2y & = 5 \\ 3x + 2y + az & = 2\\ \end{align}</math>
 +
 +
Welche der folgenden Aussagen stimmt nicht?}
 +
- Das LGS hat für a=1 unendlich viele Lösungen
 +
- Das LGS hat für a=1  keine Lösung
 +
+ Es gibt ein a aus den reelen Zahlen, sodass das LGS genau eine Lösung hat
 +
 +
{ Bringe die Schritte des Gauß-Verfahrens in die richtige Reihenfolge
 +
 +
a)    Durch Addition und Subtraktion von Gleichungen die einzelnen Variablen eliminieren.
 +
 +
b)    Das Lineare Gleichungssystem in die Zeilenstufenform bringen.
 +
 +
c)    Die zugehörigen Variablen alle untereinander bringen.
 +
 +
d)    Durch Einsetzen die Variablen berechnen.
 +
 +
e)    Mit Hilfe von geschickter Multiplikation und Division der Gleichungen, gleiche Faktoren vor den Variablen erzeugen.
 +
 +
f)     Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere Seite.
 +
Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere }
 +
- a, b, c, d, e, f
 +
- c, a, b, f, e, d
 +
- a, c, b, f, d, e
 +
+ f, c, e, a, b, d
 +
</quiz>
 +
|Diagnosetest Grundkurs einblenden
 +
|Diagnosetest Grundkurs ausblenden}}
 +
 +
{{Navigation verstecken
 +
|<quiz display="simple">
 +
{ Gegeben ist der Punkt <math> A(1|2|-3)</math> und der Punkt <math> A'(-2|5|3{,}5)</math>. Welcher Vektor beschreibt die Verschiebung des Punktes <math> A </math> auf den Punkt <math> A' </math> ? }
 +
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -6{,}5 \end{pmatrix} </math>
 +
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} </math>
 +
+ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 6{,}5 \end{pmatrix} </math>
 +
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} </math>
 +
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 6{,}5 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} </math>
 +
 +
{ Die Bewegung eines Fußgängers wird durch den Vektor <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} </math> beschrieben. Welcher der folgenden Vektoren beschreibt die Bewegung einer entgegenkommenden Joggerin mit doppelter Geschwindigkeit? }
 +
+ <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} </math>
 +
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{pmatrix} </math>
 +
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} </math>
 +
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
 +
 +
{ Gegeben ist das abgebildete gleichschenklige rechtwinkelige Dreieck <math>ABC</math>. Welche der folgenden Aussagen treffen auf das Dreieck zu? [[Datei:Dreieck glsch rchtwklg.jpg|rahmenlos|300x300px]] }
 +
+ <math> |\vec{AB}| = |\vec{AC}| </math>
 +
- <math> |\vec{BC}| = |\vec{AC}| </math>
 +
- <math> \vec{AB} = \vec{AC} </math>
 +
- Es gilt <math> |\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2 + |\vec{AB}|^2 </math>.
 +
+ Es gilt <math> |\vec{BC}|^2 = |\vec{AC}|^2 + |\vec{AB}|^2 </math>.
 +
 +
{ Welche der folgenden Geraden verlaufen durch die Punkte <math>A(1|0|{-}2)</math> und <math>B(3|4|0)</math>? }
 +
+ <math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
 +
+ <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>
 +
- <math>g_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2  \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}, k \in \mathbb{R} </math>
 +
+ <math>g_4: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + l \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}, l \in \mathbb{R} </math>
 +
 +
{ Welche Aussagen sind wahr? }
 +
+ Wenn zwei Geraden zueinander windschief sind, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht zueinander parallel.
 +
- Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden im Raum nicht zueinander parallel sind, dann schneiden sich die Geraden.
 +
+ Wenn sich zwei Geraden im Raum scheiden, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht zueinander parallel.
 +
- Zwei Geraden mit parallelen Richtungsvektoren haben nie gemeinsame Punkte.
 +
- Wenn zwei Geraden mindestens einen gemeinsamen Punkt haben, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht parallel.
 +
 +
{ Welche Sachsituationen können zu der Geraden <math>g</math> definiert durch
 +
 +
<math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
 +
 +
passen? }
 +
- Ein Heißluftballon startet im Punkt <math>(3|7|8)</math> und befindet sich im Sinkflug.
 +
+ Ein Flugzeug befindet sich zum Zeitpunkt <math>r = 0</math> im Punkt <math>(3|7|8)</math> und fliegt mit einer Geschwindigkeit von <math>5</math> km/min.
 +
- Ein U-Boot steigt pro Sekunde um <math>7</math> m auf.
 +
+ Ein Vogel befindet sich in <math>8</math> km Höhe. Nach drei Minuten ist die Position desselben Vogels um <math>9</math> km in <math>x_1</math>-Richtung und <math>12</math> km in <math>x_2</math>-Richtung verschoben und die Höhe des Vogels hat sich nicht verändert.
 +
+ Ein GPS-Tracker an einer Taube, die in <math>(3|7|8)</math> gestartet ist, zeigt nach <math>5</math> min die Koordinaten <math>(18|27|8)</math> an.
 +
 +
{ Prüfe, welche der Vektoren orthogonal zueinander sind. }
 +
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} </math> , <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} </math>
 +
+ <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} </math> , <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
 +
+ <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 10 \\ -5 \\ 10 \end{pmatrix} </math> , <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -11 \\ -2 \\ 10 \end{pmatrix} </math>
 +
 +
{ Welche Aussagen sind wahr? }
 +
+ Wenn zwei Vektoren <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> orthogonal zueinander sind, gilt für den eingeschlossenen Winkel <math> \alpha </math>, dass <math> \cos(\alpha) = 0 </math>.
 +
- Um den Winkel zwischen zwei Geraden zu bestimmen, muss das Skalarprodukt der Ortsvektoren Null sein.
 +
- Das Skalarprodukt zweier gleicher Vektoren ist immer Null.
 +
+ Wenn der Winkel <math> \alpha = 0^\circ </math> ist, haben die Vektoren dieselbe Richtung.
 +
- Der Winkel <math> \alpha </math> zwischen zwei Vektoren wird mit folgender Formel berechnet: <math> \cos (\alpha) = \frac{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}{\vec{a} \ast \vec{b}} </math>.
 +
+ Für das Skalarprodukt gilt das Kommutativgesetz.
 +
 +
{ Wie groß ist der Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} </math> und <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>? Runde sinnvoll.}
 +
- 1°
 +
- 129°
 +
- 48°
 +
+ 51°
 +
 +
{ Welche der folgenden Parametergleichungen beschreiben eine Ebene? }
 +
- <math>E: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math>
 +
+ <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math>
 +
- <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>
 +
- <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math>
 +
 +
{ Sei <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} </math> eine Gerade. Welche Aussagen zu Spurpunkten treffen zu? }
 +
- Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene.
 +
- Der Punkt <math>{S_3}(5|4|0)</math> ist der Spurpunkt der <math>{x_1x_2}</math>-Ebene.
 +
- Der Punkt <math>(0|0|0)</math> ist nie Spurpunkt einer Geraden.
 +
- Den Spurpunkt der <math>{x_1x_2}</math>-Ebene berechnet man, indem man die <math>{x_3}</math>-Koordinate gleich 0 setzt.
 +
- Jede Gerade hat drei verschiedene Spurpunkte.
 +
- Der Punkt <math>{S_2} (1|0|8)</math> ist Spurpunkt der <math>{x_2x_3}</math>-Ebene.
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{ Eine Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt A <math>(0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u} = (0|{-}2|0)</math> und <math>\vec{v} = ({-}2|0|2)</math> gehören. Der Punkt <math>(0|9|4)</math> ist die untere Ecke des Daches. Alle Punkte des Daches können beschrieben werden durch die Einschränkung der Ebenengleichung mit den Parametern <math>t=3</math> und <math>s=4</math>.}
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- Die Ebene, in der das Dach liegt, lässt sich durch die Gleichung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> beschreiben.
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- Der Punkt <math>({-}2|0|4)</math> liegt in der Ebene .
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- Der Punkt <math>(-4|0|4)</math> liegt innerhalb der Dachfläche.
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- Der Punkt <math>(0|{-}10|0)</math> liegt in der Ebene, aber außerhalb der Dachfläche.
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{ Welche Aussagen zum Thema Normalenvektor treffen zu? }
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- Die Eckfahne beim Fußball kann geometrisch als Normalenvektor des Fußballfeldes interpretiert werden.
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- Der Normalenvektor einer Ebene ist eindeutig.
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- Das Skalarprodukt eines Normalenvektors und eines Richtungsvektors derselben Ebene ist 0.
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- Selbst bei einer Straße mit Steigung stellt modellhaft eine Straßenlaterne einen Normalenvektor dar.
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- Vektor <math>\vec{n}</math> ist ein Normalenvektor der Ebene. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]
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{ Gegeben ist eine Ebene in Parameterform. <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> }
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- <math>E: 2x_1-1{,}5x_2-x_3=2{,}5 </math> ist die zugehörige Koordinatenform.
 +
- <math>E: 2x_1+1{,}5x_2+x_3=2{,}5 </math> ist die zugehörige Koordinatenform.
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- <math>E: 2x_1+1{,}5x_2+x_3=0 </math> ist die zugehörige Koordinatenform.
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- <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot\ [ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} ] = 0</math> ist die zugehörige Normalenform.
  
 
{ Welche Aussagen sind wahr? }
 
{ Welche Aussagen sind wahr? }
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+ Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, dann ist jeder Punkt auf der Geraden auch ein Punkt in der Ebene.
 
+ Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, dann ist jeder Punkt auf der Geraden auch ein Punkt in der Ebene.
 
+ Wenn die Normalenvektoren zweier Ebenen kolinear sind, dann schneiden sich die Ebenen nicht.
 
+ Wenn die Normalenvektoren zweier Ebenen kolinear sind, dann schneiden sich die Ebenen nicht.
 
  
 
{ Seien <math>E: 3x_1-4x_2-x_3=3 </math> und <math>F: -6x_1+8x_2+2x_3=-3 </math> zwei Ebenen und <math>g: \vec{x} = \left( \begin{smallmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{smallmatrix} \right) + t \cdot \left( \begin{smallmatrix} 9\\ -12 \\ -3 \end{smallmatrix} \right), t \in \mathbb{R} </math> eine Gerade im Raum. Wie liegen <math> E </math> , <math> F </math> und <math> g </math> zueinander?}
 
{ Seien <math>E: 3x_1-4x_2-x_3=3 </math> und <math>F: -6x_1+8x_2+2x_3=-3 </math> zwei Ebenen und <math>g: \vec{x} = \left( \begin{smallmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{smallmatrix} \right) + t \cdot \left( \begin{smallmatrix} 9\\ -12 \\ -3 \end{smallmatrix} \right), t \in \mathbb{R} </math> eine Gerade im Raum. Wie liegen <math> E </math> , <math> F </math> und <math> g </math> zueinander?}
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+ Die Gerade <math> g </math> liegt orthogonal zu beiden Ebenen.
 
+ Die Gerade <math> g </math> liegt orthogonal zu beiden Ebenen.
 
- Die Gerade <math> g </math> liegt parallel zur Ebene <math> E </math>.
 
- Die Gerade <math> g </math> liegt parallel zur Ebene <math> E </math>.
 
  
 
{ Welche Fragestellungen in den gegebenen Situationen könnten durch die Berechnung des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene beantwortet werden? }
 
{ Welche Fragestellungen in den gegebenen Situationen könnten durch die Berechnung des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene beantwortet werden? }
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- Ein Regalbrett, dass durch das Rechteck <math> ABCD </math> beschrieben wird, soll in einem Winkel von <math> 90^{\circ} </math> zur Wand montiert werden. Ist das Regalbrett korrekt montiert?
 
- Ein Regalbrett, dass durch das Rechteck <math> ABCD </math> beschrieben wird, soll in einem Winkel von <math> 90^{\circ} </math> zur Wand montiert werden. Ist das Regalbrett korrekt montiert?
 
- Eine Zeltwand wird durch zwei Stangen gehalten, die auf ebenem Boden verankert werden. Um auch bei Sturm für Stabilität zu sorgen, sollte der Winkel in der Spitze des Zelts <math> 60^{\circ} </math> betragen. Steht das Zelt stabil?
 
- Eine Zeltwand wird durch zwei Stangen gehalten, die auf ebenem Boden verankert werden. Um auch bei Sturm für Stabilität zu sorgen, sollte der Winkel in der Spitze des Zelts <math> 60^{\circ} </math> betragen. Steht das Zelt stabil?
</quiz>
 
 
Thema f (nur LK):
 
  
<quiz display="simple">
 
 
{ Welche Abstände lassen sich unter keinen Umständen sinnvoll definieren? }
 
{ Welche Abstände lassen sich unter keinen Umständen sinnvoll definieren? }
 
- Der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden.  
 
- Der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden.  
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- Der Abstand zwischen parallelen Ebenen.  
 
- Der Abstand zwischen parallelen Ebenen.  
 
+ Der Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene, die sich schneiden.
 
+ Der Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene, die sich schneiden.
 
  
 
{ Wie könntest du den Abstand des Punktes <math> P(6|7|-3) </math> von der Geraden <math> g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}</math> sicher bestimmen? }
 
{ Wie könntest du den Abstand des Punktes <math> P(6|7|-3) </math> von der Geraden <math> g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}</math> sicher bestimmen? }
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- Ein Schiff fährt auf einer geradlinigen Route und ein U-Boot taucht entlang einer Geraden im Meer. Wie nah könnten sie sich höchstens kommen?
 
- Ein Schiff fährt auf einer geradlinigen Route und ein U-Boot taucht entlang einer Geraden im Meer. Wie nah könnten sie sich höchstens kommen?
 
+ Eine Glühbirne hängt über einem Tisch. Kann Nuria mit ihrem Kopf die Glühbirne berühren, wenn sie auf dem Tisch steht? Sie ist <math>1,40m</math> groß.  
 
+ Eine Glühbirne hängt über einem Tisch. Kann Nuria mit ihrem Kopf die Glühbirne berühren, wenn sie auf dem Tisch steht? Sie ist <math>1,40m</math> groß.  
</quiz>
 
  
Thema g:
 
 
<quiz display="simple">
 
 
{Löse das Lineare Gleichungssystem ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren. Welche Lösung ist korrekt?
 
{Löse das Lineare Gleichungssystem ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren. Welche Lösung ist korrekt?
  
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- Das LGS hat für a=1  keine Lösung
 
- Das LGS hat für a=1  keine Lösung
 
+ Es gibt ein a aus den reelen Zahlen, sodass das LGS genau eine Lösung hat
 
+ Es gibt ein a aus den reelen Zahlen, sodass das LGS genau eine Lösung hat
 
  
 
{ Bringe die Schritte des Gauß-Verfahrens in die richtige Reihenfolge
 
{ Bringe die Schritte des Gauß-Verfahrens in die richtige Reihenfolge
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f)     Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere Seite.
 
f)     Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere Seite.
 
Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere }
 
Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere }
 
 
 
- a, b, c, d, e, f
 
- a, b, c, d, e, f
 
- c, a, b, f, e, d
 
- c, a, b, f, e, d
 
- a, c, b, f, d, e
 
- a, c, b, f, d, e
 
+ f, c, e, a, b, d
 
+ f, c, e, a, b, d
 +
</quiz>
 +
|Diagnosetest Leistungskurs einblenden
 +
|Diagnosetest Leistungskurs ausblenden}}
  
</quiz>
+
== Kapitelauswahl ==
  
 
{{Box|Wie geht es nun weiter?|'''Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:'''
 
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'''Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:'''
 
'''Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:'''
*bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zum Kapitel [[/Punkte und Vektoren im Raum|Punkte und Vektoren im Raum]]
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*bei den Aufgaben 1 3, gehe zum Kapitel [[/Punkte und Vektoren im Raum|Punkte und Vektoren im Raum]]
*bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zum Kapitel [[/Geraden im Raum|Geraden im Raum]]
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*bei den Aufgaben 4 6, gehe zum Kapitel [[/Geraden im Raum|Geraden im Raum]]
*bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zum Kapitel [[/Winkel und Skalarprodukt (Vektoren bzw. Geraden)|Winkel und Skalarprodukt (Vektoren bzw. Geraden)]]
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*bei den Aufgaben 7 9, gehe zum Kapitel [[/Winkel und Skalarprodukt (Vektoren bzw. Geraden)|Winkel und Skalarprodukt (Vektoren bzw. Geraden)]]
*bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zum Kapitel [[/Ebenen im Raum|Ebenen im Raum]]
+
*bei den Aufgaben 10 – 14, gehe zum Kapitel [[/Ebenen im Raum|Ebenen im Raum]]
*bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel [[/Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)|Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)]]
+
*bei den Aufgaben 15 – 17, gehe zum Kapitel [[/Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)|Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)]]
*bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel [[/Abstände von Objekten im Raum|Abstände von Objekten im Raum]]
+
*bei den Aufgaben 18 – 20, gehe zum Kapitel [[/Abstände von Objekten im Raum|Abstände von Objekten im Raum]]
*bei den Aufgaben 19 - 21, gehe zum Kapitel [[/Lineare Gleichungssysteme|Lineare Gleichungssysteme]]|Frage
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*bei den Aufgaben 21 – 23, gehe zum Kapitel [[/Lineare Gleichungssysteme|Lineare Gleichungssysteme]]|Frage
 
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[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]
 
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Version vom 23. Juni 2021, 18:25 Uhr


Lernpfad

Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum"!

Hier kannst du das Thema Analytische Geometrie üben, wiederholen und vertiefen und und dich so auch auf das Abitur vorbereiten.

Um herauszufinden, welche Themen du noch einmal üben solltest, wähle bei den folgenden Aufgaben die Antworten aus, die wahr sind. Es können auch mehrere Aussagen ausgewählt werden. Wenn du alle Aufgaben bearbeitet hast, kannst du deine Antworten durch einen Klick auf "Speichern" überprüfen. Trage in deine Checkliste für die Lernpfad-Arbeit ein, welche Aufgaben du richtig und welche du falsch beantwortet hast.

Diagnosetest


Kapitelauswahl

Wie geht es nun weiter?

Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:

  • Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast: